高等数学级数2(2)

1、1正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛小结小结 思考题思考题 作业作业constant term infinite series第二节第二节 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数定理定理1(1(基本定理基本定理) )( ssn正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法3. 比较审敛法比较审敛法定理定理2 2正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,nnvu 若若则则 1nnv收敛收敛 1nnu

2、收敛收敛 1nnu发散发散 1nnv发散发散 0常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. ,11都都是是正正项项级级数数与与设设 nnnnvu如果如果,limlvunnn 则则,0)1(时时当当 l,0)2(时时当当 l,)3(时时当当 l4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定理定理3 3,1收敛收敛若若 nnv;1收敛收敛则则 nnu,1发散发散若若 nnv.1发散发散则则 nnu正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性;常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法定理定理4 4,1 nnu设设

3、nnnuu1lim正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法5.5.比值审敛法比值审敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法) ) AlembertD,收敛收敛发散发散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法定理定理5 5适用于适用于:以以n为指数幂的因子为指数幂的因子正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法6. 根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法),1 nnu设设收敛收敛发散发散)0( nu 方法方法失效失效 1nnu 1nnu1 1 1 nnulimn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法正、负项相间的级数称为正、负项相间的级数称为n

4、nnu 11)1()0( nu其中其中莱布尼茨莱布尼茨 (Leibniz) (德德) 16461716:如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件, 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn则则.|1 nnur,1us 且且和和的绝对值的绝对值其余项其余项nr定义定义 )1(1nnnu 或或,级级数数收收敛敛alternate series交错级数交错级数. .定理定理6 6( (莱布尼茨定理莱布尼茨定理) )常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法二、二、交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法注注un与与un+1大小的方法有三种大小的方法有三种: (1)比值法比值法,

5、nnuu1 ?1 nnuu?(3) 由由un找出一个连续可导函数找出一个连续可导函数), 2 , 1(),( nnfun使使考察考察? (2)差值法差值法, 交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法nnnu 11)1()0( nu用莱布尼茨定理判别交错级数用莱布尼茨定理判别交错级数是否收敛时是否收敛时,要考察要考察un与与un+1大小大小, 比较比较),(xf)(xf 1 0 0 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法注注不满足也不满足也条件条件(2) )0lim( nnu条件条件(1) )3 , 2 , 1(1 nuunn 莱布尼茨定理条件中莱布尼茨定理条件中1 nnuu就是说就是说, 某些交错级

6、数即使条件某些交错级数即使条件(1)( )1nnuu交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法只是只是充分充分条件条件.是是收敛的必要条件收敛的必要条件.不是必要条件不是必要条件.仍有可能是收敛的仍有可能是收敛的., 0lim)2( nnu);, 3 , 2 , 1()1(1 nuunn莱布尼茨定理莱布尼茨定理则级数则级数收敛收敛.如果交错级数满足条件如果交错级数满足条件:如如 2)1()1(nnnn)3 , 2(1 nuunn不满足莱布尼茨定理的条件不满足莱布尼茨定理的条件:但级数但级数收敛收敛. 思考题思考题常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法证证nnnnuuuuuus212223212)()(

7、 又又1u , 01 nnuussnn 2lim.2是单调增加的是单调增加的数列数列ns.2是有界的是有界的数列数列ns由条件由条件(1):分析分析ssnn limnns2lim 12lim nns交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法), 3 , 2 , 1()1(1 nuunns nnnuuuuuus21243212 ()()()1u 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法12lim nnss , s级级数数收收敛敛于于和和nr余余项项 21nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件, nr定理证毕定理证毕.也是一个交错级数也是一个交错级数.)(lim122 nnnus交错级数及其审敛法

8、交错级数及其审敛法0lim12 nnu由条件由条件(2):12212 nnnuss0lim)2( nnussnn 12lim证证.1us 且且)(21 nnuu1 nu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法例例 2)1()1(nnnn但条件但条件(1)故故 级数级数判别级数判别级数的敛散性的敛散性.解解 nnulim交错级数交错级数 可知莱布尼茨定理的条件可知莱布尼茨定理的条件(2)满足满足,不满足不满足, 故用莱氏定理是无法判别的故用莱氏定理是无法判别的,但是因为但是因为nnnnu)1()1( 发散发散.1)1( nnn 2n收敛收敛,11 n 2n发散发散 nnn)1(1lim01)1()1

9、( nnnn1)1( nnn11 nnnnn)1()1( 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法任意项级数任意项级数任意项级数任意项级数正项级数正项级数思想是思想是:定义定义2,|1收收敛敛若若 nnu为为则称则称 1nnu为为则称则称 1nnu,|1发发散散若若 nnu,1收收敛敛若若 nnu定义定义1,1 nnunu可正可正, ,可负可负, ,可可0.0.绝对收敛绝对收敛. .条件收敛条件收敛. .常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛证证), 2 , 1(|)|(21nuupnnn, 0np|,|nnup 且收敛1nnp 1nnu又又 绝对收敛绝对

10、收敛与与收敛收敛设设级数级数|nnnuuu 正正,1绝绝对对收收敛敛若若级级数数 nnu定理定理7 7.1必必定定收收敛敛则则级级数数 nnu),(1nnnqp绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛|1 nnu收敛收敛.,|1收收敛敛若若 nnu为为则称则称 1nnu绝对收敛绝对收敛. .收收敛敛 1nnu显然显然, 0 比较极限审敛法比较极限审敛法 由性质由性质1, 2有以下重要关系有以下重要关系nnqp ,常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法1(|) (1,2,)2nnnquun0| 2|,nnnuuu|2nnnuuu解解收敛收敛而而 121nn 12sinnnn故原级数故原级数绝对收敛与条

11、件收敛绝对收敛与条件收敛例例 12sinnnn判别级数判别级数的敛散性的敛散性.任意项级数任意项级数21n 收敛收敛绝对收敛绝对收敛.2sinnn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法例例nnnn21)1()1(12)1( 1!)()2(nnnn解解 (1) 121nn又又所以原级数所以原级数 121nn收敛收敛.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛绝对收敛绝对收敛.是是条件收敛条件收敛还是还是绝对收敛绝对收敛.是等比级数是等比级数,判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明对收敛级数要指明nnnn21)1(2)1(1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法解解因为因为又又!)!1

12、()1(lim1nnnnnnn e nnnn 1lim(2)由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知, 1!nnnn从而级数从而级数(2)由于使用的是由于使用的是比值判别法比值判别法而判定的级数而判定的级数(2)因此因此nnnuu1lim 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 1!)()2(nnnn 1!nnnn1 级数级数发散发散,不绝对收敛不绝对收敛.不绝对收敛不绝对收敛,发散发散.级数级数(2)是是断定断定!)(1nnnn 正项级数正项级数常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛通常先考查它通常先考查它若使用比值法或若使用比值法或根值法判定级数不绝

13、对收敛根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项这时级数的通项不趋于零不趋于零),对交错级数对交错级数,利用无穷级数的性质利用无穷级数的性质1、2 将级数将级数如不是绝如不是绝对收敛的对收敛的,再看它是否条件收敛再看它是否条件收敛.便可断言级数发散便可断言级数发散.可用可用莱布尼茨定理莱布尼茨定理.然后讨论敛散性也是常用手段然后讨论敛散性也是常用手段.拆开为两个级数拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法用正项级数的审敛法),讨论讨论任意项级数任意项级数的收敛性时的收敛性时,是否绝对收敛是否绝对收敛常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法注意还有定理8，定理9！ 正项级数正项级数审敛法的思维程序审敛法的

14、思维程序四、小结1.0lim nnu2.若若 0lim nnu比值、根值法比值、根值法; 若失效若失效3. 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式4.5. 充要条件充要条件6. 按基本性质按基本性质7.ssn?比较审敛法比较审敛法发散发散;常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法任意项级数任意项级数审敛法的思维程序审敛法的思维程序3. 交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)1.0lim nnussn?发散发散2. 绝对收敛绝对收敛4. 按基本性质按基本性质5.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法思考题思考题常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法,), 2 , 1(01收收敛敛且且若若 nnn

15、unu是非题是非题则级数则级数.)(12收敛收敛必必 nnu是是 nnnuu2)(lim nnulim0由比较审敛法知由比较审敛法知 12)(nnu收敛收敛.,)(21收敛收敛若若 nnu.1必收敛必收敛则则 nnu非非 例如例如 12121)(nnnnu收敛收敛, 111nnnnu发散发散.(1)(2)22幂级数的运算幂级数的运算小结小结 思考题思考题 作业作业power series第三节第三节 幂幂 级级 数数幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性函数项级数的概念函数项级数的概念 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数1. .定义定义 0nnx级数级数 )(1xunn如如)(,)(),(21xux

16、uxun设设则则函数项级数函数项级数. . )()()(21xuxuxun 21xx定义定义1 1幂幂 级级 数数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念为定义在为定义在(a, b)内内的函数序列的函数序列,称为定义在称为定义在(a, b)内的内的2. .收敛点与收敛域收敛点与收敛域),(0bax 设设若数项级数若数项级数0 x收敛收敛(或发散或发散) 则称则称x0为函数项级数为函数项级数)(1xunn 的收敛点的收敛点(或发散点或发散点). 函数项级数函数项级数的的)(1xunn 所有所有收敛点收敛点(或发散点或发散点) 称为其称为其收敛域收敛域 (或发或发)(1 nnu定义定义2 2散域散

17、域).幂幂 级级 数数3. .和函数和函数定义定义3 3)(xsn设设为函数项级数为函数项级数),()(limxsxsn 则则s(x)称为函数项级数称为函数项级数和函数和函数. .)(1xunn 的前的前n项和序列项和序列, 若极限若极限),(bax 存在存在,的的)(1xunn 幂幂 级级 数数如如, , 201xxxnn它的收敛域为它的收敛域为, 1| x发散域为发散域为. 1| x等比级数等比级数在在收敛域内收敛域内和函数和函数是是,11x 即有即有,111xxnn ).1 , 1( x)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn

18、(x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注注函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是 )(xs定义域定义域),(xsn显然显然s(x) 的的定义域定义域就是就是,)1 , 1(上上 D 201xxxnn), 1()1 ,( )()()(21xuxuxun级数的级数的收敛域收敛域.数项级数数项级数 的收敛问题的收敛问题.幂幂 级级 数数一般考虑函数一般考虑函数,11时时x 它的定义域是它的定义域是但只有在但只有在它才是它才是的和函数的和函数.例例nxnnn311)1( 解解 由由比值比值(达朗贝尔达朗贝尔)判别法判别法nnnuu1lim 3x 31limxnnn(1) 当当 时时,1 x原级数原级数(2) 当当 时时,1 x原级数原级数nxnxnnn3331lim 绝对收敛绝对收敛;发散发散.求函数项级数的求函数项级数的收敛域