浙江地区高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二导精品学案新人教A版

1、名校名师推荐3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【学习目标】1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.0r问题导学知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？通生sinfa+3sinacosB+cosasinB答案tan(a+3)=-，占：一,cos"+3)cosacos3sinasin3分子分母同除以cosacos3,便可得到.思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案用一3替换tan(a+3

2、)中的3即可得到.梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(a+B)tan(a+3)=tana+tan31tanatan3a,3,a+3均不等于k兀+-2(keZ)两角差的正切T()tan(a3)=tanatan31+tanatan3a,3,a3均兀不等于ku+(keZ)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(“+B)的变形:tana+tan3=tan(a+3)(1tanatan3).tana+tan3+tanatan3tan(a+3)=tan(a+B).tana+tan3tanatan3=1;二.tan(a+3)(2)T(”T)的变形：tanatan3=tan(aB)(1+tanata

3、nB).tanatan3tanatan3tan(a-3)=tan(a6).21tanatantanatan3tanfa3-1.题型探究类型一正切公式的正用一i，例1已知tana=-2,tan(a+3)=7,则tan3的值为.答案3解析tan 3 =tan(所以tan( atan+ 3)=ea +tan 3a tan 3_+ 一2 31 11 - -x 一2 3=1.1+tan(a+3Jana17:3.2) 1(2)已知a , 3均为锐角，tan a =2，tan答案一4解析 因为tan a =-, tan 3 =马,3)因为a,3均为锐角，所以a+3C(0,兀)，所以a+3=亍反思与感悟(1)

4、注意用已知角来表示未知角(2)利用公式T(“+b)求角的步骤:计算待求角的正切值缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息根据角的范围及三角函数值确定角跟踪训练1已知0是第四象限角，且sin+方!=|,则tan,一：:=.答案4解析由题意，得cos%十2'卜4,.,|兀itan0+|=34.tan-4广tan0类型43.正切公式的逆用例2(1)1+tan151-tan15(2)1-3tan75也+tan75答案(1)淄(2)-1解析(1)原式=tan45+tan15=tan60=tan(30反思与感悟当式子出现1tan45tan15=tan(45°+15°)=.3.tan

5、30(2)原式=1+tan30-75°)=-tan45tan751.tan75注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式,12，1,再这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示跟踪训练2求下列各式的值:IS一sin75+sin751-tan27(2)tan27tan33+tan331-tan75解原式=一而tan45tan75=tan(45-75°)=tan(1+tan45tan75(2)原式=-30°)=-tan30tan27°+33°tan60类型三正切公式的变形使用例3(1)化简：tan23+tan37+

6、3tan23tan37°(2)若锐角“3满足(1+小tan解(1)方法一tan23+tan37&)(1+J3tan+3tan233)=4,求a+3的值.tan37)十 小tan 23 ° tan 37=tan(23°+37°)(1-tan23°tan37=tan60(1-tan23°tan37°)+淄tan23°tan373.方法,.tan(23+37°)=tan23°+tan371tan23°tan37tan23°+tan371tan23°tan37.姆一

7、地tan23°tan37°=tan23°+tan37°,tan23°+tan37°+/tan23°tan37°=水.(2).(1十淄tana)(1+0tan3)=1+/(tana+tan3)+3tanatan3=4,tana+tan3=小(1tanatan3),tana+tanBtan(a+3)=x/3.'口1tanatan3"又二a,3均为锐角，.0°<a+3<180°, a+3=60°.tan a ±tan 3 tan反思与感悟两角和与差的正

8、切公式有两种变形形式：tana±tan3=tan(a±3)(1?tanatan3)或1?tanatan当a±3为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和（或差）时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果跟踪训练3在ABC,A+B-2,且tanA+tanB+J3=，3tanAtanB,则角C的值为B.C.7tD.答案A解析.tanA+tanB+3/3=-/3tanAtanB?tan(A+B)-(1tanAtanB)=(tanAtanB-1).若1tanAtanB=0,则cosAcosB-sinAsinB=0,即cos(A+B)=0. 0<

9、;A+B<ti,，A+B=y与题设矛盾. 由得tan(A+B)=、/3,即tanC=*.兀又<0<C<兀，.二C=.当堂训练1.若 tan a =3,tan4“3=q,则tan(a3)等于(31A.3B.-1C.33D.3答案解析tan(tanatan31+tanatan43314=3.1+3Xo32.已知cos7t2,7tA.-B.7-7C.1D.77答案解析cos一4曰二 a = _EEL a t57t2，7t35'所以tansin a(X =cos 534,所以tan7t一 a4兀tan -tan 民1-一4故选D.兀1 + tan Tian a431-4

10、=7.3.已知 A+ B= 45° ,则(1 +tan A)(1+ tan B）的值为（）A.1 B.2 C. -2 D.不确定答案 B解析(1 + tan A)(1 + tan B)=1 + (tan A+ tanB) + tan Atan B=1 + tan( A+ B)(1一tan Atan B) + tan Atan B=1 + 1 tan AtanB+ tan Atan B= 2.154 .已知A,B都是锐角，且tanA=3,sinB=当，则A+B=解析:B为锐角，sinB=书.cosB=乎,1-tanB=2,tan A+ tan Btan(A+B)=q1tanAtanB1

11、 1I3 27= 1.1 11X 3 2一-一-兀又.0<A+B<冗)A+B=.4Sina+COSa5 .已知sin-cosa=3,tan(a3)=2,则tan(3一2a)=答案33解析一Sin a + COS a 由条件知sin -COS atantana + 1-=3,贝U tan(X 1a = 2.tan(X3)=2).tan(3a)=2)上，tanfBatana224故tan(32a)=tanK3-a)-a=1+tan(3_“tana=1+(2)x2=3.L规律与方法1 .公式T("士B)的结构特征和符号规律(1)公式T("士B)的右侧为分式形式，其中分

12、子为tan“与tan3的和或差，分母为1与tanatan3的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2 .应用公式T("士B)时要注意的问题(1)公式的适用范围-、一一-一TT由正切函数的定义可知，a、3、a+3(或a3)的终边不能落在y轴上，即不为k%十万(kCZ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如,3等.特另1J要注意 tan(a ) = ： + ：an tan(。一 a ) 41 - tan a 4兀tan 7=11 tan a1 + tan atantan7t3(3)公式的变形应用只要用到 tan a ±tan 3 ,

13、tan a tan时，有灵活应用公式T(“±b)的意识，就不难想到解题思路.特别提醒：tana+tan3,tan“tan3,容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型、选择题1.若tan1,于tan(312'课时作业则tan3等于（）1A.71B.65c.75d.6答案解析tan3=tan(1-X2317.2.3tan23tan97tan23tan97°的值为A.2B.23C.3D.0答案C解析.tan(23°+97°)=tan23+tan97=tan120tan23+tan971-tan23tan973+3tan23tan97.原式=,3tan2

14、3tan97(-V3+V3tan23tan97°)3.已知tan(25,7ttan3a+-4j的值为（）3A.12222B.一13131D.6答案A解析因为所以tan+4厂I兀tan一彳J1+tan(a+3Jan1*3-215-4211X-5432?4.A,B,C是ABC勺三个内角，且tanA,tanB是方程3x5x+1=0的两个实数根，则ABB(A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.无法确定答案A解析.tanAH-tanB=5,tanA-tanB=1,.tan(A+B)552,tanC=tan(A+B)=2，C为钝角，即AB勃钝角三角形.5.若tan28tan32=a，则t

15、an28+tan32A.3aC.3(a1)B.D.3(1-a)3(a+1)答案B解析.tan(28°+32)=tan28+tan321-tan28tan32=43,tan28+tan323(1-a).6.设向量a=(cosa，-1),b=(2,sina),若a,b,则tan1B.3D.3解析a-b=2coss一sina=0,得tana=2.tan、tanaJL,兀一tan-4211_1=一4'.+兀1+231+tanatan-47.在ABC43,tanA+tanB+tanC=3>/3,tan2B=tanA-tanC,则B等于（A.30B.450.120°答案D

16、解析由公式变形得D.60°tanA+tanB=tan(A+E)(1tanAtanE)=tan(180°0(1-tanAtanE)=tanC(1tanAtanE)=tanC+tanAtanEtanC.tanA+tanE+tanC=tanC+tanAtanEtanC+tanC=tanAtanEtanC=33.又.匕门力=tanAtanC,.tan3E=3®tanE>=3/3,E>=60.二、填空题,.兀,1tan(7+a丁18.已知tana=",贝U的值是.2兀.1+tan(1+aj答案2tan75°tan15°9.1+tan

17、75°tan15°-.答案3解析原式=tan(75°-15°)=tan60°=木.,一cosasina,10.已知a.B均为锐角，且tanB=-F,则tan(a+B)=.COSa十Sina答案1解析.tanCOSaSinaCOSa+sina1tan1+tantan3+tanatan3=1tana,tana+tan3+tanatan3=1,tana+tan3=1tanatan3,.tana+tan3I1tanatan3'tan(a+3)=1.11.如图，在AEC,ADLECD为垂足,八口在AEC勺夕卜部，且ED：CD：AD=2：3：6,则

18、tan/BAC=答案解析.ADLBC且BD：CD：AD=2：3：6,tanBD1/BAD=-,AD3'CD31tan/CAD=AcT62'tan/BAC=tan(/CAD-/BADtan/CAD-tan1+tan/CAIthn/BAD11+-x-2312.若(tana1)(tan31)=2,则a+3的最小正值为3兀答案不三、解答题13.已知tan七十aj=小，tan3tan7t(2)tan(a+3)的值.解(1)tan兀Ia+B4f=tan兀I+i+121tantana+(兀、tanjF"+12jan(2)tan(a+3)=tan,兀tan-4兀an-4 2+11+2X12 成3.四、探究与拓展214.如果tan a , tan 3是万程x3x3=0两根，则sin (a + 3cos fa 3答案解析sin " + 3 l sin c cos 3 + cos a sin 3cos fa 3cos c cos 3 + sin s sin 3tana +tan 31 + tan a tan 31+( 332.3 ,它们的终边分别与15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a,单位圆相交于A,B两点，已知AB的横坐标分别