高等数学A-第1章-8-3(函数的极限)

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A1.3 1.3 函数的极限函数的极限1.3.1 函数极限的概念函数极限的概念 1.3.2 函数极限的性质函数极限的性质1.3 1.3 函数的极限函数的极限1.3.2 函数极限的性质函数极限的性质1.3.1 函数极限的概念函数极限的概念 函数极限的唯一性函数极限的唯一性 收敛函数的局部有界性收敛函数的局部有界性函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 自变量趋于无穷大时函数的极限及习例自变量趋于无穷大时函数的极限及习例1-3 自变量趋于有限值时函

2、数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 函数极限的几何解释函数极限的几何解释用定义验证函数极限用定义验证函数极限 Axfxx)(lim0步骤步骤习例习例4-8函数单侧极限的定义函数单侧极限的定义 证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法函数极限函数极限 :有有三三种种情情况况 x ,0)1( xxx记记为为且且 ,0)2( xxx记为记为且且 ,)3( xxx记记为为可可正正可可负负且且1. 自变量趋于自变量趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限 一、函数极限的概念一、函数极限的概念 1 : nxxnn从数列 ), 0( 1 xxy与函数的图形可以看出的图形可以看出: . 01lim , 01

3、limxnxnOxy123n nxn1xy1 1 : 极限的定义：回忆数列nxxnn有时使当若 , , 0 , 0NnN | |axn记为为极限以时当则称数列成立 , , ,anxn . limaxnn . )( :Znnfxn数列是一种特殊的函数故可以从形式进行相当与而 , )(lim lim axfaxxnn : , ),( ,XNxnxfxn替换为替换为替换为将推广有时使当若 , , 0 , 0XxX | )( |axf记为为极限以时当则称函数成立 , , )( ,axxf . )(limaxfx定义定义1 ,),)(是是一一个个确确定定的的数数上上定定义义在在设设Aaxf .)(, 0

4、, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当若若记记为为时时的的极极限限当当是是则则称称.)( xxfAAxfx )(lim)()( 时时当当或或 xAxf注意：注意：(1)与数列极限情形相比较，与数列极限情形相比较，X的作用与数列极限中的的作用与数列极限中的N一样，说明一样，说明x充分大的程度，依赖于充分大的程度，依赖于 ；所不同的是这；所不同的是这里必须考虑比里必须考虑比X大的所有实数，而不仅仅是自然数大的所有实数，而不仅仅是自然数n.(2)几何解释：几何解释：.)(,之之间间与与的的图图形形全全部部位位于于两两直直线线时时当当 AyAyxfXxxoyA A AX(3).xx 类似地可得出与时

5、的极限定义Oxyay ay ayXX)(xfy . , 函数的极限时我们将得到x ,()(是一个确定的数是一个确定的数上上定义在定义在设设Abxf.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当若若记记为为时时的的极极限限当当是是则则称称.)( xxfAAxfx )(lim)()( 时时当当或或 xAxf结论：结论：AxfxfAxfxxx )(lim)(lim)(lim:时的极限定义xOxyay ay ayXX)(xfy 现在从整体上来看这个图形现在从整体上来看这个图形 , , 你有什么想法你有什么想法? ? 0 |XxXxXx或你能否由此得出 一个极限的定义 和一个重要的定理. ,),(

6、)(是是一一个个确确定定的的数数上上定定义义在在设设Axf .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当若若记记为为时时的的极极限限当当是是则则称称.)( xxfAAxfx )(lim)()( 时时当当或或 xAxfxoyA A A1X2X:时的极限定义x由于由于 | x | X 0 x X 或或 x 0 的情形加以证明的情形加以证明.,)(lim0Axfxx , A 则则取取 .)( ,),( 0 AxfxUx有有时时当当,)( AxfA即即. 0)( xf. ,0AA 此此时时取取的的情情形形类类似似地地可可证证, 0 必必3. 函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性 推论推论1

7、（局部保号性）（局部保号性） ,)(lim ),0)( (0)( ),(00AxfxfxfxUxx 且且或或内内若若在在 ).0 (0 AA或或则则推论推论2（局部保序性）（局部保序性）. ),()( ),( 0, ,)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则当当若若设设 证明：证明： , BA 假假设设.2 AB 取取,)(lim0Axfxx ,2)( ,),( 0,101ABAxfxUx 有有时时当当 .2)(23 BAxfBA 即即,)(lim0Bxgxx ,2)( ,),( 0,202ABBxgxUx 有有时时当当 .23)(2 ABxgBA 即即 ,mi

8、n 21 取取),g(2BA)( ,),( 0 xxfxUx 有有时时当当 与已知条件矛盾与已知条件矛盾.BA 4. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理 4（函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系） 证明证明: 如果极限如果极限 存在存在, 为为 函数的定义域内任一收敛于函数的定义域内任一收敛于 的的 0limxxfx nx f x0 x数列数列, 且满足且满足 , 那么相应的函数值数列那么相应的函数值数列 必收敛必收敛, 0nxx nNnf x且且 . 0limlimnnxxfxfx设设 ，则，则 ， ， 当当 时，时， 0limxxf xA0000 xx

9、有有 . fxA又因又因 ,故对故对 , ,当当 时，有时，有 .0limnnxx0NNnN0nxx由假设由假设 , 故当故当 时时, 从而从而 , 0nxxnNnN nf xA即即 .limnnf xA.)0()0()(lim)1(000AxfxfAxfxx 利利用用解解:)(lim)01 ( 1xffx )(lim)01( 1xffx . )(lim 0不不存存在在xfx).(lim,1 , 121 , 21 , 13)( .101xfxxxxxxfx 求求设设例例, 3)12(lim1 xx, 2)13(lim1 xx证明极限不存在的方法证明极限不存在的方法(2)(2)利用极限存在的唯一

10、性或函数极限存在的充要条件是它的任利用极限存在的唯一性或函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在且相等何子列的极限都存在且相等. .例例11. sinlim 不不存存在在证证明明xx 证明证明:,2 nxn 取取., nxn时时当当,22 nyn取取., nyn时时当当, 0)2sin()( nxfn但但. sinlim不不存存在在xx . 1)22sin()( nyfn说明: 极限不存在有几种情况: 1)左极限右极限 2)(如21lim2xx) 3)摆动(如: xx1sinlim0, nn) 1(lim ) xy1sin 练习：讨论练习：讨论 时，下列函数的极限的是否存在时，下列函数的极限的是否存在.0 xxexf1)(000,12012)(xxxxxxg四、小结四、小结1. 函数极限的函数极限的或或X定义及应用定义及应用2. 函数极限的