高三数学微积分基本定理

1、微积分基本定理微积分基本定理复习回顾：复习回顾：2dxx:1103四部曲、求曲边梯形面积的用定积分的定义求、计算探究：探究：不用定义不用定义求定积分，寻找求定积分，寻找计算定积分计算定积分的另一种的另一种简单方法？简单方法？17世纪世纪,牛顿和莱布尼茨牛顿和莱布尼茨提出提出微积分基本定理微积分基本定理如下图如下图,一个作变速直线运动的物体一个作变速直线运动的物体的运动规律是的运动规律是S=S(t),由导数的概念由导数的概念可知可知,它在任意时刻它在任意时刻t的速度的速度V(t)=S(t).设这个物体在时间段设这个物体在时间段a,b内的位移内的位移为为S,你能分别用你能分别用S(t),V(t)表

2、示表示S吗吗? 微积分基本定理 bxxxxxaStvnii110.)(用分点求位移积分，由另一方面，可以利用定, , ,112110nniittttttttnba个小区间：等分成将区间nabtttii1每个小区间的长度为)a (S)b(SS:,atS,即处之差处与是函数在位移显然bt割分很小时，当 t作匀速运动速度可以认为物体近似地以的变化很小，上，在区间)()(,11iiitvtvtt)( )( )(111 iiiiitsnabttsttvhS物体的位移物体的位移近似代替于是切线的斜率等于何意义知，点的切线，由导数的几是对应的点为上与设曲线从几何意义上看，),( ,)(11iitsPPDPt

3、tssttstDPChSiii)( tan1ttsttvhSSniiniiniiini111111)( )(和求的划分就越细，越小时，区间越大，即当,batn的近似程度就越好。与Sttsttvniinii1111)( )(niintvnabS11)(lim由定积分的定义niintsnab11)( limbadttv )(badtts)( 取极限)()()( )(asbsdttsdttvSbaba上式表明，如果作变速直线运动上式表明，如果作变速直线运动的物体的运动规律是的物体的运动规律是s=s(t),那么那么v(t)=s(t)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分就是物体的位移就是物体的位移s(

4、b)-s(a)()()(aFbFdxxfba这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱不尼茨公式。不尼茨公式。)()()()()()()(aFbFxFdxxfxFaFbFbababa即记成为了方便，我们常常把).()()( )(xFxfxFdxxfba的函数的关键是找到满足计算定积分通常，我们可以运用基本初等函数的求导通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求公式和导数的四则运算法则从反方向上求出出F(x)注意注意:dxxxdxx 31221)12()2(111）（计算下列定积分：计算下列定积分：例例2ln1ln2lnln1,

5、1ln12121xdxxxx所以）因为（解：（322) 131() 19(112)12(,11,2)(2313123123131222xxdxxxdxdxxxxxxx所以）（）因为（dxxxxdxxx21222032)2)4( )24() 1当被积函数是积商的形式时，需先化成和差的形式，当被积函数是积商的形式时，需先化成和差的形式，再利用定积分性质化简，最后用牛莱公式求定积再利用定积分性质化简，最后用牛莱公式求定积分的值。分的值。基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式0)( )(. 1xfcxf，则若1*)( )()(. 2nnnxxfNnxxf，则若xxfxxfcos)( sin)(. 3，则若xxfxxfsin)( cos)(. 4，则若aaxfaxfxxln)( )(. 5，则若xxexfexf)( )(. 6，则若axxfxxfaln1)( log)(. 7，则若xxfxxf1)( ln)(. 8，则若例例2 计算计算0sin xdx20sin xdx2