高等数学微积分课件721 二重积分计算(直角坐标)

1、The Type I RegionDabxxyO12( , )|,( )( )Dx yaxbxyx 2yx 1yxabDabDType IRecall Finding the volume (slice) The area of cross section( ) ()A xaxbThen the volume( ) baVA x dxabx( )A xabD2( )yx1( )yxx( , )zf x y( )A x2010()0()(, )xxf xy dy0 xxy( , )zf x y2( )x1( )x21( )( )( )( , )xxA xf x y dyx “constant”x

2、x( )A x21( )( )( , )xxf x y dy()axb( , )Df x y dxdyV( ) baA x dx21( )( )( , ) bxaxf x y dy dx 21( )( )( , )bxaxdxf x y dyIterated integral( , )Df x y dxdy21( )( )( , )bxaxdxf x y dyIntegration with respect y first ：“constant”abD2( )yx1( )yx( , )Df x y dxdy21( )( )( , )bxaxdxf x y dyabD2( )yx1( )yxWi

3、th respect to y, x can be regarded as a constant in the first integral solution),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(222()xxxy dy2xy 2yx Type, with respect to y firstyx10dx22()xxxy dydxxxxxx)(21)(42102 .14033 10dx22212xxx yy10 dxAlternative solution Ddxdyyx)(222()yyxy dx3162201()()3yyyyy dy.14033 2xy 2y

4、x Type II2313yyxxyType II region, with respect to x firstxy10dy10 dyThe Type II RegionDcdyxyO12( , )|,( )( )Dx ycydyxy 1xy 2xyExampleFind22DxdxdyySolutiongraphs1yx2y DyxIntersection points：(1, 1)quxian:=implicitplot(y=1/x,x=0.1.2.22,y=0.2.2,thickness=3,scaling=constrained):x_axis:=implicitplot(y=0,x

5、=-0.4.2.55,y=-0.1.0.1,thickness=3,scaling=constrained,color=black): y_axis:=implicitplot(x=0,x=-0.1.0.1,y=-0.1.2.2,thickness=3,scaling=constrained,color=black):display(quxian,x_axis,y_axis);(1/2, 2)(2, 2)22221xxdxdyy276422Dxdxdyy122DxdxdyyEvaluate two integrals1yx2y yx2D1D1212222Dxdxdyy2121122xxdxdy

6、yIf type I22Dxdxdyy1yx2y yx22121yyxdydxyType II121xyxy27641322113yyxdyy25111()3ydyyIn this case, easier21202yxdxe dyChange the order of integrationSketch the region of integration, then Write an equivalent with the order of Integration reversed. 22200yydye dx224220011|244yyyee dye例例 改变积分改变积分 xdyyxfd

7、x1010),(的积分次序的积分次序. 解解1100( , )xdxf x y dy1yx X型区域型区域DDY型区域型区域1100( , )ydyf x y dx1xy Sketch the region of integration D将将D视为另视为另一类型的一类型的区域区域重新定限重新定限100( , )ydyf x y dx改变积分次序：改变积分次序：2210( , )ydyf x y dx1D01y0 xy2:D12y02xy2D12xyxy1:D1201D2D12xyxy1202yxyx1120DY型区域型区域X型区域型区域2( , )xxf x y dy原积分原积分合并合并10

8、dx21202yxdxe dy计算二次积分计算二次积分解解若先积分若先积分222yxe dy则则“积不出积不出”原函数不是初等函数原函数不是初等函数常见的常见的“积不出积不出”的积分：的积分：2xe dx2xedxsin xdxx2sin x dx2cosx dx1lndxxxedxx在二重积分中在二重积分中不要先去碰这不要先去碰这些积分些积分21202yxdxe dy怎么办？怎么办？改变积分次序，避开这个改变积分次序，避开这个“积不出积不出”的积分的积分21202yxdxe dy2yx2y 12yx 2X型型Y型型22200yydye dx22200yye dydx22012yye dy22

9、2014ye dy41(1)4e这下好办了！这下好办了！视为常数！视为常数！baab22ybx22yax例例1D2D3D( , )Df x y dxdy1( , )Df x y dxdy2( , )Df x y dxdy3( , )Df x y dxdy220abxbdxfdy2222abxaaxdxfdy220bbxadxfdy圆环区域用圆环区域用直角坐标定直角坐标定限十分复杂限十分复杂EndX型型&Y型型X型，非型，非Y型型非非X型，非型，非Y型型D1D2D3D4D划分为若干划分为若干X型区域型区域(1) X型区域上的二重积分型区域上的二重积分( , )0zf x y( , )x

10、yD:D,axb12( )( )xyxX型区域型区域求二重积分求二重积分( , )Df x y dxdyabD2( )yx1( )yx(2) Y型区域上的二重积分型区域上的二重积分( , )0zf x y( , )x yD:D,cyd12( )( )yxyY型区域型区域求二重积分求二重积分( , )Df x y dxdycd1( )xy2( )xyD( , )zf x y21( )( )( )( , )yyA yf x y dxyyycd2( )xy1( )xyx( , )zf x y2( )y1( )yy 视为常数视为常数21( )( )( )( , )yyA yf x y dxyy()cy

11、d( , )Df x y dxdyV( ) dcA y dy21( )( )( , ) dycyf x y dx dy 21( )( )( , )dycydyf x y dx二次积分二次积分21( )( )( )( , )yyA yf x y dx积分次序：先积分次序：先 x 后后 y21( )( )( , )dycydyf x y dx( , )Df x y dxdy视视为为常常数数cd1( )xy2( )xy积分次序：积分次序：先先 x 后后 y 21( )( )( , )dycydyf x y dx( , )Df x y dxdycd1( )xy2( )xy第一次积分中，第一次积分中，将

12、将 y 视为常数，视为常数，对对 x 积分积分（偏积分）（偏积分）矩形区域矩形区域abcdD( , )|, Dx y a x b c y d ( , )Df x y dxdy( , )Df x y dxdy先先 y 后后 x先先 x 后后 y(3) 矩形区域上的二重积分矩形区域上的二重积分( , )bdacdxf x y dy( , )dbcadyf x y dxFubinis Theoremabx( , )Df x y dxdy( , )bdacdxf x y dyFubinis Theoremcd特别地，如果特别地，如果( )( )dbcag y dyh x dx( , )( ) ( )f

13、 x yg y h xabcdD即分别计算两个定积分，再相乘即分别计算两个定积分，再相乘( ) ( )Dg y h x dxdy（3）定限：确定两次定积分的上限和下限， 将二重积分化为二次积分；计算二重积分的步骤计算二重积分的步骤（1）作图：作图：作出积分区域作出积分区域 D 的图形；的图形；（2）确定积分次序：确定积分次序：根据根据 D 的类型，的类型， 选择方便、可行的积分次序：选择方便、可行的积分次序：X型：先型：先 y 后后 xY型：先型：先 x 后后 yX型型&Y型：选择方便、可行的次序型：选择方便、可行的次序（4）计算：计算：计算二次积分。计算二次积分。222023x yx

14、yExampleFind2(26)Dxxy dxdy: 14 , 02Dxy 解解 利用公式利用公式2(26)Dxxy dxdy42DO1421(412 )xx dx17442210(26)dxxxy dy第一次积分中，第一次积分中，将将 x 视为常数，视为常数，对对 y 积分积分41dx3241233xx y另解另解解解 2(26)Dxxy dxdy42DO120(4245 )y dy17424201(26)dyxxy dx第一次积分中，第一次积分中，将将 y 视为常数，视为常数，对对 x 积分积分20dy视视D为为Y型区域：先型区域：先 x 后后 y例例 2 2. .2 2 求求 Ddxd

15、yyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域. 解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(222()xxxy dy2xy 2yx X型区域型区域yx10dx22()xxxy dydxxxxxx)(21)(42102 .14033 10dx22212xxx yy10 dx另解另解 Ddxdyyx)(222()yyxy dx3162201()()3yyyyy dy.14033 2xy 2yx Y型区域型区域2313yyxxy将将D视为视为Y型区域：型区域：xy10dy10 dy例例计算计算Dxyd

16、xdy解解2126yxyx24作图作图( 1, 2) (5,4)求交点：求交点：D226yx1yxDxydxdy24D226yx1yx 宜按宜按Y型区域定限型区域定限1xy2132xy241232yydyxydx242123212yyx ydy242221(1)(3) 22yy ydy36.改变积分次序改变积分次序将已知二次积分的积分次序将已知二次积分的积分次序改变成另一积分次序改变成另一积分次序Reversing the order of integration改变积分次序的步骤改变积分次序的步骤 根据所给的二次积分上、下限画根据所给的二次积分上、下限画出积分区域出积分区域 D 的图形的图形

17、；2. 将将 D 视为另一类型的区域，重视为另一类型的区域，重新定限新定限例例 改变积分改变积分 xdyyxfdx1010),(的积分次序的积分次序. 解解1100( , )xdxf x y dy1yx X型区域型区域DDY型区域型区域1100( , )ydyf x y dx1xy 根据所给的二根据所给的二次积分上下限次积分上下限画出积分区域画出积分区域D的图形的图形将将D视为另视为另一类型的一类型的区域区域重新定限重新定限100( , )ydyf x y dx改变积分次序：改变积分次序：2210( , )ydyf x y dx1D01y0 xy2:D12y02xy2D12xyxy1:D120

18、1D2D12xyxy1202yxyx1120DY型区域型区域X型区域型区域2( , )xxf x y dy原积分原积分合并合并10dx21202yxdxe dy计算二次积分计算二次积分解解若先积分若先积分222yxe dy则则“积不出积不出”原函数不是初等函数原函数不是初等函数常见的常见的“积不出积不出”的积分：的积分：2xe dx2xedxsin xdxx2sin x dx2cosx dx1lndxxxedxx在二重积分中在二重积分中不要先去碰这不要先去碰这些积分些积分21202yxdxe dy怎么办？怎么办？改变积分次序，避开这个改变积分次序，避开这个“积不出积不出”的积分的积分21202

19、yxdxe dy2yx2y 12yx 2X型型Y型型22200yydye dx22200yye dydx22012yye dy222014ye dy41(1)4e这下好办了！这下好办了！视为常数！视为常数！baab22ybx22yax例例1D2D3D( , )Df x y dxdy1( , )Df x y dxdy2( , )Df x y dxdy3( , )Df x y dxdy220abxbdxfdy2222abxaaxdxfdy220bbxadxfdy圆环区域用圆环区域用直角坐标定直角坐标定限十分复杂限十分复杂利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分回忆：回忆：00, if (

20、 ) is odd ( ) 2( ), if ( ) is even aaaf xf x dxf x dxf x120AA1212AAA1A2Aaa1A2Aaa二重积分有类似的结论二重积分有类似的结论( , )Df x y dxdy若若D关于关于 y 轴轴 (x = 0) 对称对称当当 f(x, y) 关于关于 x 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 x 为偶函数为偶函数 022( , )Df x y dxdy(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 关于关于 x 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 x 为偶函数：为偶函数：

21、( , )|02Dx yD xD2D则则( , )Df x y dxdy若若D关于关于 x 轴轴 (y = 0) 对称对称当当 f(x,y) 关于关于 y 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 y 为偶函数为偶函数 022( , )Df x y dxdy( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 关于关于 y 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 y 为偶函数：为偶函数：( , )|02Dx yD yD2D则则( , )Df x y dxdy若若D关于关于 x 轴轴 和和 y 轴都对称轴都对称且且 f(x, y) 关于关于 x 和和 y 均为偶函数均为偶函数( ,