高等数学A-第2章-11-11(弧微分曲率与习题课)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A2.3 2.3 导数的应用导数的应用 2.3.8 2.3.8 弧微分弧微分曲率曲率2.3.9 2.3.9 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径 2.3 2.3 导数的应用导数的应用内容小结内容小结课堂思考与练习课堂思考与练习习题课习题课结构框图结构框图内容小结内容小结典型习例典型习例 .弧微分弧微分一一1. 弧长函数弧长函数NRTA0 xMxxx .),()(内内具具有有连连续续导导数数在在区区间间设设函函数数baxfxyo),(:00yxA基基点点( , ),M x y 为曲线上任意一点规定规定:;

2、)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与x,)2(sAM .,取负号取负号相反时相反时取正号取正号一致时一致时的方向与曲线正向的方向与曲线正向当当ssAM.)( 是是单单调调递递增增函函数数则则弧弧长长函函数数xss 2. 弧长函数的导数与微分弧长函数的导数与微分 用导数定义求得用导数定义求得, 如图所示如图所示.M RT0M0 xMxxx xyo.,MMxxx 曲曲线线由由时时当当由由MMMMMMs 00则则 22222xMMMMMMxMMxs 2222xyxMMMM 221xyMMMM 221xyMMMMxs, 1limlim0 MMMMMMMMMMxyxyx 0lim

3、22001limlimxyMMMMxsxx21 dxdy又又s=s(x)是单增函数是单增函数, 21 dxdydxds21y 2)(1xf dxyds21 从从而而弧微分公式弧微分公式例例1. .),( )()(dsttytx求求为参数为参数设有曲线设有曲线 例例2. .),(dsrr求求设有曲线设有曲线 例例1. .),( )()(dsttytx求求为参数为参数设有曲线设有曲线 解解:,)( dttdx dttdy)( dxdxdyds2)(1 .)()(22dtttds dtttt)()()(12 例例2.解解:,sin)(cos)( ryrx,sin)(cos)( rrddx ,cos)

4、(sin)( rrddy .)()(22 drrds .),(dsrr求求设有曲线设有曲线 .曲曲率率及及其其计计算算公公式式二二1. 曲率定义曲率定义曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量. 弧长相同时弧长相同时,弧段弯曲程弧段弯曲程度越度越大大转角越转角越大大转角相同时转角相同时,弧段越弧段越短短弯曲程度越弯曲程度越大大1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )1 )曲线的切线转过的角度称为曲线的切线转过的角度称为转角转角. 定义定义: , 的的切切线线转转角角为为到到由由设设MMsMM) S S) .M .MC0Myxo; )1(称称为

5、为平平均均曲曲率率sK .,lim )2(0处处的的曲曲率率称称此此极极限限值值为为点点存存在在若若Mss .lim 0sdsdKs 记记为为注意注意: (1) 直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径圆上各点处的曲率等于半径的倒数的倒数,且半径越小曲率越大且半径越小曲率越大.2. 曲率的计算公式曲率的计算公式 为为则则其其上上任任一一点点处处的的曲曲率率二二阶阶可可导导设设, )(xfy .)1(232yyK 证明证明:,dsdK .1 2dxyds 且且,tan y又又dxdy 2secdxdy )1(2.12dxyyd .)1( 232yydsdK 若曲线方

6、程为参数方程若曲线方程为参数方程: ),(),(tytx ,)()(ttdxdy 则则,)()()()()(322tttttdxyd 代入曲率的计算公式可得代入曲率的计算公式可得: .)()()()()()(2322ttttttK 例例3. 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 .例例4. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线作缓和曲线,处的曲率处的曲率.)6,(, ) 0, 0(2RllBO求此缓和曲线在其两个端求此缓和曲线在其两个端点点且且 l R. 其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度

7、, 例例5. 求椭圆求椭圆tbytaxsincos)20(t在何处曲率最大在何处曲率最大?例例3. 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率.解解: 如图所示如图所示 , RssKs 0limR1 可见可见: R 愈小愈小, 则则K 愈大愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大愈大, 则则K 愈小愈小 , 圆弧弯曲得愈小圆弧弯曲得愈小 .sRMM例例4. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线作缓和曲线,处的曲率处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停说明说明:铁路转弯时为保证行铁

8、路转弯时为保证行车平稳安全车平稳安全,离心力必离心力必须连续变化须连续变化 ,因此铁道因此铁道的曲率应连续变化的曲率应连续变化 . 求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点且且 l R. 其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 解解:,0时时当当lx Rl2 0 xlRy1 yK xlR1 显然显然;00 xKRKlx1 221xlRy RByox361xlRy l例例4. 我国铁路常用立方抛物线我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线作缓和曲线,处的曲率处的曲率.)6,(, )0,0(2RllBO求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲

9、线在其两个端点且且 l R. 其中其中R是圆弧弯道径是圆弧弯道径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 例例5. 求椭圆求椭圆 tbytaxsincos)20( t在何处曲率最大在何处曲率最大?解解:故曲率为故曲率为 ba23)cossin(2222tbta ;sintax ;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大最大tbtatf2222cossin)( 最小最小ttbttatfsincos2cossin2)(2 tba2sin)(22 求驻点求驻点: 的导数的导数数数表示对参表示对参tx ,0)( tf令令,0 t得得,2 ,23 2, 设设tba

10、tf2sin)()(22 t)(tf022322b2b2a2b2a从而从而 K 取最大值取最大值 .这说明椭圆在点这说明椭圆在点,0ab 时时则则 2,0 t)0,(a 处曲率处曲率计算驻点处的函数值计算驻点处的函数值:yxbaba,)(取最小值取最小值tf最大最大.三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点 , 在点在点在曲线在曲线KRDM1 把以把以 D 为中心为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的曲率圆曲率圆 ( 密切圆密切圆 ) , R 叫做叫做曲率半径曲率半径, D 叫做叫做

11、曲率中心曲率中心.在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同.M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点的凹向一侧法线上取点 D 使使设曲线方程为设曲线方程为, )(xfy 且且,0 y求曲线上点求曲线上点M 处的处的曲率半径及曲率中心曲率半径及曲率中心),( D设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为222)()(R 故曲率半径公式为故曲率半径公式为KR1 23)1(2y y 满足方程组满足方程组 ,222)()(Ryx ),(在在曲曲率率圆圆上上yxM)(MT

12、DM y yx的坐标公式的坐标公式 .TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式yyyx )1(2 yyy 21 (注意y与y 异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 )(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成渐屈线的参数方程曲率中心公式可看成渐屈线的参数方程(参数为参数为x).曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .例例6.?2径径并并求求出出该该点点处处的的曲曲率率半半上上哪哪一一点点处处的的曲曲率率最最大大cbxaxy 例例7. 设一工件内表面的截痕为一椭圆设一工件内表

13、面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其内表面削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?例例8. 求摆线求摆线 )cos1()sin(tayttax的渐屈线方程的渐屈线方程 . 例例6.?2径径并并求求出出该该点点处处的的曲曲率率半半上上哪哪一一点点处处的的曲曲率率最最大大cbxaxy 解解:,2,2aybaxy .)2(12232baxaK ;,2, 02最最大大时时即即只只有有当当Kabxbax .442abacy 此时此时).44,2(2abacab 所所求求点点为为.211aK 且且该该点点处处的的曲曲率率半半径径为为例例7. 设一工件内表面的截痕为一椭

14、圆设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨现要用砂轮磨削其内表面削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为 tbytaxsincos),20(abx 由例由例3可知可知, 椭圆在椭圆在)0,( a oyx处曲率最大处曲率最大 ,即曲率半径最小即曲率半径最小, 且为且为 R23)cossin(2222tbta ba0 tab2 显然显然, 砂轮半径不超过砂轮半径不超过ab2时时, 才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题.ab( 仍为摆线仍为摆线 )sin( a)cos1( a例例8. .)c

15、os1()sin(的的渐渐屈屈线线方方程程求求摆摆线线 tayttax解解:txtyydddd ,cos1sintt txtyydddd)( 2)cos1(1ta 代入曲率中心公式代入曲率中心公式 ,)sin(tta )1(cos ta 得得, t令令 aa2 yoxMo半径为半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,Moyxta其上定点其上定点 M 的轨迹即为摆线的轨迹即为摆线 . )cos1()sin(tayttax摆摆线线参数的几何意义参数的几何意义摆线的渐屈线摆线的渐屈线内容小结内容小结1. 弧长微分弧长微分xysd1d2或或22)(d)(ddyxs2. 曲率

16、公式曲率公式sKdd23)1 (2yy 3. 曲率圆曲率圆曲率半径曲率半径KR1yy 23)1 (2曲率中心曲率中心yyyx )1 (2yyy 21课堂练习：课堂练习：习题习题2.32.3 第第3333题到第题到第3434题题练习参考答案练习参考答案洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性,

17、 ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用习题课习题课一、内容小结一、内容小结1. 中值定理中值定理 Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理Taylor中值定理中值定理2. LHospital法则法则3. 导数的应用导数的应用 函数单调性判别法函数单调性判别法函数极值与判别法函数极值与判别法函数图形凹凸性判别法函数图形凹凸性判别法函数图形拐点的求法函数图形拐点的求法函数图形渐近线的求法函数图形渐近线的求法4. 弧微分与曲率的计算弧微分与曲率的计算

18、1.证明等式或讨论根的存在性证明等式或讨论根的存在性2.证明不等式证明不等式3. LHospital法则的应用法则的应用4. 单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法单调性与凹凸性的判定，极值与拐点的求法6. 应用问题的最值应用问题的最值7. 作图作图二、常见题型二、常见题型5. 求待定参数求待定参数典型习题典型习题).0,( ,lim 12121111 nnxnxaaanaaaxxx计计算算极极限限例例).23(lim 2434323xxxxx 计算极限计算极限例例.sin)(cos1211lim 322202xexxxxx 计计算算极极限限例例.50 sin)cos()(, 4阶无穷小阶无穷

19、小的的时关于时关于为当为当使使和和试确定常数试确定常数例例xxxxbaxxfba .)(,)2( ;)()1( 0 , 00 ,)()( , 0)0(,)0(,)( 5具有一阶连续导数具有一阶连续导数证明证明对以上所确定的对以上所确定的处处连续处处连续使使确定确定且且存在存在具有一阶连续导数具有一阶连续导数设函数设函数例例xgaxgaxxxxfxgffxf ).()()( ,0:, 0)0(, 0)( 6bfafbafbafxf 时时当当证证明明设设例例.),(0)(, 0)( ,)()(,)( 7内内有有且且仅仅有有一一根根在在证证明明方方程程且且满满足足上上连连续续可可导导在在设设例例ba

20、xfafbaafxfbaxf ).(2)()1(),2 , 0( ),0(5)2(,)2 , 0(,2 , 0)( 82 ffffxf 使使得得证证明明存存在在且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设例例.)1(ln)1( ,0 922 xxxx时时试证当试证当例例.23)(0: . 0)(6)(5)(0 , 0)0(, 1)0(,)( 1032xxeexfxxfxfxfxffxf 有有对对任任意意证证明明有有且且对对任任意意满满足足二二阶阶可可导导设设函函数数例例. .100 ,50 ;,1000 ,50 11少可获得最大收入少可获得最大收入试问房租定为多试问房租定为多元的维修费元的维修费公

21、寓每月花费公寓每月花费而租出去的而租出去的去去就会多一套公寓租不出就会多一套公寓租不出元时元时当月租金每增加当月租金每增加公寓会全部租出去公寓会全部租出去元时元时当月租金为当月租金为套公寓要出租套公寓要出租一房地产公司有一房地产公司有例例).0,( ,lim 12121111 nnxnxaaanaaaxxx计计算算极极限限例例解解nxnnaaayxxx 11121设设ln)ln(ln11121naaanxyxxxn ln)ln(limlnlim11121naaanxyxxxnxx tnaaantntttxtln)ln(lim2101 tnttntntttaaaaaaaaan 2122110ln

22、lnlnlimnaaa21ln naaa21 原原式式).23(lim 2434323xxxxx 计算极限计算极限例例解解)23(lim434323xxxxx )2131(lim43xxxx tttttx43012131lim )21(21)31(lim43320 ttt.23 .sin)(cos1211lim 322202xexxxxx 计计算算极极限限例例解解12220sin)(cos1211lim2xexxxxx )(cos1211lim22220 xxexxxx )2sin()(cos21lim22220 xxxxexxexxxxx )2sin()(cos211lim2220 xxxx

23、exxexx )2(sin)(cos22lim2220 xxxxexxexx )42(cos)2(sin)2(sin2lim222220 xxxxxexexxxexxexx )42(cos6sin3lim22220 xxxxexexxxexx )42(cos6sin31lim22220 xxxxexexexx .121 解解2)()121(21! 21211)1(14422122xoxxxx ),(81211442xoxx ),(211cos22xoxx ),(1222xoxex ),0( sin22时时xxx),(8112114422xoxxx ),(23sin)(cos4422xoxxex

24、x )(23)(81limsin)(cos1211lim4444022202xoxxoxxexxxxxx .121 .50 sin)cos()(, 4阶无穷小阶无穷小的的时关于时关于为当为当使使和和试确定常数试确定常数例例xxxxbaxxfba 解解:利用泰勒公式得利用泰勒公式得xxbaxxfsin)cos()( )(! 5! 3)(! 4! 21(553442xoxxxxoxxbax )()! 3! 5()! 2! 3()1(553xoxbbaxbbaxba , 1)(lim50 xxfx由由于于 0! 2! 301bbaba因因此此.31,34 ba.)(,)2( ;)()1( 0 , 0

25、0 ,)()( , 0)0(,)0(,)( 5具有一阶连续导数具有一阶连续导数证明证明对以上所确定的对以上所确定的处处连续处处连续使使确定确定且且存在存在具有一阶连续导数具有一阶连续导数设函数设函数例例xgaxgaxxxxfxgffxf 解解,)0()1(ag xxfxgxx)(lim)(lim00 xfxfx)0()(lim0 )0(f .)(,)0(处处处处连连续续时时当当xgfa ,0)2(时时当当 x2)()()()(xxfxfxxxfxg xgxggxx)0()(lim)0(,00 时时当当xfxxfx)0()(lim0 20)0()(limxfxxfx xfxfx2)0()(lim

26、0 2)0(f 0 ,2)0(0 ,)()()(2xfxxxfxfxxg200)()(lim)(limxxfxfxxgxx 且且20)()0()0()(limxxffxfxxfxx 200)0()(lim)0()(limxfxxfxfxfxx xfxffx2)0()(lim)0(0 )0(21)0(ff )0(21f ),0()(lim0gxgx 即即.)(具具有有一一阶阶连连续续导导数数即即xg).()()( ,0:, 0)0(, 0)( 6bfafbafbafxf 时时当当证证明明设设例例证证,Lagrange, 0中中值值定定理理得得上上应应用用在在aaffaf)()0()(1 )0(1

27、a ,Lagrange,中中值值定定理理得得上上应应用用在在bab afbfbaf)()()(2 )(2bab , 0)( xf,)(单单调调递递减减xf ).()( 21 ff 故故0)()()()()(21 affbfbafaf ).()()( bfafbaf 即即.),(0)(, 0)( ,)()(,)( 7内内有有且且仅仅有有一一根根在在证证明明方方程程且且满满足足上上连连续续可可导导在在设设例例baxfafbaafxfbaxf 证证)()()( fabafbf ,)(baaf , 0)( bf, 0)( af又又,由零点定理可知由零点定理可知;),(0)(内内至至少少存存在在一一个个

28、根根在在方方程程baxf , 0)()()( abafbaafxf而而,)(单调递增单调递增xf;),(0)(内内至至多多存存在在一一个个根根在在方方程程baxf .),(0)(内内有有且且仅仅有有一一个个根根在在方方程程baxf ).(2)()1(),2 , 0( ),0(5)2(,)2 , 0(,2 , 0)( 82 ffffxf 使使得得证证明明存存在在且且内内可可导导在在上上连连续续在在设设例例证证,1)()(2xxfxF 设设,)2 , 0(,2 , 0)(内内可可导导在在上上连连续续在在则则xF),0()0(fF 且且5)2()2(fF )0()0(Ff 0)()2 , 0(, FRolle使使得得至至少少存存在在一一点点定定理理由由0)1()(2)()1()(222 xxxxfxfxF即即, 0)(2)()1(2 ff).(2)()1(2 ff .)1(ln)1( ,0 922 xxxx时时试证当