高等数学6_4重积分的应用

1、目录 上页 下页 返回 结束 1第四节一、立体体积一、立体体积 二、物体的质心二、物体的质心 三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量 四、物体的引力四、物体的引力 重积分的应用 第六章 目录 上页 下页 返回 结束 21. 能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法 (元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法: 目录 上页 下页 返回 结束 3一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(

2、Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd目录 上页 下页 返回 结束 41:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V . 例例1. 求曲面分析分析: 1:221yxzS222:yxzS1M第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D ;第三步: 求体积V . zO(示意图) 目录 上页 下页 返回 结束 51:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V . 解解: 曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xOy 面上的投影为1)(

3、)(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxx sin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D ),(000zyx在点Drrrdd2例例1 1. 求曲面 rr dd10320目录 上页 下页 返回 结束 6Oxyza2例例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2M目录 上页 下页 返回 结束 7二、物体的质心

4、二、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 目录 上页 下页 返回 结束 8将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质

5、心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点目录 上页 下页 返回 结束 9同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd目录 上页 下页 返回 结束 10若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd( A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx

6、其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩目录 上页 下页 返回 结束 114例例3. 求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2D解解: 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212OyxC目录 上页 下页 返回 结束 12Vzyxzzddd例例4. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为 h 的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,0 yx采用柱坐标, 则炉壁方程为,)3(922zzrz

7、yxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的质心.Oxzh若炉不计炉体的其坐标为目录 上页 下页 返回 结束 13hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhz)41229(923hhhVOxzh目录 上页 下页 返回 结束 14三、物体的转动惯量三、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdOxyz对 z

8、轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 目录 上页 下页 返回 结束 15类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIOddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量目录 上页 下页 返回 结束 16如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DOyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyO2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 目录 上页 下页 返回 结束 17rradds

9、in0302例例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212的转动惯量.OxyDaa目录 上页 下页 返回 结束 18)sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr 132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例6.6.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的设球所占 域为(用球坐标) lOzxy转动惯量. 目录 上页

10、 下页 返回 结束 19202020)()()(zzyyxxr ,G 为引力常数四、物体的引力四、物体的引力设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为vrxxzyxGFxd)( ),(d30vryyzyxGFyd)( ),(d30vrzzzyxGFzd)( ),(d30其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为),(zyxFFFF 其中rzxvdyFd0PO目录 上页 下页 返回 结束 20vrxxzyxGFxd)( ),(30vryyzyxGFyd)( ),(30vrzzzyxGFzd)( ),(30若求 xOy 面上的平面薄片D, 对

11、点P0处的单位质量质点的引力分量, ),(yxDzrzyxGFd)0( ),(30因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如, 其中: 202020)()()(zzyyxxr目录 上页 下页 返回 结束 21aaR1122xyzRO例例7. 设面密度为 ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解解: 由对称性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2处的单位质量质点的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322)(darrr目录 上页 下页 返回 结束 22R

12、xyzO例例8. 求半径为R的均匀球2222Rzyx对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232222)(ddzRazrrr点zDazyxyx23222)(dd0MazD目录 上页 下页 返回 结束 23RRzazd )(zFG222211azaRza200232222)(ddzRazrrrRRzazGd)(G2RRaza)(1222daazR2aMGR2343RM 为球的质量目录 上页 下页 返回 结束 24)(th( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)备用题备用题yxzO目录 上页 下页 返回 结束 25)()(222)(thyxthz侧面方程: yxzO提示提示:记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxz