高数下第十二章级数

1、第十二章第十二章 级级 数数 一、级数的概念与性质一、级数的概念与性质1. 1. 级数的定义级数的定义: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛

2、发散发散时时如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛3、基本性质、基本性质性性质质 1

3、1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1nnku亦亦收收敛敛. .性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, ,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. .结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性性质质 3 3 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .证明证明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss

4、 knknnnnss limlimlim 则则.kss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.性性质质 4 4 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和. .证明证明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 则则,52s ,93s ,nms 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例例如如 1111推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级则原来级数也发散数也发

5、散. . 收敛收敛 发散发散lim0.nnu 证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :性质性质5注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .lim0,nnu 有有 n131211例例如如调调和和级级数数但发散但发散.二、正项级数及其审敛法二、正项级数及其审敛法1,0nnnuu 其其中中， nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件: :

6、定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns正项级数正项级数且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收敛收敛, ,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散. .均均为为正正项项级级数数，和和设设 11nnnnvu3.比较审敛法比较审敛法例例 1 1 讨讨论论 P P- -级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性. .)0( p解解, 1 p设设,11nnp .级数发散级数发散则则 P, 1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211

7、nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数: : 几何级数几何级数, P-, P-级数级数, , 调和级数调和级数. .例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发发散散级级数数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式: :设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数, , 如果如果则则(1) (1) 当当时时,

8、, 二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; ; (2) (2) 当当时，若时，若收敛收敛, , 则则收敛收敛; ; (3) (3) 当当时时, , 若若 1nnv发散发散, , 则则 1nnu发散发散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu例例 3 3 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性: :(1) 11sinnn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.6 6. .比比值值审审敛敛法

9、法( (达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法) )：设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果)(lim1 数或数或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛; ;1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .比值审敛法的优点比值审敛法的优点: 不必找参考级数不必找参考级数. . 注意注意:,11发散发散级数级数例例 nn,112收收敛敛级级数数 nn)1( 例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11

10、 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, 改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收收敛敛故故级级数数 nnn7 7. .根根值值审审敛敛法法 ( (柯柯西西判判别别法法) )：设设 1nnu是是正正项项级级数数, ,如如果果 nnnulim)( 为为数数或或 , ,则则1 时时级级数数收收敛敛; ;,1 ,1 nnn

11、设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n级数收敛级数收敛.1 时时级级数数发发散散; ; 1 时时失失效效. .三、交错级数及其审敛法三、交错级数及其审敛法定义定义: : 正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛定义定义: : 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. .定理定理 若若 1nnu收敛收敛, ,则则 1nnu收敛收敛. .证明证明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv显显然然,nn

12、uv 且且,1收收敛敛 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收敛敛.上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为绝绝对对收收敛敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .例例 6 6 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性. .解解,1sin22nnn ,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审

13、敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun思考题思考题 设正项级数设正项级数 1nnu收敛收敛, , 能否推得能否推得 12nnu收敛收敛? ?反之是否成立反之是否成立? ?思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：

14、例如： 121nn收敛收敛, 11nn发散发散.五、函数项级数的一般概念五、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :设设),(,),(),(21xuxuxun是定义在是定义在RI 上的上的函数函数, ,则则 )()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间称为定义在区间I上的上的( (函数项函数项) )无穷级数无穷级数. .,120 xxxnn例例如如级级数数2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如如果果Ix 0, ,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛, ,则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所所有有发发散散

15、点点的的全全体体称称为为发发散散域域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和3.3.和函数和函数: : )()()()(21xuxuxuxsn在在收收敛敛域域上上, ,函函数数项项级级数数的的和和是是x的的函函数数)(xs, ,称称)(xs为为函函数数项项级级数数的的和和函函数数. .),(xsn例例 1 1 求求级级数数nnnxn)11()1(1 的的收收敛敛域域.解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1

16、( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x, 111)2( x当当, 11 x,02时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级级数数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或六、幂级数及其收敛性六、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例例如如级级数

17、数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,( 发发散散域域定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .xo R R几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性

18、质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂幂级级数数发发散散;当当RxRx 与与时时, ,幂幂级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间., 0 R),RR ,(RR .,RR 规定规定, R收收敛敛区区间间0 x;收敛区间收敛区间),( .),(RR (1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,(2) (2) 幂级数对一切幂级数对一切x都收敛都收敛, ,定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nn

19、nxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故故收收敛敛区区间间是是1 , 1( .nnna limnn lim,

20、 , R级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , oR 收敛区间收敛区间),(.;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收敛收敛即即 x,)1 , 0(收敛收敛 x.)21(2)1()4(1nnnnxn ,0时时当当 x,11 nn级级数数为为,1时时当当 x,)1(1 nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.例例 3 3 求幂级数求幂级数 1122nnnx的收敛区间的收敛区间.解解 3523222xxx级级数数为为缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项应应用用达达朗

21、朗贝贝尔尔判判别别法法)()(lim1xuxunnn nnnnnxx22lim12112 ,212x 级数收敛级数收敛, 1212 x当当,2时时即即 x, 1212 x当当,2时时即即 x级数发散级数发散,2时时当当 x,211 n级数为级数为,2时时当当 x,211 n级数为级数为级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区间为).2, 2( 3、幂级数的分析运算、幂级数的分析运算(2) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可积积,且且对对),(RRx 可可逐逐项项积积分分. xnnnxdxxadxxs000)()

22、(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)(3) 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可导导, 并并可可逐逐项项求求导导任任意意次次. 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)例例 4 4 求求级级数数 11)1(nnnnx的的和和函函数数.解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s显显然然两边积分得两边积分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1时时又又 x.1)1(11收敛收敛 nnn).1ln()1(1

23、1xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即练练 习习 题题二二、 利利用用逐逐项项求求导导或或逐逐项项积积分分, ,求求下下列列级级数数的的和和函函数数: :1 1、 11nnnx；2 2、 12531253nxxxxn. .练习题答案练习题答案七、泰勒级数七、泰勒级数上节例题上节例题)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在幂级数在其收敛存在幂级数在其收敛域内以域内以f(x)为和函数为和函数问题问题: 1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数

24、在什么条件下才能展开成幂级数?定定理理 1 1 如如果果函函数数)(xf在在)(0 xU 内内具具有有任任意意阶阶导导数数, , 且且在在)(0 xU 内内能能展展开开成成)(0 xx 的的幂幂级级数数, ,即即 nnnxxaxf)()(00 则则其其系系数数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且且展展开开式式是是唯唯一一的的. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .问题问题nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定不一定.( )000()( )()( )!knknkfxf xxxRxk ),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求lim0nnR ).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收（2）验证：）