高等数学-第七版-课件-8-7 空间曲线及其方程

1、第七讲 空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线, ,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF例如例如, ,方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线C. . 2SL0),(zyxF0),(zyxG1Sxzy1oC2又如又如, ,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. .

2、 022222xayxyxazyxzao空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影zyxo将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, ,y, ,z表示成参数表示成参数t的函数的函数: :称为空间曲线的称为空间曲线的参数方程参数方程. .)(txx vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, ,称为螺距称为螺距 .

3、 .)(tyy )(tzz M将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示: :6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数, , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为故所求为得所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( tu例例1 1 求空间曲线求空间曲线 : :)(tx)(ty)(tz)(t绕绕z轴旋转轴旋转时的旋转曲面方程时的旋转曲面方程 . .解解: :,)(, )(, )(1ttt

4、M任取点点点M1 1绕绕z轴旋转轴旋转, , 转过角度转过角度 后到点后到点 , ),(zyxM则则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面满足的参数方程 . . u例例2 例如例如, ,直线直线1xty tz2绕绕z轴旋转所得旋转曲面方程为轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去消去t 和和 , , 得得旋转曲面方程为旋转曲面方程为4)(4222zyxxzoy绕绕z轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面( (即球面即球面) )方程为方程为 又如又如, ,xoz面上的半圆周面上的半圆周sinax 0yc

5、osaz cossinax sinsinay cosaz )0(200说明说明: :一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数, ,形如形如),( tsxx ),( tsyy ),( tszz 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线空间曲线C的一般方程的一般方程投影柱面投影柱面C在在xoy面上的投影曲线面上的投影曲线消去消去x得得C在在yoz面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y得得C在在zox面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC消去消去zzyxC1o例如例如在在xoy面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为00222