高数工专第六章6.1无穷级数

1、第六章 无穷级数第一节第一节 数项级数的概念和性质数项级数的概念和性质一一. 数项级数的概念数项级数的概念中学: 无穷等比级数就是无穷级数的一种.12naqaqaqa定义将其各项依次累加所得的式子称为数项无穷级数，简称级数 nuuu21给定无穷数列 ,21nuuu1nnu项通项问题:如何理解无穷个数相加?变化趋势1. 部分和:nnkknuuuuS 2112. 部分和数列: ,21nSSS3. 收敛:SSnnlim称级数收敛Sunn1极限不存在,称级数发散例. 判断级数敛散性:(1). 1+2+3+n+2) 1(321 nnnSn)(n级数发散结论：级数收敛就是部分和数列有极限结论：级数收敛就是

2、部分和数列有极限 nnnuuuu211(2). ) 1(1321211nn111nnun)111()3121()211 () 1(1321211 nnnnSn111n)( 1n级数收敛=1(3). nnnaqaqaqaaq20q =1时 naSnq =-1时 aaaaSn极限不存在,级数发散级数发散1qqaqaaqaqaqaSnnn 112SqaSqn1, 1|nSq, 1|级数发散总之总之:, 1|q级数收敛1|q级数发散二二.数项级数的基本性质：数项级数的基本性质：性质性质1：设C是任意非零常数，则级数的敛散性相同，且当收敛时，1nnu1nnCu与11nnnnuCCu性质性质2：如果级数

3、分别收敛于和 s,则级数 也收敛，且其和 为s11nnnnvu 与)(1nnnvu 性质性质3 ：在级数中去掉、增加或改变有限项，其 敛散性不变。说明说明：其敛散性不变，但和是会发生变化的1nnu11)(nnnuu5若无穷级数收敛于S，则无穷级数收敛于（）ASB2SC2S-u1D2S+u1 C性质性质4： 收敛级数各项任意加括号后所得新级数仍 收敛且和不变证:设收敛级数 nuuu21新级数 )()(54321uuuuu ,5221nmSSSSSnnmmlimlim注意注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.例如: (11)+

4、(11)+ (11)+.收敛而11+11+11+.发散.性质性质5：(级数收敛必要条件)若级数 收敛,则1nnu0limnnu证证:)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS注意注意:(1). 若 ,则级数 发散1nnu0limnnu(2). 时,级数 不一定收敛0limnnu1nnu判断级数发散的第一步骤nlim1nnku5若un0,k是常数，则级数（）A收敛B条件收敛C发散D敛散性与k值有关 08.04D01limlimnunnn但可以证明级数发散假若级数收敛,则0)(lim2SSSSnnn但是,2121212121112 nnnnnSSnn矛盾例如例如:调和级数

5、n13121111nn22判断无穷级数111nnn的敛散性.07.105若无穷级数1nnu收敛于S，则无穷级数11)(nnnuu收敛于（）ASB2SC2S-u1D2S+u1Cnlim1nnku5若un0,k是常数，则级数( )A收敛B条件收敛C发散D敛散性与k值有关 08.0410无穷级数) 1(1431321211nn的和为_. 09.04D21判断级数111nnn的敛散性 09.0410. 无穷级数14332232323232nn+的和为_. 09.1010.无穷级数无穷级数0!2nnn的和为的和为 10.0410.106.2数项级数审敛法数项级数审敛法正项级数正项级数：各项都取正数或零的

6、级数称作正项级数注:(1)正项级数的部分和数列是单调递增数列(2)收敛数列必有界(3)单调有界数列必有极限定理定理1：正项级数 收敛的充要条件是1nnu其部分和数列sn有上界2.1.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法定理定理2(比较审敛法比较审敛法)1nnu设 和 都是正项级数,1nnv且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv(1)若 收敛,则 收敛;1nnu1nnv若 发散则 发散.证证:设 收敛于,1nnv则 部分和1nnunnuuuS 21 nvvv211nnu由定理1,收敛.1nnv1nnu反之,若 发散则 必发散.否则与上面的结论矛盾.(2)推论推论1：设 与 都是正项级

7、数，且存在k0和自然数N，使得当nN时，总有也收敛。收敛，则级数如果级数11nnnnuv1nnu1nnvnnkvu 推论推论2：设 与 都是正项级数，且存在k0和自然数N，使得当nN时，总有也发散。发散，则级数如果级数11nnnnuv1nnu1nnvnnkvu 例例3：讨论级数的敛散性11npn此级数称为P级数解：当0N 时,22llvullnnnnnvluvl232即由比较审敛法可知结论AunnlimAuNnNn时，当对任意, 0即22llvulnn例1)11ln(nn1)11 (limln1)11ln(limnnnnnn而 发散11nn发散定理定理4：(比值审敛法比值审敛法)设 是正项级数

8、,1nnu如果级数的后项与前项的比的极限nnnuu1lim10).1 (1).2(收敛;发散;1).3(无法确定.21判断无穷级数的敛散性.1nnn! n07.0421.判断无穷级数131nnn的敛散性.08.1021. 判断级数13) 1(2nnnn的敛散性. 09.10nnnuu1lim111)11 (lim)1(lim!) 1()!1(limlimennnnnnnuunnnnnnnnnn131) 1( 32lim1332lim1nnnnnnnn定理定理5：(根值审敛法根值审敛法)设 是正项级数,1nnu如果nnnulim则:10).1 (1).2(收敛;发散;1).3(无法确定.(证明略

9、)例例 :证明 nnnnn1312111321收敛01limlimnunnnn解解则级数收敛级数收敛：证明例nnnn1)5312(101)5312(nnnn正数，可当成从第二项开始各项均为证明：级数，又因为正项级数讨论其敛散性1325312lim)5312(limlimnnnnunnnnnnn收敛知，级数所以，根据根植审敛法1)5312(nnnn2.2交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法交错级数：交错级数：设对一切自然数n,都有un0,则称级数此两交错级数的敛散性相同为交错级数和111) 1() 1(nnnnnnuu以下介绍交错级数的审敛法：以下介绍交错级数的审敛法：莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛

10、法12limuSSnnSuSSnnnnn)(limlim122121limuSSnn则定理定理6：(莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法)若交错级数11) 1(nnnu满足:,.)2 , 1( ;)(1nuuuinnn单调递减，即数列0lim).(nnuii则级数收敛,且其和1uS )()()(21243212nnnuuuuuuS 1543212)()(uuuuuuSn 证证单调有界.1) 1(1111收敛：证明级数例nnn有对任意自然数是交错级数证明：级数nnnn,1) 1(110111) 1 (1nnunnu01limlim)2(nunnn收敛级数根据莱布尼茨审敛法知nnn1) 1(11对于一般的

11、任意项级数1nnu考虑1|nnu正项级数1|nnu收敛,则1nnu绝对收敛绝对收敛1nnu收敛,而 发散,则1|nnu1nnu条件收敛条件收敛例如111)1(nnn1211)1(nnn绝对收敛条件收敛2.3绝对收敛和条件收敛绝对收敛和条件收敛定理定理7： 如果 绝对收敛,则 必收敛1nnu1nnu收敛数绝对收敛，所以正项级证明：因为级数11nnnnuu)2 , 1( ,nuuvnnn令）（且则2 , 1,2, 0nnuvvnn收敛知，级数根据比较审敛法的推论1nnvnnnuvu又因为1nnu 必收敛级数根据收敛级数的性质得例例12：判断级数 的敛散性13sinnnn收敛收敛，所以而级数解：因为

12、131333sin1,1sinnnnnnnnn收敛绝对收敛，所以即级数1313sinsinnnnnnn21.判断级数111)n(1)1(nnnn是否收敛.如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛 08.04绝对收敛。故11)1ln() 1(, 10) 1ln(1lim|limnnnnnnnnnu1nnv1nnu5设0unvn(n=1,2,)，且无穷级数收敛，则无穷级数A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.收敛性不确定 09.0421.判断级数131321nnnn是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛?10.04233312121321nnnn绝对收敛故收敛故收敛1311312332)1(,32

13、1,1nnnnnnnnnB10.1021.6.3幂级数幂级数1. 函数项级数的定义函数项级数的定义定义在区间I上的一列函数),(,),(),(),(321xuxuxuxun则由这一列函数构成的表达式称为定义在区间I上的函数项级数函数项级数，简称级数级数。)()()()()(1321xuxuxuxuxunnn 对于每一个确定的值 函数项级数就成为常数项级数,0Ix 此级数可能收敛可能发散。此级数可能收敛可能发散。100030201)()()()()(nnnxuxuxuxuxu（）（） 如果（）收敛，称点x0是函数项级数的收敛点收敛点；如果（）发散，则称点x0是函数项级数的发散点发散点。 由所有的

14、收敛点构成的集合称为函数项级数的收敛域收敛域，由所有的发散点构成的集合称为函数项级数的发散域发散域。2. 函数项级数的收敛与发散函数项级数的收敛与发散 显然，在收敛域上，函数项级数的和是显然，在收敛域上，函数项级数的和是x的函的函数，记作数，记作 称为函数项级数的称为函数项级数的和函数和函数，即，即),(xS和函数的定义域就是级数的收敛域。和函数的定义域就是级数的收敛域。)()()()()()(1321xuxuxuxuxuxSnnn函数项级数的前函数项级数的前n项和项和)()()()()(321xuxuxuxuxSnn称为它的称为它的部分和函数部分和函数，易知在收敛域上有，易知在收敛域上有)(

15、)(limxSxSnn 幂级数幂级数是函数项级数中最简单也是应用最广是函数项级数中最简单也是应用最广泛的一类级数，以下重点介绍幂级数。泛的一类级数，以下重点介绍幂级数。3、幂级数的定义、幂级数的定义nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000形如形如的级数称为的级数称为幂级数幂级数，其中的常数，其中的常数,210naaaa称为称为幂级数的系数幂级数的系数。对于上述幂级数，只要作代换对于上述幂级数，只要作代换t=x-x0, 就转化为特殊形式就转化为特殊形式nnnnntatataata22100我们今后只要讨论这种简单形式的幂级数我们今后只要讨论这种简单形式的幂级数4.幂

16、级数的收敛域幂级数的收敛域一般的,幂级数收敛域是一区间.例 nnnxxxx2111由等比级数的性质, 时收敛, 时发散1|x1|x则收敛域(1,1)内xxxxn 1112对于给定的幂级数如何确定他的收敛域？对于给定的幂级数如何确定他的收敛域？我们先介绍如下定理定理定理1 (阿贝尔定理阿贝尔定理) 如果 ：0nnnxa1.在点 收敛,)0(0 xx则当 时，它绝对收敛|0 xx 2.在点 发散,)0(0 xx则当 时，它发散.|0 xx 推论推论: 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则0nnnxa存在R0,使得当 |x|R 时它发散注:三种收敛情形:(1) 仅在 x = 0 处收敛;(2) 在

17、 内处处收敛;),(3) 在(R,R )内收敛,端点另外讨论收敛区间R收敛半径收敛半径R= 0R= + 收敛半径：收敛半径：若存在一个正数R0,使得(1)对一切满足|x|R的x，都有幂级数发散(3)对于x=R这两点,其收敛情况不确定,要具体分析我们将满足上述条件的R称为该级数的收敛半径收敛区间收敛区间：若级数的收敛半径为R，则(-R，R)为收敛区间收敛域：收敛域：确定了端点的收敛区间称为收敛域，即收敛域是-R,R,-R,R),(-R,R,(-R,R)其中之一。5.设幂级数1) 3(nnnxa在x=1处收敛,则在x=4处该幂级数( )A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定 10.04A5

18、.收敛半径收敛半径R的求法的求法：定理定理2: 对于幂级数对于幂级数 ，如果，如果则收敛半径则收敛半径 ，且当，且当 时，时， ；当；当 时，时， 。1 R0 R 0 Rnnnaa1lim )0(0 nnnnaxa说明：说明：求得收敛半径求得收敛半径R后后,再将再将 时的常数项级时的常数项级数的敛散性做以讨论，便可得幂级数的收敛域。数的敛散性做以讨论，便可得幂级数的收敛域。Rx 011.,nnnnnnnxxxaaa项的系数中是幂级数其中nxxxxxnn 1432) 1(4321：求幂级数例的收敛半径、收敛区间和收敛域。解解：因为11lim111limlim1nnnnaannnnn) 1 , 1

19、(11R，其收敛区间为所以幂级数的收敛半径当x=1时，原级数成为交错级数1111) 1(1) 1(4131211nnnnn该级数收敛当x=-1，原级数成为nnn1) 1(141312111由调和级数发散知，该级数发散，因此幂级数的收敛域为(-1,122.求幂级数1n2nn) 3x(的收敛半径和收敛域 07.0421求幂级数11) 1(2) 1(nnnnxn的收敛半径和收敛域 07.1022.求幂级数nnnnxn1132) 1(的收敛区间 08.10)4 , 2(1|3| , 11, 11) 1(1lim22收敛区间xRnnn1,lim1Raannn收敛半径22求幂级数11) 1(nnnx的收敛

20、区间 09.0422. 求幂级数12nnnx的收敛区间 09.105.设幂级数1) 3(nnnxa该幂级数( )A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不定在x=1处收敛,则在x=4处10.04)(0 xSxannn设收敛半径为R, 则(1) S(x) 在收敛域内连续;(2) S(x) 在(-R,R)内可导,且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS6.幂级数的性质及应用幂级数的性质及应用即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3) S(x)在(-R,R)内可积,且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadttadtt

21、adttS即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.的和函数内求幂级数：在区间例11)1 , 1(7nnxn则即解：设所求和函数为,1)(),(1nnxnxsxs) 1 , 1(,11)(11xxxxsnn对上式两边从0到x积分，又因为s(0)=0，所以) 1 , 1(),1ln()(xxxs的和函数内，求幂级数：在区间例011) 1 , 1(8nnxn解解：设所求和函数为s(x),则1)0(,11)(0sxnxsnn且为了使幂级数的一般项求导后将系数消掉，在上面等式两边乘x,得11n110111)(nnnnxnxnxxs由例7知

22、xs(x)=-ln(1-x),x(-1,1)0,1) 1 , 0()0 , 1(),1ln(1)(xxxxxs1) 1 , 1(9nnnx 的和函数内，求幂级数：在区间例11111)()(nnnnnnnnxxxxnxxnx) 1 , 1(,)1 ()1 (1)1(22xxxxxxxx0)(nnnxgxb)(0 xfxannn设7.幂级数的运算幂级数的运算收敛半径分别为 和 ,记1R2R,min21RRR 则对于任意的 , 有),(RRx)()()(000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn10.当|x|1时，无穷级数01) 1(nnnx的和函数为_08.04上节告诉我们：上节告诉我们：

23、nnnxxaxf)()(00 幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。我们的问题是：任意给定的函数我们的问题是：任意给定的函数f(x)2. 如果能展开, 是什么?na3.展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数?6.4函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式并称此幂级数为f(x)幂级数展开式幂级数展开式1.幂级数展开式幂级数展开式下面的定理说明，如果f(x)在(-R,R)内能展开成幂级数，则该幂级数是被f(x)在x=0点的函数值和各阶导数值唯一确定。定理定理1(唯一性定理唯一性定理)如果函数f(x)在区间(-R,R)内可以展开成幂级数，即

24、)( ,)(22100nnnnnxaxaxaaxaxf则), 2 , 1 , 0( ,!)0()(nnfann证明：证明：将x=0代入，得a0=f(0)对()两边逐项求导，得1342321432)(nnxnaxaxaxaaxf 22432) 1(34232)(nnxannxaxaaxf 343) 2)(1(23423)(nnxannnxaaxf)( ,)(332210nnxaxaxaxaaxf将x=0代入以上各式得xnnannnxfnn2) 1(2)2)(1()()(), 2 , 1( ,!)0()(nanfnn), 2 , 1 , 0( ,!)0()(nnfann综合以上知由以上定理不难得出

25、以下结论：由以上定理不难得出以下结论：，则若0)(nnnxaxf), 2 , 1 , 0( ,!)0()(nnfann2.泰勒公式泰勒公式在一元函数微积分中，我们学过拉格朗日中值定理：设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点内可导，则至少存在一点(a,b)使得使得f(b)-f(a)=f()(b-a)将上述定理应用到区间x0,x上，有)()()()()()(0000 xxfxfxfxxfxfxf即之间与介于其中xx0将上述公式推广即得以下泰勒公式泰勒公式：泰勒公式：阶导数内有直到的某个邻域在设1),()(000nxxxxf，有则对任意的),(00 xxx 2000

26、00)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xRxxxfnnnn之间与介于其中其中xxxxfnxRnnn010)1(,)()!1(1)(的泰勒公式的余项在点为我们称0)()(xxxfxRn)()()(00 xxfxfxf拉格朗日： nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()()(00)(200000nnnxxnxf)(!)(000)(处的泰勒级数在称上述级数为0)(xxf处的泰勒系数在为称00)()(), 2 , 1 , 0( ,!)(xxfnnxfann设f(x)在点x=x0附近有任意阶导数，我们称幂级数nnnxxnxf)(!)(000)(的马克

27、劳林级数为)(xf的马克劳林系数为称)(), 2 , 1 , 0( ,!)0()(xfnnfann时，我们称幂级数特别地，当00 x nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)( nnxxnfxxxfxxxfxf)(!) 0()(! 2)()()(0)(200000泰勒定理泰勒定理:若f(x) 在 的某邻域内具有各阶导数,0 x0)(limxRnn注: (1) 则f(x)在 的邻域内可以展开成泰勒级数0 x若f(x)在 的泰勒级数收敛于f(x),即0 x000)()(!)()(nnnxxnxfxf泰勒展开式(2) 如果函数可以展开成幂级数,则展开

28、式唯一.则称 f(x)在 可以展开成泰勒级数0 x 200000)(!21)()()(xxxfxxxfxfxf 200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xRxxxfnnnn3. 函数展开成幂级数函数展开成幂级数以下主要研究函数如何展开成 x 的幂级数. 麦克劳林级数00 x1. 直接展开法直接展开法(1) 求出 ),(,),(),()(xfxfxfn如果某阶导数不存在,说明不能展开(2) 求出 ),0(,),0(),0(),0()(nffff(3) nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2求出收敛半径R(4) 在(-R,R)内,如果0)

29、(limxRnn则 f(x) nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)( nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()()(00)(200000nnnxxnxf)(!)(000)(例例1 ： 将函数 展开成 x 的幂级数xexf)(解：,.)2 , 1( ,)()(nexfxn,.)2 , 1( , 1)0()0()(nffn ! 212nxxxn收敛半径R1)!1(| )(|nnxnexR)0(,)!1(|1|之间与介于xnxenx有限趋于零,因为 收敛01)!1(|nnnx所以0)(limxRnn)( ,! 212 xnxx

30、xenxxexf)( nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)(1!nnnx1,|lim1Raannn之间与介于其中xxxxfnxRnnn010)1(,)()!1(1)(102lim)!1()!2(lim12nxxnnxnnnn10.无穷级数1+1+!1! 31! 21n的和为_.08.10)( ,! 212 xnxxxenx10.无穷级数无穷级数0!2nnn的和为的和为 . 10.0425.将函数将函数 2312xxxf展开为展开为(x+1)的幂级数的幂级数 10.04ee2xxfxsin)(:2的幂级数：展开成例,.)2 , 1(),2si

31、n()(nnxxfn,.)2 , 1 , 0,.(1, 0 , 1 , 0)0()(nfn(循环) )!12() 1(! 5! 31253nxxxxnn收敛半径R1)!1()21sin(| )(|nnxnnxR)0(,)!1(|1之间与介于xnxn所以0)(limxRnn0)( ,)!12() 1(012xnxnnn)2cos()(cos)2sin()(sin)()(nxxnxxnn解：解： nnnnnxnfxfxffxnfxf!)0(! 2)0()0()0(!)0()()(20)(1,|lim1Raannn2.间接展开法间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法

32、(2)变量替换法(3)四则运算法例 将函数展开成 x 的幂级数xxfcos)().1 ()(sincosxx)!12() 1(! 5! 3(1253 nxxxxnn)( ,!2) 1(! 4! 21242 xnxxxnn)1ln()().2(xxf) 11( ,) 1(110 xxxnnnxdxxx011)1ln() 1(00 nxnndxx) 11(x11) 1(nnnnx02)!2() 1(nnnnx)( ,)!12() 1(sin012xnxxnnn) 11( ,!) 1()2)(1(! 3)2)(1(! 2) 1(1)1).(3(32 xxnnxxxxn幂级数展开成将xx211)4(0

33、2) 11( ,111nnnxxxxxx解解：因为得代替所以用xx202022) 1()(11nnnnnxxx) 11( ,) 1(1242xxxxnn例 将 分别展开成 x 的及 x1 的幂级数x313113131xx,301nnnxnnx)3(310211121) 1(2131xxxnnx)21(210)31( ,2) 1(01xxnnn3313113xxx31212121xxx33x例 将 展开成 x1的幂级数3412 xx)3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx)411 (81)211 (41xxnnnnnnxx)41() 1(81)21() 1(4100,) 1)(2

34、121() 1(0322nnnnnx)31(x)53(x)31(x25.将函数f(x)=xarctanx展开为x的幂级数.07.0425将函数xxxf3)(展开成x的幂级数 07.1002022) 1()(11)(arctannnnnnxxxx(),12) 1(arctan012nnnnxx) 11( ,12) 1(arctan)(022xnxxxxfnnn0013)3(31131)(nnnnnxxxxxxxxf3313xx25.将函数f(x)=21x展开成（x+2）的幂级数 25将函数f (x)=x31展开为x的幂级数。08.0408.1025将函数f(x)=x31展开为x-1的幂级数 09

35、.040)22(21221121)2(21()1()1()(nnxxxxxxf)33( ,3)3(3131131)(001xxxxxfnnnnn0014) 1() 1()41(41411141) 1(41)(nnnnnnxxxxxf)53(x25. 将函数f(x)=ln(1+x)展开为x的幂级数. 09.1025.将函数将函数 2312xxxf展开为展开为(x+1)的幂级数的幂级数 10.0410.10的幂级数展开成将151)(.22xxxf00) 1()(11)(nnnnnxxxxf2) 1(13) 1(11121)(xxxxxf311131211121)1(31)1(21xxxx常用函数的

36、幂级数展开式常用函数的幂级数展开式：x（3 3）x,110nnxx（1）（2）022,) 1(11nnnxx,!0nnxnxe（4）)!12() 1(sin120nxxnnn11x（5）02,)!2() 1(cosnnnnxxx（6）,) 1()1ln(11nnnnxx（7）.!) 1).(1(.! 2) 1(1)1 (2nxnnxxx1,!) 1).(1(11Rxnnnn6.5傅里叶级数傅里叶级数 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的 周期运动就是简谐振动，可用正弦型函数来描写。 sinyAx 较为复杂的周期运动，能否分解成几个简谐振动的叠加，反应到数学上，就是一

37、个复杂的周期函数能否展开成由正弦函数和余弦函数构成的三角级数10)sincos(2nnnnxbnxaa三角级数：三角级数：形如形如的函数项级数称为三角级数三角函数系：三角函数系：称为三角函数系有时也记为：1sin,cos, 1nnxnx1.三角函数系的正交性：三角函数系的正交性：三角函数系的正交性是指三角函数系中每个函数的平方在-,上的积分都大于零，而每两个不同函数的乘积在-,上的积分都等于零，即cossin0nxdxnxdx coscos0,sinsin0,cossin0mxnxdxmnmxnxdxmnmxnxdx （6） （7） 222cossin,12nxdxnxdxdx 通常把两个函数

38、可积，且通常把两个函数可积，且 0baxx dx , a b , 的函数的函数与与称为在称为在上是上是正交的。正交的。所以我们说在上，三角函数系具有正交性正交性2.2.周期为周期为22的函数展开为傅里叶级数的函数展开为傅里叶级数 设设f(x)是一个以是一个以2为周期的函数，且能展开成为周期的函数，且能展开成三角级数，即设三角级数，即设 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf 那么这个三角级数中的系数那么这个三角级数中的系数a0 ,a k ,bk与函数与函数 f(x)有什么关系？为了解决这个问题，我们假设三角级有什么关系？为了解决这个问题，我们假设三角级数数(3)是可以逐项积分的是可

39、以逐项积分的(3)0)(adxxf dxxfa)(10即即 10sincos2)(kkkkxdxbkxdxadxadxxf 根据三角函数系的正交性，上式右端除第一项根据三角函数系的正交性，上式右端除第一项外，其余各项均为零，所以有外，其余各项均为零，所以有先求先求a0 ，对，对(3)式两边从式两边从- 到到逐项积分，得逐项积分，得 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf(3) 10cossincoscoscos2kkknxdxkxbnxdxkxanxdxa nxdxnxanxdxxfncoscoscos)( nxdxxfcos)(根据三角函数系的正交性，上式右端除含根据三角函数系的

40、正交性，上式右端除含 ak且且k=n的这一项外，其余各项均为零，所以有的这一项外，其余各项均为零，所以有其次求其次求an，用，用cosnx乘乘(3)式两边，再从式两边，再从- 到到 逐项积分，得逐项积分，得 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf222cossin,12nxdxnxdxdx 即即 nxdxxfancos)(1 nxdxxfbnsin)(1类似地，用类似地，用sinnx乘乘(6)式两边，再从式两边，再从- 到到逐项积逐项积分，得分，得把上面讨论的结果归纳如下把上面讨论的结果归纳如下: dxxfa)(10nxdxxfacos)(1n则设, )sincos(2)(10nn

41、nnxbnxaaxf xdxxfbnsin)(1 dxxfa)(10nxdxxfancos)(1则设, )sincos(2)(10nnnnxbnxaaxf 这组公式称为这组公式称为欧拉欧拉-傅里叶公式傅里叶公式，由这些公式计算出的，由这些公式计算出的系数系数a0 ,a1 ,b1， a2 ,b2，称为函数称为函数f(x)的的傅里叶系数傅里叶系数 xdxxfbnsin)(110)sincos(2nnnnxbnxaa称为函数称为函数 f ( x)的的傅里叶级数傅里叶级数 下面给出傅里叶级数收敛的定理下面给出傅里叶级数收敛的定理 (定理证明从略定理证明从略)以以a0 ,an ,bn(n=1,2,3)为

42、系数作出的三角级数为系数作出的三角级数 )0()0(21 xfxf收敛定理收敛定理:(狄利克雷收敛准则狄利克雷收敛准则) 设设 f (x)是以是以2为周期的函数，如果它满足条件为周期的函数，如果它满足条件: (1).在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点，在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点， (2).在一个周期内至多有有限个极值点。在一个周期内至多有有限个极值点。则函数则函数f(x)的傅里叶级数收敛，并且的傅里叶级数收敛，并且(1)(1)当当x是是 f ( x)的连续点时，级数收敛于的连续点时，级数收敛于f ( x) ；(2)当当x是是 f (x)的间断点时，级数收敛于的间断点

43、时，级数收敛于 .0, 0,f(x) xxxx将将f(x)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数图图8.38.3例例2 2 设设f(x)是周期为是周期为2的函数，在的函数，在- ,)上的表示式为上的表示式为 00)(1 xdxdxx 00coscos)(1 nxdxxnxdxx 02xdx nxdxxfancos)(1 dxxfa)(10按傅里叶公式计算傅里叶系数按傅里叶公式计算傅里叶系数:.0, 0,f(x) xxxx 02cos1sin2 nxnnxnx ;4, 02为奇数为奇数当当为偶数为偶数当当nnn )1(cos22 nn 0cos2nxdxx 00coscos)(1 nxdxxnxdxx

44、0sinsin)(100 nxdxxnxdxx),()12cos()12(13cos31cos42)(22 xmmxxxf nxdxxfbnsin)(1 因为函数因为函数f(x)满足收敛定理的条件，且没有间断点满足收敛定理的条件，且没有间断点,所以所以f(x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为;4, 02为奇数当为偶数当nnnan0a10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf, 0)(10dxxfa(1).设设f(x)是以是以2为周期的奇函数，则为周期的奇函数，则f(x)的傅里叶系数为的傅里叶系数为3.奇函数和偶函数的傅里叶级数奇函数和偶函数的傅里叶级数), 2 , 1( , 0cos)(1nnxdxxfan.)3 , 2 , 1( ,sin)(2sin)(10nnxdxxfnxdxxfbn所以函数的傅里叶级数10)sincos(2nnnnxbnxaa中只有正弦项，称为正弦级数正弦级数故，若故，若f(x)是以是以2为周期的为周期的奇函数奇函数，则，则f(x)的傅里