高三第一轮总复习复习万有引力

1、高三第一轮总复习高三第一轮总复习第四课时万有引力与航天第四课时万有引力与航天开普勒第一定律：（椭圆轨道定律）开普勒第一定律：（椭圆轨道定律） 所有的行星围绕太阳运动的轨道所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上焦点上开普勒第二定律：开普勒第二定律： 向量半径（行星与太阳的连线）在相等的向量半径（行星与太阳的连线）在相等的时间里扫过的面积相等。时间里扫过的面积相等。（同一颗行星同一颗行星）也就是说行星绕太阳运动是不等速的，离太阳也就是说行星绕太阳运动是不等速的，离太阳近时速度快，离太阳远时速度慢。近时速度快，离太阳远时速度慢。 SAB=S

2、CD=SEK 开普勒第三定律：开普勒第三定律： （周期定律）（周期定律）所有行星的轨道的长半轴的立方和公转周所有行星的轨道的长半轴的立方和公转周期的平方成正比。期的平方成正比。 R3/T2=KK是与行星无关的常量是与行星无关的常量（K只由中心天体决只由中心天体决定）定）一、行星的运动规律一、行星的运动规律例例1.1.有两个人造地球卫星，有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半它们绕地球运转的轨道半径之比是径之比是1 1：2 2，则它们绕，则它们绕地球运转的周期之比为地球运转的周期之比为 。22:1一万有引力定律一万有引力定律1、内容：自然界中任何两个物体都是相互、内容：自然界中任何两个物体都

3、是相互吸引吸引的，的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个与这两个物体质量的乘积物体质量的乘积m1m2成正比，与这两个物体间距离成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比的平方成反比3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时时，公式也可近似使用，但此时r应为两物体重心间的应为两物体重心间的距离对于均匀的球体，距离对于均匀的球体，r是两球心间的距离是两球心间的距离2、公式：、公式： 其中

4、其中G6.671011 Nm2/kg2，称为引力常量，称为引力常量122m mFGr二万有引力与重力的关系二万有引力与重力的关系行星表面物体的重力：行星表面物体的重力：重力重力等于万有引力等于万有引力1、表面重力加速度：因、表面重力加速度：因 则则 2、轨道上的重力加速度：因、轨道上的重力加速度：因 则则 2MmGmgR2MgGR/2()MmGmgRh/2()MgGRh F万万FnmgR hMmF三万有引力定律的应用三万有引力定律的应用1、无环绕、无环绕 表面重力加速度：因表面重力加速度：因 则则 轨道上的重力加速度：因轨道上的重力加速度：因 则则 2、有环绕、有环绕万有引力提供向心力万有引力

5、提供向心力(F引引=F向向）：环绕天体或人造卫星：环绕天体或人造卫星绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力绕地球的运动可看成是匀速圆周运动，所需的向心力是地球（或中心天体）对它的万有引力提供的，因此是地球（或中心天体）对它的万有引力提供的，因此解决卫星问题最基本的关系是：解决卫星问题最基本的关系是：2MmGmgR2MgGR/2()MmGmgRh/2()MgGRh222224MmvGmmrmrrrTrMmFvT22()FmrT2Fmr2mvFr四、考点探究四、考点探究2RmGMmg 2RGMg 万有引力和重力相等的关系式经常用到，得到常见的表达式有 gR2=GM 此式应用广泛，称为黄金代

6、换式。 特别是重力加速度与轨道半径的比例关系一定要灵活应用1、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题1990年年5月，紫金山天文台将他们发现的第月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相分布均匀的球体，小行星密度与地球相同已知地球半径同已知地球半径R6 400 km，地球表面重，地球表面重力加速度为力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度这个小行星表面的重力加速度为为 ( )B例与练例与练 假设火星和地球都是球体，火

7、星的质量假设火星和地球都是球体，火星的质量M火火和地球的质量和地球的质量M地地之比之比M火火/M地地=p，火，火星的半径星的半径R火火和地球的半径和地球的半径R地地之比之比R火火/R地地=q，那么火星表面处的重力加速度，那么火星表面处的重力加速度g火火和地和地球表面处的重力的加速度球表面处的重力的加速度g地地之比等于之比等于 A.p/q2 B.pq2 C.p/q D.pq A2RGMg 例与练例与练2、天体（中心天体）质量、天体（中心天体）质量M、密度、密度的估算的估算（以地球为（以地球为例）例）若已知卫星绕地球运行的若已知卫星绕地球运行的周期周期T 和半径和半径 r若已知卫星绕地球运行的若已

8、知卫星绕地球运行的线速度线速度v 和半径和半径 r地球的质量：地球的质量：地球的密度（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：2224MmGmrrT2324rMGT3233MrVGT R地球的质量：地球的质量：地球的密度（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：22MmvGmrr2rvMG2334MrvVGR若已知卫星绕地球运行的若已知卫星绕地球运行的线速度线速度v 和周期和周期T（或角速（或角速度度）若已知若已知地球半径地球半径R和地球和地球表面的重力加速度表面的重力加速度g地球的质量：地球的质量：地球的密度（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：地球的质量：

9、地球的质量：地球的密度（设地球半径地球的密度（设地球半径R已知）：已知）：22MmvGmrr2 rTv32TvMG32338MTvVGR2MmGmgR2gRMG34MgVGR某卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动，若已知该某卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动，若已知该卫星绕月球的周期和轨道半径及引力常量，则由已知卫星绕月球的周期和轨道半径及引力常量，则由已知物理量可以求出（物理量可以求出（ ）A月球的质量月球的质量B月球的密度月球的密度C月球对卫星的引力月球对卫星的引力D卫星的向心加速度卫星的向心加速度AD例与练例与练中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很中子星是恒星演化过程的一种可能结

10、果，它的密度很大，现有一中子星，观测到它的自转周期为大，现有一中子星，观测到它的自转周期为T=1/30 s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引引力常量力常量 G=6.6710-11 Nm2/kg2) 解析：解析：设中子星的密度为设中子星的密度为 ，质量为，质量为M，半径为，半径为R，自转角速度为自转角速度为 ，位于赤道处的小物块质量为，位于赤道处的小物块质量为m，则，则有：有：由以上两式得：由以上两式得：代入数据解得：代入数据解得： =1.2

11、71014 kg/m3。例与练例与练2224MmGmRRT343MR23GT3、卫星与航天卫星与航天（2）、宇宙速度、宇宙速度地球地球太阳太阳太阳系太阳系（3)同步卫星：地球同步卫星，是同步卫星：地球同步卫星，是相对地面静止相对地面静止的，与的，与地球自转具有相同的周期地球自转具有相同的周期周期一定周期一定：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，：同步卫星绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，它的运动周期就等于地球自转的周期，T24 h.角速度一定角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度自转的角速度 轨道一定轨道一定：

12、所有同步卫星的轨道必在赤道平面内：所有同步卫星的轨道必在赤道平面内高度一定高度一定：所有同步卫星必须位于：所有同步卫星必须位于赤道正上方赤道正上方，且距，且距离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨离地面的高度是一定的（轨道半径都相同，即在同一轨道上运动），其确定的道上运动），其确定的高度约为高度约为h=3.6104 km.环绕速度大小一定环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是度的大小是一定的，都是3.08 km/s，环绕方向与地球自，环绕方向与地球自转方向相同转方向相同（09年重庆卷）据报道，年重庆卷）据报道，“嫦娥一号嫦娥

13、一号”和和“嫦娥二号嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200Km和和100Km，运动速率分别为，运动速率分别为v1和和v2，那么，那么v1和和v2的比值为的比值为（月球半径取（月球半径取1700Km） （ ）A、 B、 C、 D、1918191818191819C例与练例与练同步卫星离地心距离同步卫星离地心距离r，运行速率为，运行速率为v1，加速度为，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第，第一宇宙速度为一宇宙速度为v2，地球半径为，地球半径为R，则下列比值正确的，则下列比值正确

14、的是（是（ ）A、 B、C、 D、AD12araR212aRar12vrvR12vRvr例与练例与练 如图所示，地球赤道上的山丘如图所示，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星，近地资源卫星p和同和同步通信步通信 卫星卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动设动设e、p、q的圆周运动速率分别为的圆周运动速率分别为v v1 1、v v2 2、v v3 3，向，向心加速度分别为心加速度分别为a1、a2、a3，则，则（ ） A.v v1 1 v v2 2 v v3 3 B. v v3 3vv1 1va2a3 D. a1a3a2D例与练例与练人造卫星在人造卫星在圆轨道变换时圆

15、轨道变换时，总是主动或由于其他原，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的圆轨道的圆轨道。轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越轨道半径越大，速度越小，动能越小，重力势能越大，但机械能并不守恒，且总机械能也越大大，但机械能并不守恒，且总机械能也

16、越大。也就是。也就是轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越轨道半径越大的卫星，运行速度虽小，但发射速度越大。大。4、卫星变轨和卫星的能量问题、卫星变轨和卫星的能量问题解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系解卫星变轨问题，可根据其向心力的供求平衡关系进行分析求解进行分析求解若若 F供供F 求求，供求平衡，供求平衡物体做物体做匀速圆周运动匀速圆周运动若若 F 供供F 求求，供不应求，供不应求物体做物体做离心运动离心运动若若 F 供供F 求求，供过于求，供过于求物体做物体做向心运动向心运动 卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道卫星要达到由圆轨道变成椭圆轨道或由椭圆轨道变成圆轨道的

17、目的，可以通过加速变成圆轨道的目的，可以通过加速(离心离心)或减速或减速(向心向心)实现实现速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，速率比较：同一点上，外轨道速率大；同一轨道上，离恒星离恒星(或行星或行星)越近速率越大越近速率越大加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，加速度与向心加速度比较：同一点上加速度相同，外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加外轨道向心加速度大；同一轨道上，近地点的向心加速度大于远地点的向心加速度。速度大于远地点的向心加速度。AB一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现用则将会出现( )A速度

18、变小速度变小 B动能增大动能增大C角速度变小角速度变小 D半径变大半径变大B解析：解析：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上运行，故半径卫星必定只能降至低轨道上运行，故半径r要减小，要减小，由由 可知线速度可知线速度v要增大，角速要增大，角速度度要增大，动能也要增大。要增大，动能也要增大。GMvr3GMr例与练例与练如图所示，如图所示，a、b、c 是在地球大气层外圆形轨道上运是在地球大气层外圆形轨道上运动的动的 3 颗卫星，下列说法正确的是颗卫星，下列说法正确的是( )Ab、c 的线速度大小相等，且大于的线速度大小相等，且大于

19、 a 的线速度的线速度Bb、c 的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加的向心加 速度速度Cc 加速可追上同一轨道上的加速可追上同一轨道上的 b，b 减速可等候同一减速可等候同一 轨道上的轨道上的 cDa 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速 度将增大度将增大例与练例与练D2008 年年 9 月月 25 日至日至 28 日我国成功实施了日我国成功实施了“神舟神舟”七七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱飞船先沿号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点椭圆轨道飞行，后在远地点 343 千米处点火

20、加速，由千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道，在此圆轨道千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为上飞船运行周期约为 90 分钟如图所示，下列判断正分钟如图所示，下列判断正确的是（确的是（ ）A. 飞船变轨前后的机械能相等飞船变轨前后的机械能相等B. 飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C. 飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度的角速度D. 飞船变轨前通过椭圆轨道远地点飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动时的加速度大于变

21、轨后沿圆轨道运动的加速度的加速度BC例与练例与练如图，一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜如图，一宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上的坡上的A点，沿水平方向以初速度点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，抛出一个小球，测得经时间测得经时间t 落到斜坡上另一点落到斜坡上另一点B，斜坡的倾角为，斜坡的倾角为，已知该星球半径为已知该星球半径为R，求：，求：(1)该星球表面的重力加速度；该星球表面的重力加速度；(2)该星球的第一宇宙速度该星球的第一宇宙速度解解（1）设星球表面重力加速度为设星球表面重力加速度为g，由平抛运动规律，由平抛运动规律得：得：由上面各式得：由上面各式得：0 xv t

22、212ygttanyx02tanvgt2vmgmR02tanv RvgRt（2）重力提供向心力：）重力提供向心力：例与练例与练5、万有引力定律与其他知识的综合万有引力定律与其他知识的综合宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m的小球的小球(可可视为质点视为质点)，如图所示当给小球一水平初速度，如图所示当给小球一水平初速度v0时，时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动已知刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动已知圆弧轨道半径为圆弧轨道半径为r，月球的半径为，月球的

23、半径为R，万有引力常量为，万有引力常量为G.若在月球表面发射一颗环月卫星，所需最小发射速若在月球表面发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为度为( )A例与练例与练若在星球表面上以初速度若在星球表面上以初速度v0竖直上抛小球，经时间竖直上抛小球，经时间t落回抛出点，落回抛出点，(已知该星球半径为已知该星球半径为R)，该星球的第一，该星球的第一宇宙速度宇宙速度(或最小发射速度）为多大？或最小发射速度）为多大？此类题型也可通过在星球上的一种运动（如平抛运此类题型也可通过在星球上的一种运动（如平抛运动、圆周运动、竖直上抛运动等），求星球的重力动、圆周运动、竖直上抛运动等），求星球的重力加速度，再求加速度

24、，再求星球的质量星球的质量。变式变式某星球可视为球体，其自转周期为某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为测得同一物体重为0.9P，某星球的平均密度是多少？，某星球的平均密度是多少？解析：解析：设物体的质量为设物体的质量为m，星球的质量为，星球的质量为M，半径，半径R；在两极处时物体的重力等于地在两极处时物体的重力等于地球对物体的万有引力，即：球对物体的万有引力，即：在赤道上，因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对在赤道上，因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对物体的

25、万有引力和弹簧秤对物体物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，有：的拉力的合力提供向心力，有：由以上两式解得：由以上两式解得：2MmPGR22240.9MmGPmRRT23240RMGT又：又：343VR星球的平均密度：星球的平均密度：230MVGT例与练例与练关于卫星的说法中正确的是（关于卫星的说法中正确的是（ ）A、绕地球做匀速圆周运动的卫星的运行速度可能达、绕地球做匀速圆周运动的卫星的运行速度可能达 到到10 km/sB、同步卫星运行经过福建正上空、同步卫星运行经过福建正上空C、离地面高为、离地面高为R（R为地球半径）处的卫星运行速为地球半径）处的卫星运行速 度为度为D、发射

26、卫星的速度可能达到、发射卫星的速度可能达到10km/s22gRCD例与练例与练土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和和B与土星与土星中心的距离分别为中心的距离分别为rA=8.0104 km和和rB1.2105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。(结果可用根式表示结果可用根式表示)(1)求岩石颗粒求岩石颗粒A和和B的线速度之比；的线速度之比；(2)求岩石颗粒求岩石颗粒A和和B的周期之比；的周期之比；(3)土星探测器上有一物体，在地球上重

27、为土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算，推算出它在距土星中心出它在距土星中心3.2105 km处受到土星的引力为处受到土星的引力为0.38 N。已知地球的半径为。已知地球的半径为6.4103 km，请估算土星，请估算土星质量是地球质量的多少倍？质量是地球质量的多少倍？答案：答案：(1) (2) (3)9526962例与练例与练（2010年全国理综年全国理综）已知地球同步卫星离地面的高）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半均密度的一半，它的同步卫星距其表面

28、的高度是其半径的径的2.5倍，则该行星的自转周期约为倍，则该行星的自转周期约为( ) A、6小时小时 B、12小时小时 C、24小时小时 D、36小时小时B例与练例与练6、双星、三星模型、双星、三星模型 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用现已观测到稳定的三星系统存在两种们的引力作用现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直基本的构成形式：一种是三颗星等间距地位于同一直线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上

29、运行；线上，外侧的两颗星绕中央星在同一圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行并沿外接于等边三角形的圆轨道运行在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动由于两星间它们围绕两球连线上的某一点做圆周运动由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变已知两星质量的引力而使它们在运动中距离保持不变已知两星质量分别为分别为 M1 和和M2，相距，相距 L，求它们的角速度，求它们的角速度解析：如图解析：如图 ，设，设 M1的轨

30、道半径为的轨道半径为 r1，M2 的轨道半径的轨道半径为为 r2，由于两星绕，由于两星绕 O 点做匀速圆周运动的角速度相同，点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为都设为，根据万有引力定律有：，根据万有引力定律有：例与练例与练212112M MGMrL212222M MGMrL12rrL12()1G MMLL（2010重庆卷）月球与地球质量之比约为重庆卷）月球与地球质量之比约为1：80，有，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成 的双的双星系统，它们都围绕月地连线上某点星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运做匀速圆周运动。据此观点，可知月球与地球绕动。据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度点运动的线速度大小之比约为（大小之比约为（ ）A、1：6400 B、1：80C、80：1 D、6400：1C例与练例与练（2011全国卷全国卷）我国）我国“嫦娥一号嫦娥一号”探月卫星发射后，探月卫星发射后，先在先在“24小时轨道小时轨道”上绕地球运行上绕地球运行(即绕地球一圈需要即绕地球一圈需要24小时小时)；然后，经过两次变轨依次到达；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道小时轨道”和和“72小时轨道小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变