涉及到角平分线的全等

1、涉及到角平分线的全等DC与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性.角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式:1 .由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 .过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形,3 .OAOB,这种对称的图形应用得也较为普遍，【例1】如图，已知ABC的周长是21,OB,OC分别平分ABC和ACB,ODBC于D,且OD3,求ABC的面积.CAD , BD CD，求证：AB AC .例2在ABC中，D为BC边上的点，已知BAD【例3】如图所示：AB

2、AC,ADAE,CD、BE相交于点O.求证：OA平分DAE.【例4】已知ABC中，ABAC,BE、CD分别是ABC及ACB平分线.求证：CDBE.【例5】已知ABC中，A60：l,BD、CE分别平分ABC和ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例6】如图，在ABC中，B60,AD、CE分别平分BAC、BCA,且AD与CE的交点为F.求证：FEFD.【例7】如图，已知E是AC上的一点，又12,34.求证：EDEB.B例8（06中考题）如图所示，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC,OBOD.求证：ABCD.BEDC例90已知ABC中，AB=ACGE过A且G

3、E/BC,/B的平分线与AC和GE分别交于D,E,/C的平分线与AB和GE分另1J交于F,G.求证DE=FG【例10（“希望杯”竞赛试题）长方形ABCD中，AB=4,BC=7,ZBAD的角平分线交BC于点E,EF，ED交AB于F,则EF=.【例11如图所示，已知ABC中，AD平分BAC,E、F分别在BD、AD上.DECD,EFAC,求证：EF/AB【巩固】如图，在ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF/AD交CA的延长线于点F ,交EF于点G，若BGCF,求证：AD为ABC的角平分线.【巩固】在 ABC中，AB 足，求证：AD DE .BAC的平分线交BC于D ,过B作BEAD ,

4、E为垂【例12 如图所示，AD是DEF 20,则ABC的角平分线，DE、DF分别是 ABD和BAC等于ACD的高,【例13 如图，已知 AABC 中，AD 平分/ BAC , AB=6 , AC=3 , / BAC=120 长.求AD的【例14 于 D , AEDF BCCF（2000年市中考题）如图，在ABC中，BAC90,BD平分ABC交ACBC于E交BD于G,FG/AC交BC于F,连接DF.求证:【例15（第十届“希望杯”数学竞赛）如图，如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线，试判断这个三角形的形状.已知ABC中，AD,BE既是 ABC的角平分线，又是ABC的高，试判断ABC的形状

5、.【例16】（市西城区2006年抽样测试八年级（上）附加题，黄冈市数学竞赛试题）如图所示,在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由.【巩固】在ABC中，ABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证:ABACPBPC.【例17如图，在ABC中，B2C,BAC的平分线AD交BC与D.求证：ABBDAC.D【巩固】（2001年省中考题）在ABC中，AD平分BAC,ABBDAC.求B:C的值.【巩固】如图，在ABC中，ABBDAC,BAC的平分线AD交BC与D.求证:B2C.【巩固】如图，ABC中，ABAC,A108,B

6、D平分ABC交AC于D点.求证:BCACCD.【巩固】（“希望杯”培训题）如图，ABC中，/A的平分线交BC于D,AB=AC+CD,/B=40,那么/C的大小是.（“希望杯”试题）如图，在ABC中，/BAC=90,/B=2/C,D点在BC上,AD平分/BAC,若AB=1,贝UBD的长为.【巩固】已知等腰ABC的平分线交AC于D,则BDADBC.【巩固】已知：在ABC中，ABCDBD,ADBC,求证:【巩固】（市数学竞赛题）如图，在直角 交AC于D,作CELBD交ABC 中，/ BAC= 90,BD的延长线于 E,则AB=AC , BD 平分/ ABCBD与CE的大小关系是【巩固】如图所示，在A

7、BC中，长 BD 至 E,使 DE=AD .A=1000 , ABC=40 0 , BD 是 ABC 的平分线，延 求证：BC=AB+CE【巩固】（1998年“希望杯”第二试）如图，直角ABC中，BAC90,ABAC,BD平分ABC交AC于D,作CEBD交BD延长线于E,作AHBC于H,交BD于M,则BM与CE的大小关系是什么？AfiHC【例18】（2003年市中考题）如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分DAE，求证：AEECCDBM是BC的中点，ME AD且【例19如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线,1父AC的延长线于E,CECD,求证ACB2B.

8、2【例20如图所示，在 ABC中，ACAB , M为BC的中点，AD是 BAC的平分线，若CF AD且交AD的延长线于F ,求证MFAB .AE .求证：AC AB 2BE .【巩固】（04年中考题）AD是 ABC的角平分线,交AB于F .求证：AF FB .BE AD交AD的延长线于 E , EF / ACE【巩固】如图，已知在ABC中，ABC【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D,E是BC的中点,1求证DEIIAB且DE(ABAC).2ABEC【巩固】(2002全国初中竞赛)如图13-17,ABC,BAC60,ACB40,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分

9、别是BAC,ABC的平分线.求证：BQAQABBP.P，【巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC,ADAB,CMAD于M,求证ABAC2AM.【例21如图，ABC中，ABAC,BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADBD于D,AECE于E.求证：ADAE.GBCH【例22已知：AD和BE分别是4ABC的/CAB和/CBA的外角平分线，CDAD,CE BE ,求证：1一一一DEIIAB;DEABBCCA.2【例23 在ABC中,AM BM :1 MN AB2MB、NC分别是三角形的外角AN CN垂足分别是MAC BCABE、 ACF的角平分线,N ,求证：MN / BC【例24 在 ABC中

10、，MB、NC分别是三角形的角ABC、 ACB的角平分线，AM BM ,AN CN垂足分别是M、1N .求证：MN / BC , MN 一 AB AC BC 2E【例25如图，在四边形ABCD中，AD/BC,A的平分线AE交DC于E.求证：当BE是B的角平分线时，有ADBCAB.【例26 在4ABC中，CD、AE分别为 AB、BC边上的高，/B 60、求证:DE【例27】（市中考模拟题）如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作一一、一1CEAB于E,并且AE-(ABAD),则ABCADC等于多少?白【例28如图， AD180,BE平分ABC,CE平分BCD,点E在AD上.探讨线段AB、C

11、D和BC之间的等量关系.探讨线段BE与CE之间的位置关系.【巩固】如图所示， AD平行于BC, 那么AB= .DAE=EABABE= EBC, AD=4, BC=2,【巩固】如图所示，在四边形ABCD当BE是 B的平分线时，有中，AD /AD BCA的平分线AE交DC于E ,求证:【例29如图所示，在 ABC中,BAC 900 , ADBC 于 D,BCA的角平分线交AD与F,交AB于E,FG平行于BC交AB于G.AE=4,AB=14，则BG=AB 于 H , AG 平分 BAC ,【巩固】如图所示，在Rt三角形ABC中，C900,CH【例30 【例31 B, C的平分线（ 1999年市竞赛题

12、）如图，在 ABC中，分别作两角AG CF, AH BE ,求证：BE,CF ,ABC中，D为BC中点,DEEGAC于G .求证：BF交CH于D,交BC于G,在BC上取BE=CG,连接ED,证明：CDE是直角三角形.【例32如图所示，BACDAE90,M是BE的中点，ABAC,ADAE,求证AMCD.【例33如图，点M为正方形ABCD的边AB（或BA）延长线上任意一点，MNDM且与/ABC外角的平分线交于点N,此时MD与MN有何数量关系？并加以证明.【例34 （市数学竞赛试题）在 ABC , BAC 5.25 , AD是 的垂线交直线 BC于点M .若BM AB AC，试求BAC的平分线，过A

13、作DAABC和 ACB的度数.Ci【例35】（理工附中0607学年下学期期中考试）在ABC中，A961,延长BC到D,ABC与ACD的角平分线相交于点A,ABC与ACD的角平分线交于A,依次类推A4BC与A4CD的角平分线交于A5,求A大小.（初二第5届希望杯1i如右上图，BF是ABD的角平分线，CE是ACD角的平分线，BE与CF交于G,若BDC140、BGC1记，求A的度数.【例36（06课改第23题）如图（1）所示，OP是/MON的平行线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图（2）,在BC中，/ACB是直角，/B=60,AD、CE分别是/BAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系.