高考数学(文)人教新课标总复习配套精讲课件第八章立体几何初步第六节

1、第六节空间图形的垂直关系第六节空间图形的垂直关系第八章立体几何初步第八章立体几何初步考考 纲纲 要要 求求1认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理定理2能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关能运用定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题系的简单命题课课 前前 自自 修修知识梳理知识梳理一、空间图形的垂直关系一、空间图形的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直二、直线与直线垂直二、直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为90，则称两直线垂直，包，则称两

2、直线垂直，包括两类：相交垂直与异面垂直括两类：相交垂直与异面垂直三、直线与平面垂直三、直线与平面垂直1定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直这条直线叫做平面的垂直，那么称这条直线和这个平面垂直这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面垂线，这个平面叫做直线的垂面2直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定.类别类别语言表述语言表述 应用应用判定判定如果一条直线和一个平面内的任如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直线和这个平面垂直(定义定义) 证

3、直线和平面垂直证直线和平面垂直 如果一条直线和一个平面内的两如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面线垂直于这个平面 (判定定理判定定理)证直线和平面垂直证直线和平面垂直 如果两条平行直线中的一条垂直如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面于同一个平面 证直线和平面垂直证直线和平面垂直 3.直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质类类别别语言表述语言表述图示图示字母表示字母表示应用应用性性质质如果一条直线和如果一条直线和一个平面垂直，一个平面垂直，那么这条直线和那么这条直线和这个

4、平面内的任这个平面内的任何一条直线都垂何一条直线都垂直直 证两条证两条直线垂直线垂直直如果两条直线同如果两条直线同垂直于一个平面，垂直于一个平面，那么这两条直线那么这两条直线平行平行ab证两条证两条直线平直线平行行四、二面角四、二面角1定义：从一条直线定义：从一条直线AB出发的两个半平面出发的两个半平面(和和)所所组成的图形叫做二面角记作二面角组成的图形叫做二面角记作二面角-AB-，AB叫做二面叫做二面角的棱，两个半平面角的棱，两个半平面(和和)叫做二面角的面叫做二面角的面2二面角的平面角：在二面角的棱二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点上任取一点O，过过O分别在二面角的两个面分别在二面

5、角的两个面，内作与棱垂直的射线内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把，我们把MON叫做二面角叫做二面角-AB-的平面角，用它来的平面角，用它来度量二面角的大小度量二面角的大小平面角是直角的二面角叫做直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角五、两个平面垂直的判定和性质五、两个平面垂直的判定和性质1定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直角，就说这两个平面互相垂直2两个平面垂直的判定和性质两个平面垂直的判定和性质类别类别语言表述语言表述图示图示字母表示字母表示应用应用判定判定根据定义证明根据定义证明两平面所成的二两平面所成的二

6、面角是直二面角面角是直二面角AOB是二面角是二面角a的平面的平面角，且角，且AOB90，则，则证两证两平面平面垂直垂直如果一个平面经如果一个平面经过另一个平面的过另一个平面的一条垂线，那么一条垂线，那么这两个平面互相这两个平面互相垂直垂直类别类别语言表述语言表述图示图示字母表示字母表示应用应用性质性质如果两个平面如果两个平面垂直，那么它垂直，那么它们所成二面角们所成二面角的平面角是直的平面角是直角角，AOB是是二面角二面角a的平面角，则的平面角，则AOB90证两证两条直条直线垂线垂直直如果两个平面如果两个平面垂直，那么在垂直，那么在一个平面内垂一个平面内垂直于它们交线直于它们交线的直线垂直于的

7、直线垂直于另一个平面另一个平面证直证直线和线和平面平面垂直垂直基础自测基础自测1已知直线已知直线m，n和平面和平面，若，若，m，n，要使要使n，则应增加的条件是，则应增加的条件是() A. mn B. nmC. n D. n解析：已知直线解析：已知直线m，n和平面和平面，若，若，m，n，根据面面垂直的性质定理，应增加条件，根据面面垂直的性质定理，应增加条件nm，才能，才能使得使得n.答案：答案：B2. (2012沈阳、大连联考沈阳、大连联考)设设a，b是平面是平面内两条不同的直线，内两条不同的直线，l是平面是平面外的一条直线，则外的一条直线，则“la，lb”是是“l”的的()A充要条件充要条件

8、B充分不必要条件充分不必要条件C必要不充分条件必要不充分条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：根据线面垂直的性质，解析：根据线面垂直的性质，a，b是平面是平面内两条不同的内两条不同的直线，由直线，由“l”，可以推得，可以推得“la，lb”，反之则不一，反之则不一定定“la，lb”是是“l”的必要不充分条件故选的必要不充分条件故选C.答案：答案：C3.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，中，PA底面底面ABCD，且底面各边都相等，且底面各边都相等，M是是PC上的一动点，当点上的一动点，当点M满足满足_时，平面时，平面MBD平面平面PCD.(只只要填写一个你认为是正

9、确的条件即可要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：解析：底面四边相等，底面四边相等，BDAC.PA平面平面ABCD，BDPA.PAACA，BD平面平面PAC.BDPC.故当故当DMPC(或或BMPC)时，有时，有PC平面平面MBD，从而有平面从而有平面PCD平面平面MBD.答案：答案：DMPC(或或BMPC)4已知已知m，n是两条不同的直线，是两条不同的直线，为两个不同的平为两个不同的平面，有下列四个命题：面，有下列四个命题：若若m，n，mn，则，则；若若m，n，mn，则，则；若若m，n，mn，则，则；若若m，n，则，则mn.其中正确的命题是其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号填上所有正

10、确命题的序号)_.答案：答案：考考 点点 探探 究究考点一考点一直线与平面垂直的证明直线与平面垂直的证明【例【例1】如图，在四棱锥】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，是正方形，侧棱侧棱PD底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中点，作的中点，作EFPB交交PB于于点点F. (1)证明：证明：PA平面平面EDB; (2)证明：证明：PB平面平面EFD.点评：点评：(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：证明直线和平面垂直的常用方法有：判定判定定理；定理；ab，ab；，aa；面面面面垂直的性质垂直的性质(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直线面垂直的性质，常用来证明线线

11、垂直变式探究变式探究1如图，正方形如图，正方形ABCD所在平面与三角形所在平面与三角形CDE所在平面所在平面相交于相交于CD，AE平面平面CDE，且，且AE3，AB6.(1)求证：求证：AB平面平面ADE；(2)求凸多面体求凸多面体ABCDE的体积的体积证明：证明： (1) AE平面平面CDE，CD平面平面CDE，AECD. 在正方形在正方形ABCD中，中，CDAD，ADAEA且且AD，AE平面平面ADE，CD 平面平面ADE，CD平面平面ADE.ABCD，AB平面平面ADE.解析：解析： (2)(法一法一)在在RtADE中，中，AE3，AD6，DE过点过点E作作EFAD于点于点F，考点二考点

12、二两直线垂直的证明两直线垂直的证明【例【例2】如图，】如图，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半径是底面半径为为1的圆柱的内接正六棱柱的圆柱的内接正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底底面是正六边形，侧棱垂直于底面面)，过，过FB作圆柱的截面交下底面于作圆柱的截面交下底面于C1E1，已知，已知FC1 .(1)证明：四边形证明：四边形BFE1C1是平行四边形；是平行四边形；(2)证明：证明：FBCB1.3点评：欲证线线垂直，可先证线面垂直，而欲证线面垂点评：欲证线线垂直，可先证线面垂直，而欲证线面垂直，可先证线线垂直，反复用直线与平面垂直的定义、判定直，可先证线线垂直，反复用直线与平面

13、垂直的定义、判定及性质来实现及性质来实现变式探究变式探究2如图如图(1)，ABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACBC4，E，F分别为分别为AC，AB的中点，将的中点，将AEF沿沿EF折起，使折起，使A1在平在平面面BCEF上的射影上的射影O恰好为恰好为EC的中点，得到图的中点，得到图(2) (1)求证：求证：EFA1C；(2)求三棱锥求三棱锥FA1BC的体积的体积考点三考点三线面垂直的开放性探究线面垂直的开放性探究【例【例3】在棱长为】在棱长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F，G分别为棱分别为棱BB1，DD1和和CC1的中点的中点(1)求证：求证：C1F平面平

14、面DEG；(2)求三棱锥求三棱锥D1A1AE的体积；的体积；(3)试在棱试在棱CD上求一点上求一点M，使，使D1M平面平面DEG.思路点拨：思路点拨：(1)连接连接DG，证明，证明C1FDG，再用线面平行的，再用线面平行的判定定理证明；判定定理证明；(2)确认确认A1D1是三棱锥的高；是三棱锥的高；(3)不论点不论点M在线在线段段CD上的什么位置，都有上的什么位置，都有EGD1M，因此只需在，因此只需在CD上确定点上确定点M，使得，使得D1MDG即可即可证明：证明： (1)在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，F，G分别为棱分别为棱DD1和和CC1的中点，的中点，DFGC1，且，且

15、DFGC1.四边形四边形DGC1F是平行四边是平行四边形形C1FDG.又又C1F 平面平面DEG，DG平面平面DEG，C1F平面平面DEG.点评：第点评：第(1)题也可以用面面平行的性质定理来证明：连接题也可以用面面平行的性质定理来证明：连接B1F，则可证明平面，则可证明平面B1C1F平面平面DEG；第；第(2)题也可以将平面题也可以将平面AA1D1作为底面，作为底面，E到到AA1的距离为高，求得体积；第的距离为高，求得体积；第(3)题是探题是探索性问题，常采用根据题设条件和结论，猜出要探索的结论，再索性问题，常采用根据题设条件和结论，猜出要探索的结论，再证明其正确性证明其正确性变式探究变式探

16、究3已知一四棱锥已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下，的三视图如下，E是侧棱是侧棱PC上的动点上的动点(1)求四棱锥求四棱锥P-ABCD的体积的体积(2)是否不论点是否不论点E在何位置，都有在何位置，都有BDAE？证明你的结？证明你的结论论(3)求四棱锥求四棱锥P-ABCD的侧面积的侧面积(2)不论点不论点E在何位置，都有在何位置，都有BDAE.证明如下：连接证明如下：连接AC.ABCD是正方形，是正方形，BDAC.PC底面底面ABCD，且，且BD平面平面ABCD，BDPC.又又ACPCC，BD平面平面PAC.不论点不论点E在何位置，都有在何位置，都有AE平面平面PAC，不论点不论点E在何位置

17、，都有在何位置，都有BDAE.(3)由由(1)知知PCCD，PCBC，CDCB，RtPCD RtPCB.ABBC，ABPC，BCPCC，AB平面平面PCB.PB平面平面PBC，ABPB.同理同理ADPD.四棱锥四棱锥P-ABCD的侧面积的侧面积考点四考点四平面与平面垂直的证明平面与平面垂直的证明【例【例4】如图，】如图，ABC 为正三角形，为正三角形，EC平面平面ABC，BDCE，CECA2BD，M 是是EA 的中点，求证：的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面平面BDM平面平面ECA；(3)平面平面DEA平面平面ECA.思路点拨：思路点拨：(1)证明证明DEDA，可以通过图形分割，证明，可

18、以通过图形分割，证明三角形全等三角形全等(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面由一平面由(1)知知DMEA，取，取AC 中点中点N，连接，连接MN，NB，易，易得四边形得四边形MNBD 是矩形从而证明是矩形从而证明DM平面平面ECA.证明：证明：(1)如图所示，取如图所示，取EC 中点中点F，连接，连接DF.EC平面平面ABC，BDCE，得，得DB平面平面ABC.DBAB，ECBC.BDCE，BD CEFC，则四边形，则四边形FCBD是矩形，是矩形，DFEC.又又BABCDF，RtDEF RtADB.DEDA.(2)如图所示，取

19、如图所示，取AC 中点中点N，连接，连接MN，NB，M 是是EA 的中点，的中点，点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决问题解决考点五考点五面面垂直性质的运用面面垂直性质的运用【例【例5】 如图，正方形如图，正方形ADEF与梯形与梯形ABCD所在的平面互相所在的平面互相垂直，垂直，ADCD，ABCD，CD2AB2AD.(1)求证：求证：BCBE；(2)在在EC上找一点上找一点M，使得，使得BM平面平面ADEF，请确定，请确定M点点的位置，并给出证明的位置，并给出证明解析：解析：(2)取取EC中点中点M，则有，则有BM平面平面

20、ADEF.证明如下：连接证明如下：连接MN.由由(1)知知BNAD，BN平面平面ADEF.又又M，N分别为分别为CE，CD的中点，的中点，MNDE.则则MN平面平面ADEF.平面平面BMN平面平面ADEF.BM平面平面ADEF.变式探究变式探究5如图，正方形如图，正方形ABCD和四边形和四边形ACEF所在的平面互相所在的平面互相垂直，垂直，EFAC，AB ，CEEF1.(1)求证：求证：AF平面平面BDE；(2)求证：求证：CF平面平面BDE.2四边形四边形CEFG为菱形为菱形CFEG.四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，BDAC.又平面又平面ACEF平面平面ABCD，且平面且平面ACEF

21、平面平面ABCDAC，BD平面平面ACEF.CFBD.又又BDEGG.CF平面平面BDE.课时升华课时升华1三种垂直关系的证明三种垂直关系的证明(1)线线垂直的证明线线垂直的证明利用利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那么另一条也和第三条直线垂直那么另一条也和第三条直线垂直”；利用利用“线面垂直的定义线面垂直的定义”，即由，即由“线面垂直线面垂直线线线线垂直垂直”；利用利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理三垂线定理或三垂线定理的逆定理”(2)线面垂直的证明线面垂直的证明利用利用“线面垂直的判定定理线面垂直的判定定理”，即由，即由“线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直”；利用利用“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么那么另一条也垂直于同一个平面另一条也垂直于同一个平面”；利用利用“面面垂直的性质定理面面垂直的性质定理”，即由，即由“面面垂直面面垂直线面线面垂直垂直”；利用利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面也垂直于另一个平面”利用定义：如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，利用定义：如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直