高数习题课无穷级数

1、数项级数的概念和性质数项级数的概念和性质 无穷级数无穷级数表达函数表达函数解微分方程解微分方程数值计算数值计算数项级数的概念和性质数项级数的概念和性质一一. 数项级数的概念数项级数的概念中学中学: 无穷等比级数无穷等比级数就是无穷级数的一种就是无穷级数的一种.12 naqaqaqa定义定义将其各项依次累加所得的式子将其各项依次累加所得的式子称为数项无穷级数称为数项无穷级数 nuuu21设有数列设有数列 ,21nuuu1nnu项项通项通项1. 部分和部分和:nnkknuuuuS 2112. 部分和数列部分和数列: ,21nSSS3. 收敛收敛:SSnnlim称级数收敛称级数收敛Sunn1nnSS

2、r称为级数余项称为级数余项极限不存在极限不存在,称级数发散称级数发散例例1. 判断下列级数的部分和判断下列级数的部分和,并判断其敛散性并判断其敛散性:(1). )!1(1)!(1)!1(11)!1( nnnnnnun解解： 1)!1(nnn级数收敛其和是级数收敛其和是1(2).)( 1)!1(11)!1(1!1()! 31! 21()! 211( nnnnsn 1212nnn)2(212232232121)1(21225232113232 nnnnnnnsns解解：级数收敛其和是3(3). nnSlim故故级数发散111132232232122112121221212122121)2()1(

3、nnnnnnnnns得得3lim2321lim nnnnss即即故有故有)1(1nnn 11)1()23()12( nnnsn 1212nnn级数收敛其和是级数收敛其和是3二二. 数项级数的性质数项级数的性质性质性质1若级数若级数 收敛于和收敛于和 S, k 为常数为常数,则则1nnukSukkunnnn 11推论推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变敛散性不变性质性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减 111)(nnnnnnnSvuvu 性质性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性改变有限项不影响级数的敛

4、散性例例2:)3121(1nnn因为因为 和和 都收敛都收敛131nn121nn级数收敛级数收敛性质性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变注意注意: (1). 加括号后所得新级数发散加括号后所得新级数发散,则原级数发散则原级数发散.(2). 加括号后所得新级数收敛加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛原级数不一定收敛.例如例如: (11)+ (11)+ (11)+.收敛收敛而而11+11+11+.发散发散.性质性质5.(级数收敛必要条件级数收敛必要条件)若级数若级数 收敛收敛,则则1nnu0limnnu注意注意:(1). 若若 ,则

5、级数则级数 发散发散1nnu0limnnu(2). 时时,级数级数 不一定收敛不一定收敛0limnnu1nnu判断级数发散判断级数发散的第一步骤的第一步骤01limlimnunnn例如例如:调和级数调和级数 n131211但级数发散但级数发散(2)11)1(nnnn1) 1(limlimnnunnnn不存在不存在级数发散级数发散例例3. 判断级数敛散性判断级数敛散性:(1)11100nnn010011100limlimnnunnn级数发散级数发散(3) 12)1cos1(nnn021)2(121sin21lim21sin2lim)1cos1 (limlim22222nnnnnnunnnnn发散

6、故原级数发散.lim) 1()()()(3)(2)(.)(,111112101231201111收敛存在则项和为的前记项和为的前记nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSanSnaSnaaaaaaanaaaaaanaanSna收收敛敛证证明明收收敛敛收收敛敛已已知知数数列列例例 111,)(,. 4nnnnnnnaaannax 数项级数的审敛法数项级数的审敛法一一.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法每一项都非负每一项都非负其部分和数列有界其部分和数列有界定理定理1(基本定理基本定理)正项级数正项级数 收敛的充要条件是收敛的充要条件是1nnu定理定理2(比较审敛法比较审敛法)1nnu设设

7、 和和 都是正项级数都是正项级数,1nnv且且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv若若 收敛收敛,则则 收敛收敛;1nnu1nnv若若 发散则发散则 发散发散.注意注意: 定理定理2可以与第一节的性质相结合可以与第一节的性质相结合,灵活运用灵活运用.定理定理3(比较审敛法极限形式比较审敛法极限形式)设设 和和 都是正项级数都是正项级数,1nnu1nnv如果如果)0(limllvunnn则则 和和 同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散.1nnu1nnv定理定理4.(比值审敛法比值审敛法)设设 是正项级数是正项级数,1nnu如果如果nnnuu1lim则则:10).1 (1).2(收敛收

8、敛;发散发散;1).3(无法确定无法确定.定理定理5.(根值审敛法根值审敛法)设设 是正项级数是正项级数,1nnu如果如果nnnulim则则:10).1 (1).2(收敛收敛;发散发散;1).3(无法确定无法确定.(证明略证明略)例例 证明证明 nn13121132收敛收敛并估计以并估计以 近似代替和近似代替和 S 所产生的误差所产生的误差nS01limlimnunnnn解解则级数收敛则级数收敛 321)3(1)2(1)1(1|nnnnnnnrnnnnnnnnn)1(1)1(1)1(1)1(1321 pppn131211例例: p-级数的敛散性级数的敛散性解解0p时时,级数显然发散级数显然发散

9、.因为因为 , 而而 发散发散,则则 p-级数发散级数发散nnp1111nn1p时时,)+=()()()(spppppppppn 它的各项不大于下面的等比级数各项它的各项不大于下面的等比级数各项+=+mppppppppppppp)()()()()()( 收敛收敛收敛收敛因此因此 p-级数的部分和有界级数的部分和有界,故收敛故收敛. 发散发散 收敛收敛1p1p10 p时时,例例5. 判断级数敛散性判断级数敛散性:1)2)(1(1).1 (nnn21)2)(1(1nnn而而 收敛收敛121nn收敛收敛1) 1(14).2(nnnnnnnnnnn24) 1(1422而而 发散发散1)211 (22n

10、n发散发散nnn1sin1).3(1231111sin1nnnnn而而 收敛收敛1231nn收敛收敛dxxxnn 1102)1().4(2310102)1(3210ndxxdxxxunnn 由由于于而 收敛231)1(32 nn收敛 1ln)(ln1).5(nnnnnnnnnenulnln)ln(lnlnln11)(ln1 时时时时，即即当当22lnlneenn 收敛例例6. 判断级数敛散性判断级数敛散性:!10).1 (1nnn)0( :!).2(1annannnnnnuu1lim1010!)!1(10lim1nnnnnnnnuu1limeanannnannnnn!) 1()!1(lim11

11、收敛收敛当当级数发散时级数收敛时,.,eaea1!nnnnneea此时原级数为时，比值法失效，当enneuunnnn)11 ( , 1)11 (110limnnu故发散发散:)(ln).3(1lnnnnnn1)1(2).4(nnnnnnulim1212lim)1(nnnnnennnnnnnnlnlimlnlim2lnln由于0lnlim2nnnnnnulim收敛收敛0 故故二二.任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法各项为任意实数的级数1. 交错级数:11) 1(nnnu,.)2 , 1, 0( ,) 1(1nuunnnn或定理6 (莱布尼兹定理)若交错级数11) 1(nnnu满足:0lim

12、).(,.)2 , 1( ;).(1nnnnuiinuui则级数收敛,且其和 ,其1uS 1|nnur证)()()(21243212nnnuuuuuuS 1543212)()(uuuuuuSn 单调有界12limuSSnnSuSSnnnnn)(limlim122121limuSSnn则同理.|121 nnnnuuur交错级数例如 nn1)1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收敛且S1如果nSSnn1)1(41312111 则11|nrn2. 绝对收敛与条件收敛对于一般的任意项级数1nnu考虑1|nnu正项级数1|nnu收敛

13、,则1nnu绝对收敛1nnu收敛,而 发散,则1|nnu1nnu条件收敛例如111)1(nnn1211)1(nnn绝对收敛条件收敛定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛1nnu1nnu证设|)|(21nnnuuv则|, 0nnnuvv由1|nnu收敛知1nnv收敛而|2nnnuvu则1nnu收敛注意:(1) 逆命题不成立 (2) 如果用比值或根值审敛法判定 发散1|nnu1nnu则 发散(证明略)例712sinnnn221sinnnn121nn收敛收敛12sinnnn绝对收敛例81ln)1(nnnn1ln)1(nnnn对1lnnnn,.)4, 3(1lnnnnn发散而11nn发散1ln)1(nn

14、nn对0lim).(,.)4 , 3( ;).(1nnnnuiinuui收敛条件收敛)2.(ln)(xxxxf).(0ln1)(2exxxxf单调减少dxxennnxn111) 1(nnnnsin)1(1令令:nnnnnu)1(1sin1由于由于1)1(nn收敛收敛知知 收敛收敛nnn1sin11绝对收敛绝对收敛令令:dxxeunnxn1则则nnnxnnxneedxedxxeu1)11 (011由于由于1)1(nne收敛收敛dxxennnx 11所以所以 收敛收敛绝对收绝对收敛敛例92)1()1()1(nnnn例例10 判断下列级数敛散性判断下列级数敛散性,若收敛若收敛,是绝对收敛是绝对收敛,

15、还是条件收敛还是条件收敛,)1(1nnnu令法法1 由于由于nnun2111而而 发散发散11nn1)1(1nnn由比较判别法知由比较判别法知 发散发散 12121212111)1(1)1()1()1()1(2nknkknkkknkkknkkkkkks、记记法法11)1() 1()2(nnnn,1)1(2收敛而kkkk发散211kk发散故2)1()1(knnn)0()1()1()2(2 pnkpnn)1()1(1)1()1(1)1()1(1)1(u2nnonpnnnnnnpnpnpnpnpn 解解：)1()1(21 pppnnonpn,10时时故故当当 p1)1(12111绝绝对对收收敛敛及及

16、条条件件收收敛敛， npnpnpnnnpn条条件件收收敛敛故故)0()1()1(2 pnkpnn,1时时当当 p知知由由)1()1()1(ppnnnon 故故原原级级数数绝绝对对收收敛敛,0时时当当 p0)1()1( pnnnnu故故原原级级数数发发散散例例11.12| )1(|,12| )(| )( |, 0)( 0,)( 21)( ! 21)0( )0()(0)0( , 0)0(0)(0)(lim22220法知原级数绝对收敛法知原级数绝对收敛由正项级数的比较判别由正项级数的比较判别则则令令使使上连续上连续在包含原点的小闭区间在包含原点的小闭区间又又之间之间与与介于介于从而从而邻域内有连续二

17、阶导数邻域内有连续二阶导数在在及及nMnfnxxMxfMxfMxfxxfxfxffxfffxxfxxfx .)1(,0)(lim,0)().1(10绝绝对对收收敛敛证证明明且且邻邻域域内内有有连连续续二二阶阶导导数数在在设设 nxnfxxfxxf .12sinlim1sin)(sin)(sin)(sin1121122222222故故原原级级数数发发散散一一致致，应应为为发发散散的的敛敛散散性性与与记记 nnnnnnnnnnnvuvuvnnnnnnnnnnnnnnnnnnu 122)(sin).2(nnnn 收收敛敛证证明明收收敛敛设设 112|,).3(nnnnnaa.1),1(21|1212

18、22别别法法知知原原级级数数绝绝对对收收敛敛故故由由正正项项级级数数的的比比较较判判均均收收敛敛，及及而而 nnnnnnanana., 12lim2!5sin2!11别法知原级数绝对收敛别法知原级数绝对收敛再由正项级数的比较判再由正项级数的比较判收敛收敛法知法知由正项级数的比值判别由正项级数的比值判别记记 nnnnnnnnnnueuuunnnxn 15sin2!).4(nnnnxn 三、幂级数及其收敛性三、幂级数及其收敛性 形如形如00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论下面着重

19、讨论00 x0nnnxa nnxaxaxaa2210例如例如, 幂级数幂级数1,110 xxxnn为幂级数的为幂级数的系数系数 .即是此种情形即是此种情形. .的情形的情形, 即即 nnxxa)(0称称 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛 发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 (, +

20、) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散; 在(R , R ) 称为收敛区间收敛区间.ox发发 散散发发 散散收 敛收敛收敛 发散发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 若0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当

21、 时,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 若若, 0则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若,则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,.0R对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径.1R机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、求幂级数收敛域的方法四、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数标准形式幂级数: 先求收敛半径先求收敛半径 R , 再讨论再讨论Rx 非标准形式幂

22、级数非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法处的敛散性处的敛散性 .求下列级数的敛散区间求下列级数的敛散区间:;)11 () 1 (12nnnxn.2)2(21nnnxn例例12:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,12)11 () 1 (nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnx

23、n212)2()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn ,)4 (2x 411R)()(1limxxnnn ,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径

24、4121,minRRR注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和 变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnxa0例例14. 求幂级数.!) 12(1) 1(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21x

25、x,cos2sin21xxx ),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2 先求出收敛区间, )(xS则xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例15:.) 1()2(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,

26、. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS. 求下列幂级数的和函数：级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时, 级数也收

27、敛 . 即得机动 目录 上页 下页 返回 结束 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn例例16:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 . 2 11数数的的收收敛敛域域，并并求求其其和和函函求求级级数数 nnnnx, 21lim1 nnnaaR = 2解：解：发发散散，时时，当当 121 2 nnx.2)1( 2 11收敛收敛时，时，当当 nnnx).2 , 2 x收收敛敛域域： 112)(nnnnxxS设设 121nnnnxx)21ln(1xx 0

28、x 0 210 )21ln(1)(xxxxxS.展开式展开式4=（由原级数知（由原级数知.）例例17解：解：. !)1)(1( )!1( 11的的和和的的和和函函数数，并并求求求求幂幂级级数数 nnnnnnnnx, 01limlim 1 naannnn. R 1 )!1( )S(nnnnxx 01 !)1(nnnxn 0 !)1(nnnxnx 01 ! nnnxx)e( xxx e )1( xxx 1!)1)(1( nnnn 12!1 nnn 11!1)!1( nnnnn1)e1( xxxx)1|e (1 xx= 2e (e 1 ) = e + 1 .展开式展开式 1.例例18四、函数的幂级数

29、和四、函数的幂级数和 直接展开法 间接展开法例例19:(1). 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法(2). 设)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. 解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(

30、nnnxn于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214机动 目录 上页 下页 返回 结束 ._, _),0( , 3 ._ . _)0( 2._ _ 1120o1o1o时时它它发发散散时时它它收收敛敛；当当当当叫叫级级数数为为若若正正项项级级数数发发散散，其其和和序序列列有有界界项项和和条条件件是是它它的的前前收收敛敛的的正正项项级级数数要要

31、条条件件是是定定义义的的。级级数数收收敛敛的的必必收收敛敛还还是是发发散散，是是用用级级数数 aarararaarnuuunnnnnnnn 充充 要要几何几何 |r| 1P 1比较法比较法比值比值法法根值法根值法交错级数交错级数), 2 , 1( 1 nuunn.0lim nnu. u1 un+1._ _,_ 10_. _ 9._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 711*o*o111o11o且且新新级级数数的的和和为为，则则其其乘乘积积是是新新级级数数，两两个个绝绝对对收收敛敛级级数数其其和和，且且后后，新新级级数数绝绝对对收收敛敛级级数数各各项项重重排排则则级级数数或或者者，若若有有对对级级数数条条件件收收敛敛，是是指指级级数数绝绝对对收收敛敛，是是指指级级数数 nnnnnnnnnnnnnnnnnnvsuuuuuuuu收敛收敛若若 | 1 nnu, | 1发散发散若若 nnu收收敛敛而而 1 nnu必定发散必定发散仍然收敛仍然收敛不变不变 )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn s.）（收敛收敛则则收敛收敛若若）（收敛收敛可以可以则则发散发散发散发散若若）（发散发散则则发散发散收敛，收敛，若若）（收敛收敛收敛，则收敛，则若若）（收敛收敛收敛，则收敛，则若若）（收敛收敛，则级数，则级数若若）（收敛，则收敛，则若级数若级数 .,