高等数学第十一章第四节幂级数

1、第四节第四节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十一章 例例 1 1 求级数求级数nnnxn)11()1(1 的收敛域的收敛域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级级数数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛

2、域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :,120 xxxnn例例如如级级数数)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn(定义域是定义域是?),(xsn2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如如果果Ix 0, ,

3、数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛, ,则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例例如如级级数数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散

4、散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发发散散域域定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa,)2(0时时发发散散假假设设当当xx 而而有有一一点点1x适适合合01xx 使使级级数数收收敛敛, ,则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所

5、设矛盾.由由(1)结论结论xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂幂级级数数发发散散;当当RxRx 与与时时, ,幂幂级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的幂级数的收

6、敛域收敛域是收敛区间与收敛端点的并集是收敛区间与收敛端点的并集., 0 R),RR ,(RR .,RR 规定规定, R问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR (1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,(2) (2) 幂级数对一切幂级数对一切x都收敛都收敛, ,称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间.),(RR定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;证明证明应应用用达达朗朗贝贝尔尔判

7、判别别法法对对级级数数 0nnnxannnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x ,)0(lim)1(1存存在在如如果果 nnnaa由比值审敛法由比值审敛法,1|时时当当 x,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa,1|时时当当 x,|0发发散散级级数数 nnnxa开始开始并且从某个并且从某个 n|,|11nnnnxaxa 0|nnxa.0 nnnxa发发散散从从而而级级数数;1 R收敛半径收敛半径, 0)2( 如果如果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nn

8、nxa; R收收敛敛半半径径,)3( 如如果果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级级数数)|01(0收收敛敛使使知知将将有有点点否否则则由由定定理理 nnnxax. 0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn nnna limnn lim, , R级

9、级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级级数数为为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为(0,1.例例 3 3 求幂级数求幂级数 1122nnnx的收敛的收敛域域. 解解 3523222xxx级级数数为为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1x

10、uxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛域为原级数的收敛域为).2, 2( 例、在幂级数nnnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在 ?答: 不能不能. 因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 ,.2R说明说明:

11、可以证明比值判别法成立根值判别法成立,()nnxxx();();nnnnnnxxxx由由有有：问题的提出问题的提出问题问题: :三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的的收收敛敛半半径径各各为为和和设设 (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22

12、ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘积积321xxx以上结论可用部分和的极限证明 .(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收收敛敛域域内内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :(1) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续.（在其收敛域上连续）（在其收敛域上连续） xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nx

13、nndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)(3) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可导导, 并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变),()nnxxx();();nnnnnnxxxx由由有有：例例 4 4 求级数求级数 11)1(nnnnx的和函数的和函数.解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1时时又又 x.1)1

14、(11收敛收敛 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即115( 11).1nnxn例在区间，内求幂级数的和函数则则设和函数为设和函数为，收敛区间为收敛区间为半径为半径为所以此幂级数的收敛所以此幂级数的收敛由于由于解解).(),11(, 1, 111/21limxsnnn )11(,1)1()(1)(21)0(,1)(1112112112 xxxxnxxsxnxxsxsnxxsxnnnnnnnn逐项求导得逐项求导得对对 . 0,21; 1|0,)1ln()()1ln()(0)1ln(1)(02202xxxxxxsxxxxs

15、xxxdxxxxsxxx从而从而时，有时，有于是当于是当积分得：积分得：到到对上式从对上式从由幂函数的和函数的连续性可知由幂函数的和函数的连续性可知,这个和函数这个和函数s(x)在在x=0处是连续的处是连续的,事实上有事实上有)0(21)1ln(lim)(lim200sxxxxsxx 解解,)1(1nnxnn 考虑级数考虑级数收敛区间收敛区间(-1,1), 1)1()(nnxnnxs则则)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析

16、运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例,)(12 nnnxxf,)(11 nnnxxf,)1()(22 nnnxnxf它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是)1 , 1(),1 , 1,1 , 1 练练 习习 题题二二、 利利用用逐逐项项求求导导或或逐逐项项积积分分, ,求求下下列列级级数数的的和和函函数数: :1 1、 11nnnx；2 2、 12531253nxxxxn. .练习

17、题答案练习题答案一、一、1 1、),(； 2 2、21,21 ； 3 3、)2, 2( ； 4 4、),(cc , ,其中其中 0,max bac. .二、二、1 1、)11()1(12 xx； 2 2、)11(11ln21 xxx. .阿贝尔(1802 1829)挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,备用题 求极限求极限, )(lim221nanaan其中. 1a解解: 令nnanaaS221nkkak1作幂级数,1nnxn设其和为, )(xS易知其收敛半径为 1,则1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1 (xxnnSlim)(1aS2) 1( aa常用已知和函数的幂级数常用已