高等数学(下)第十二章D12习题课(1)

1、一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一)解法及应用 第十二章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;2

2、1)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程 .xyu 令

3、机动 目录 上页 下页 返回 结束 xQyxyP6例例2. 求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程) 2 yz令(分离变量方程)原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令 t = x 1

4、 , 则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为yxxydd2两边乘积分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .

5、解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P326 题2 求以1)(22yCx为通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去 C 得1) 1(

6、22 yyP327 题3 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 这是一阶线性方程 , 其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQP326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 为贝努里方程 , 令2 yz0522yxydxdxyydyxdx)(提示提示: 为全微

7、分方程 , 通解Cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化为贝努里方程xyxyxy43dd令2xz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程化为 yxxy2)10(xyxu2, 即,22uuxy则xydduxuuxudd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2xuxdd2xuudd2提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问

8、题利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,h提示提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 ),(ab )0,(aa abyxAo则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定解条件 a由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即v鸭子的实际运动速度为( 求解过程参考P273例3 ).0hyxyxddyxyxba12( 齐次方程 )b0PObb ,dd,ddtytxv ba

9、vhPabyxAo2222,yxybyxxb2222,yxyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 能否根据草图列方程?),(yxMyxo练习题练习题:P327 题 5 , 6P327 题题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),)(xXyyY令 X = 0, 得截距, xyyY由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xyyxxtanx此点处切线方程为它的切线在纵机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题题6. 已知某车间的容积为,m630303,CO%12. 02的其中含的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空2CO气中的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气中含2CO,m3x为则在,ttt内车间内2CO x两端除以 ,t并令0t25005400ddkxktx与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )得微分方程tk10004. 0txk54005400( 假定输入的新鲜空气 2CO%04. 0现以含输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t = 30 时54