高中数学人教版选修4-4：第一讲坐标系·二、极坐标系

1、二 极坐标系第一讲 坐标系问题探究问题探究 下图是某校园的平面示意图下图是某校园的平面示意图.假设某假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北他向东偏北60o方向走方向走120m后到达后到达什么位置？该位置惟一确定吗？什么位置？该位置惟一确定吗？ (2)如果有人打听如果有人打听体育馆和办公楼的位体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？置，他应如何描述？AEBCD60o45o办公楼办公楼实验楼实验楼图书馆图书馆体育馆体育馆120m60m教学楼教学楼50m 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点；自极点自极点O引一条射线引一条射线Ox，

2、叫做，叫做极轴极轴；再；再选定一个长度单位、一个角度单位（通选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个方向），这样就建立了一个极坐标系极坐标系.讲授新课讲授新课1. 极坐标系的概念极坐标系的概念),( M Ox讲授新课讲授新课1. 极坐标系的概念极坐标系的概念),( M Ox 设设M是平面内一点，极点是平面内一点，极点O与点与点M的的距离距离|OM|叫做点叫做点M的的极径极径，记为，记为 ；以极以极轴轴Ox为始边，射线为始边，射线OM为终边的角为终边的角xOM叫做点叫做点M的的极角极角，记为，记为 .有序实数对

3、有序实数对( , )叫做点叫做点M的极坐标，记作的极坐标，记作M( , ). 设设M是平面内一点，极点是平面内一点，极点O与点与点M的的距离距离|OM|叫做点叫做点M的的极径极径，记为，记为 ；以极以极轴轴Ox为始边，射线为始边，射线OM为终边的角为终边的角xOM叫做点叫做点M的的极角极角，记为，记为 .有序实数对有序实数对( , )叫做点叫做点M的极坐标，记作的极坐标，记作M( , ).讲授新课讲授新课1. 极坐标系的概念极坐标系的概念),( M Ox 一般地，不作特殊一般地，不作特殊说明时，我们认为说明时，我们认为 0， 可取任意实数可取任意实数.例例1. 如图，在极坐标系中，写出点如图，

4、在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点的极坐标，并标出点)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACB例例1. 如图，在极坐标系中，写出点如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点的极坐标，并标出点)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACBD6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACB例例1. 如图，在极坐标系中，写出点如图，在极坐

5、标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点的极坐标，并标出点)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACBED6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACB例例1. 如图，在极坐标系中，写出点如图，在极坐标系中，写出点A，B，C的极坐标，并标出点的极坐标，并标出点)35 , 5 . 3()43 , 4( FE，所在的位置？所在的位置？，)6 , 2( D6 3 2 32 65 67 34 23 35 611 2ACBEDF6 3 2 32 65 67 34 23 35

6、 611 2ACB例例2. 在图中，用点在图中，用点A，B，C，D，E分别表示教学楼，体育馆，图书馆，分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置实验楼，办公楼的位置.建立适当的建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标极坐标系，写出各点的极坐标.AEBCD60o45o120m60m50mm360例例2. 在图中，用点在图中，用点A，B，C，D，E分别表示教学楼，体育馆，图书馆，分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置实验楼，办公楼的位置.建立适当的建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标极坐标系，写出各点的极坐标.A(O)EBCD60o45o120m60m50mxm360思考思考

7、在极坐标系中，在极坐标系中，)26 , 4( )46 , 4( ， )26 , 4( )6 , 4(， 表示的点有什么表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？在刻画点的位置时的区别吗？小结小结 极坐标极坐标( , )与与( , 2k )(kZ)表示表示同一个点同一个点.特别地，极点特别地，极点O的坐标为的坐标为(0, )( R).和直角坐标不同，平面内一个和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示点的极坐标有无数种表示. 如果规定如果规定 0，0 2 ，那么除，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标极点外，平面内的点可

8、用惟一的极坐标( , )表示；同时，极坐标表示的点表示；同时，极坐标表示的点( , )也是惟一确定的也是惟一确定的.问题探究问题探究 平面内的一个点既可以用直角坐标平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示表示，也可以用极坐标表示.那么，这那么，这两种坐标之间有什么关系呢？两种坐标之间有什么关系呢？ 把直角坐标系的原点作为极点，把直角坐标系的原点作为极点，x轴轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位取相同的长度单位. 设设M是平面内任意一是平面内任意一点，它的直角坐标是点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是极坐标是( , ). 从下图可以

9、得出它们之间的关系：从下图可以得出它们之间的关系：NxxyMO y2. 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，把直角坐标系的原点作为极点，x轴轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位取相同的长度单位. 设设M是平面内任意一是平面内任意一点，它的直角坐标是点，它的直角坐标是(x,y)极坐标是极坐标是( , ). 从下图可以得出它们之间的关系：从下图可以得出它们之间的关系：.sin,cos yxNxxyMO y2. 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化由又可得到下面的关系式：由又可得到下面的关系式：)0(ta

10、n,222 xxyyx 2. 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化NxxyMO y由又可得到下面的关系式：由又可得到下面的关系式：)0(tan,222 xxyyx 这就是极坐标与这就是极坐标与直角坐标的互化公式直角坐标的互化公式.2. 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化NxxyMO y.)32, 5(化化成成直直角角坐坐标标的的极极坐坐标标将将点点 M例例3.)13(化化成成极极坐坐标标，的的直直角角坐坐标标将将点点 M例例4.1. 写出图中写出图中A，B，C，D，E，F，G各各点的极坐标（点的极坐标（ 0，0 2 ）.课堂练习课堂练习4 2 65 34 35 2AFCEB.GD2. 中央气象台在中央气象台在2004年年7月月15日日1030发布的一则台风消息：今年第发布的一则台风消息：今年第9号热带号热带风暴风暴“圆规圆规”的中心今天上午八点钟已的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约经移到了广东省汕尾市东南方大约440公里的南海东北部海面上，中心附近最公里的南海东北部海面上，中心附近最大风力有大风力有9级级. 请建立适当的坐标系，用请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置坐标表示出该台风中心的位置.课堂练习课堂练习.)32, 1(),3, 3(. 3两点间的距离两点间的距离，求，求点点在极坐