高等数学微积分第一章 函数及其图形

1、文本索引文本索引1.11.1预备知识预备知识1.21.2 函数函数1 1. .3 3函数的几种基本特性函数的几种基本特性1.4 1.4 反函数反函数1.5 1.5 复合函数复合函数1.6 1.6 初等函数初等函数1.7 1.7 简单函数关系的建立简单函数关系的建立第一章第一章 函数及其图形函数及其图形1.1 预备知识预备知识1.集合集合集合集合(简称集简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。元素元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a 是集合M的元素表示为aM。集合的表示集合的表示: (P3) (1) 列举法 A=a, b, c, d, e, f, g。 (2

2、) 描述法 M=(x, y) | x，y为实数，x2+y2 =1。一、集合及其运算一、集合及其运算 几个数集几个数集: R表示所有实数构成的集合，称为实数集。 Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。 Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。 N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集。 子集子集: (P3) 若xA，则必有xB，则称A是B 的子集，记为AB（读作A包含于B）。 显然，N Z ，Z Q ，Q R 。 如果A，B互相包含，即A B且BA，则称A与B相等，记为A=B。（P4） 可以认为空集是任意非空集合A的子集，即 A。 集合的运算：交、并、差。 绝对值及其及其性质，见书第五页。2.

3、区间区间: 数集x|axb称为开区间，记为(a, b)，即 (a, b)=x|axb。xOab(a， b) a, b=x|axb称为闭区间。xOaba， b a, b)=x|axb及 (a, b=x|axb称为 半开区间。xOaba， b)xOab(a， b 上述区间都是有限区间，其中a 和 b 称为 区间的端点，b-a 称为区间的长度。以下区间称为无限区间：a, +) = x|ax，xOaa，+)(-, b = x|xb，xOb(- ， b(a, +) = x|ax，axO(a，+)(-, b) = x|xb，xOb(- ， b)(-,+) = x| |x|0，则称区间(a-, a+)为点a

4、 的邻域，记作U(a, )，即 U(a, ) =x|a-xa+ =x| |x-a|。其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。xOa-a+去心邻域去心邻域: (a,) =x |0| x-a |。UxOa-a+a 左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。1. 函数概念的引入函数概念的引入 圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0, +)内的任意值。 由落体下落距离的计算公式为s= - gt2，t可取0, T内的任意值。121.2 函数函数2. 函数的定义函数的定义 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量 y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称

5、y 是 x 的函数，记作y=f(x)。 定义中，数集D叫做这个函数的定义域， x叫做自变量，y叫做因变量。 函数符号函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。 值域：值域：W=y | y=f(x)，xD。定义域：定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 y=f(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。确定一个函数有二个要素：定义域和

6、对应的规确定一个函数有二个要素：定义域和对应的规则。则。求函数的定义域举例：求函数的定义域举例： 解: 要使函数有意义，必须x0，且x2-40。解不等式得|x|2。 函数的定义域为 D=x| |x|2，或D=(-, -22, +)。 求函数 y =412-xx的定义域。 3. 函数的图形函数的图形 在坐标系xOy内，集合 C=(x, y) | y=f(x)，xD所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。O yxC(x, y)xyWDy=f(x) 如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值问题只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。 以后凡是没有特别说明时，函数都是指单单值函数值函

7、数。3. 函数举例函数举例 例例1. 在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。 对于任意x(-r, r)，对应的函数值有两个： 22xry-=及y=22xr -。 函数的定义域为D=(-, +)。 函数的值域为W=0, + )。yxOy=|x| x, x 0 -x, x0 0, 当x=0-1, 当x1 时，y=1+x。 2212)21(=f；2212)21(=f；2 1 2) 1 (=f； ；当 x1 时，y=1+x。 5. 函数的运算函数的运算 函数可以作四则运算，见书中P16。1.3 函数的几种基本特性函数的几种基本特性图形特点图形特点： y=f(x)的图形在直线y=K1的下

8、方。y=K1y=f(x)Oxy1. 函数的有界性函数的有界性 设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数 f(x)在X上的一个上界。 如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。 图形特点图形特点：函数 y=f(x) 的图形在直线 y=K2 的上方y=K2y=f(x)Oxy有界函数的图形特点有界函数的图形特点： 函数y = f(x)的图形在直线y = - M和y = M的之间。 如果存在数 M，使对任一 xX，有 | f(x) | M，则称函数

9、f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在 x1X，使|f(x)|M。Oxyy=f(x)y= -My= M函数的有界性举例：（函数的有界性举例：（P19） f(x) = sin x在(-, +)上是有界的： 即| sin x | 1。 见P19页例1-11yxO-2p -pp 2py=sin x2. 函数的单调性函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 设函数y= f(x)在区间I上有定义。如果对于区间 I 上任意两点x1及x2，当x1 x2时，恒有f(x1) f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。 如果

10、对于区间I上任意两点x1及x2，当 x1 f(x2)， 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。 设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。3. 函数的奇偶性函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函数举例： y=x2， y=cos x都是偶函数 偶函数的图形关于y轴对称轴对称。奇偶函数举例： y=x3， y=sin x都是奇函数。例2、3（P21）101x -22y3xy = 如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称原点对称。 设函数f(x)的定义域为D。如

11、果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一xD有(xl)D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。最小的正周期T，T=minl | f(x+l) = f(x)且T0。可能不存在T，见书例4（P23）。 周期函数的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函数的周期性函数的周期性1.4 反函数反函数 对于任一数值 yW，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。 如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。1. 反函数反

12、函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1, y0)(x2, y0)WOxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 单调函数的反函数是单值函数，但有反函数的函数不一定是单调的。 什么样的函数存在单值的反函数？Oxy-xxy=x2y y=x2 的反函数是多值函数：x= 。y 把 x限制在区间 0,)，则y=x2 的反函数是单值的，即x= 。它称为函数y=x2 的反函数的一个单值分支。y反函数的单值分支：反函数的单值分支：y 另一个单值分支为x=- 。书中例2、例3（P26） 在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把

13、函数 y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y= f -1(x)。例如y=x2的反函数写为y= 。x反函数的图形：反函数的图形： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：关于反函数的变量符号：D1D2u=j(x)y =f(u)y =f j(x)复合函数： 一般地，设函数y =f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果 u | u= j(x)， xD2 D1则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数 y =

14、f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y =f j(x) ，其中定义域为D2，u称为中间变量1.5 复合函数复合函数复合而成的其中u， v 都是中间变量函数y= 可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnxx2ln1+u函数y= ，u=cot v，v= 经复合可得函数u2x问：函数y=arcsin u与u=2+x2能构成复合函数吗？两个函数可以构成复合函数的条件，见书中P29。P29-31，例题1-8。2cotxy = 例 函数y=arctan (x)2可看作是由y=arctan x和u=x2复合而成的1.6 初等函数初等函数1. 幂函数幂函数(见书中见书中P33页，增加一种常数函数）页

15、，增加一种常数函数） 函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数 幂函数的定义域：与常数m 有关，但函数在（0，+）内总有定义 最常见的幂函数：xyO11y = x 2y = xy = xxyO11y=x-1y=x31a1 y=( )x1ay=axxyO2指数函数指数函数 函数 y=ax (a是常数，且a0，a 1)叫做指数函数指数函数的定义域：D=（- ，+ ） 单调性： 若a1，则指数函数单调增加； 若0a1y=axxyOy=logax3对数函数对数函数 指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1) 对数函数的定义域是区间(0，+ )单调性： 若a1，则logax

16、单调增加； 若0a1，则logax单调减少性质见书性质见书P34常用的三角函数有：正弦函数： y=sin x1-1y=cos x余弦函数： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函数三角函数正切函数： y=tan x 余切函数： y=cot xxyO-pp p 2 p 2xyO-pp p 2 p 2y=tan xy=cot x正割、余割函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0, )三角函数的定义域见P35，常用公式见P36。正割函数：p2余割函数：内是无界函数 y = sec x = - 。1cos x1sin x y= csc x =- 。 反正弦函数y=arcsin x的

17、值域是 ， .反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数. p 2p2反正弦函数： y=Arcsin x， 定义域为-1，1.反余弦函数： y=Arccos x 定义域为-1，1 反余弦函数y=arccos x的值域是0，p。-11yxO p 2p2y=Arcsin xy=arcsin xyxOp-11y=Arccos xy=arccos x5反三角函数反三角函数反正切函数 y=arctan x，反正切函数： y=Arctan x,定义域为(- ， ).Oxy p 2p2y=arctan x p 2p2 其值域规定为( ， ) 上述反三角函数的值域通常称为相应反三角函数的主值范围。6基本初等函数与初等函数基本初等函