小学数学思维过程的分析（讲课提纲）[朱乐平]

1、如何分析小学如何分析小学数学思维过程数学思维过程杭州市上城区教育学院杭州市上城区教育学院朱乐平朱乐平与大家交流：与大家交流： 主要交流以下五个问题：主要交流以下五个问题： 一、什么叫数学思维？一、什么叫数学思维？ 二、什么叫分析数学的思维过程？二、什么叫分析数学的思维过程？ 三、为什么要分析数学的思维过程？三、为什么要分析数学的思维过程？ 四、要分析哪些人的数学思维过程？四、要分析哪些人的数学思维过程？ 五、分析数学思维过程有哪些方法？五、分析数学思维过程有哪些方法？ 一、什么是数学思维一、什么是数学思维? 数学思维是人脑和数学对数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规象交互作用并按照

2、一般思维规律认识数学内容的内在理性活律认识数学内容的内在理性活动。这里的数学对象主要是指动。这里的数学对象主要是指数量关系、空间形式和结构关数量关系、空间形式和结构关系系 。 数学思维是人脑的理性活动。数学思维是人脑的理性活动。它是人的一种活动。它是人的一种活动。 二、什么叫分析数学思维二、什么叫分析数学思维过程？过程？ 分析数学思维过程就是要分析分析数学思维过程就是要分析人们在思考、解决数学问题时人们在思考、解决数学问题时的思维过程。的思维过程。 分析数学思维过程也要分析人分析数学思维过程也要分析人们在学习数学知识时的思维过们在学习数学知识时的思维过程。程。 三、为什么要分析数学思维三、为什

3、么要分析数学思维过程？过程？ 数学教学是数学思维活动的教学。数学教学是数学思维活动的教学。 教师分析数学思维过程能够更好教师分析数学思维过程能够更好地强调过程，突出数学思维活动地强调过程，突出数学思维活动的教学，这一数学教学本质。的教学，这一数学教学本质。 能够更好地实施教学。能够更好地实施教学。 四、要分析哪些人的四、要分析哪些人的数学思维过程？数学思维过程？ “分析数学思维过程分析数学思维过程”主主要分析数学家、数学教材要分析数学家、数学教材的编者、数学教师自身和的编者、数学教师自身和学生这四类人的思维过程。学生这四类人的思维过程。 为什么要分析这四类人的为什么要分析这四类人的数学思维过程

4、呢？数学思维过程呢？ 数学思维活动教学涉及四数学思维活动教学涉及四种思维活动：数学家、教材编种思维活动：数学家、教材编者的思维活动（它或隐或现地者的思维活动（它或隐或现地存在于课本中），数学教师的存在于课本中），数学教师的思维活动和学生的思维活动。思维活动和学生的思维活动。 数学家、教材的编者的思数学家、教材的编者的思维活动以教材为媒介对教学过维活动以教材为媒介对教学过程产生影响，是数学教学活动程产生影响，是数学教学活动的隐蔽参加者。这种反映在知的隐蔽参加者。这种反映在知识中成熟的数学思维活动是学识中成熟的数学思维活动是学生要学习的思维活动，也是成生要学习的思维活动，也是成功的思维活动。功的思

5、维活动。 教师通过自己创造性的思维教师通过自己创造性的思维活动，在数学家、教材编者与学活动，在数学家、教材编者与学生思维活动之间、学生的已有知生思维活动之间、学生的已有知识与面临的问题之间架设桥梁。识与面临的问题之间架设桥梁。揭示数学家、教材编者与学生的揭示数学家、教材编者与学生的数学思维活动过程的能力是数学数学思维活动过程的能力是数学教师重要的教学能力。教师重要的教学能力。 上面这四类人的数学思维活动上面这四类人的数学思维活动决定了整个数学教学的过程。决定了整个数学教学的过程。 正确分析每一类人的数学思维正确分析每一类人的数学思维活动是保证数学教学得以顺利活动是保证数学教学得以顺利实施的重要

6、前提。实施的重要前提。 成功的数学思维活动教学要实成功的数学思维活动教学要实现数学家、教材编者、数学教现数学家、教材编者、数学教师与学生四者思维活动的和谐师与学生四者思维活动的和谐统一。统一。 数学家、教材编者、数学家、教材编者、数学教师和学生这四类人数学教师和学生这四类人的思维活动有什么关系？的思维活动有什么关系？ 数学家的(教材编者)思维活动文字渗透教材数学教师的思维活动小学生的思维活动上课备课激发复原 分析数学思维过程是分析数学思维过程是数学教师在教学活动中最数学教师在教学活动中最重要、最本质的活动。重要、最本质的活动。 教师平时的备课、上教师平时的备课、上课、改作和辅导等教学过课、改作

7、和辅导等教学过程都是在分析数学的思维程都是在分析数学的思维过程吗？过程吗？五、分析五、分析小学数学思维小学数学思维过程有哪些方过程有哪些方法？法？ 推理过程是：推理过程是： 因为，一平角是因为，一平角是180度，三角形度，三角形的三个内角拼起来正好与一个的三个内角拼起来正好与一个平角重合，所以，三角形内角平角重合，所以，三角形内角和是和是180度。度。 在这里实质上是要完成：一个在这里实质上是要完成：一个三角形三个角的和与一个平角三角形三个角的和与一个平角去比较大小。运用这种重叠去比较大小。运用这种重叠 的方法进行比较，这是一种直的方法进行比较，这是一种直接度量的方法。接度量的方法。 学生怎样

8、才能想到这一重学生怎样才能想到这一重 叠叠的方法呢？的方法呢？产生以上的问题，产生以上的问题，是建立在思维过程是建立在思维过程分析的基础上的。分析的基础上的。基于对以上问题的基于对以上问题的解决，就有了以下解决，就有了以下的教学设计：的教学设计： （3）出示图）出示图7，要求学生观察、猜测这，要求学生观察、猜测这个个1大约是多少度，学生猜测后，进一步大约是多少度，学生猜测后，进一步问，如何能知道猜测得是否正确，学生会问，如何能知道猜测得是否正确，学生会想到用量角器量这个角，让每一个学生都想到用量角器量这个角，让每一个学生都动手量，这时发现，大家尽管量的是印出动手量，这时发现，大家尽管量的是印出

9、来同样大小的角，但量出的度数不同。进来同样大小的角，但量出的度数不同。进而教师告诉学生，由于度量是有误差的，而教师告诉学生，由于度量是有误差的，所以可能会相差一点，这是正常的。所以可能会相差一点，这是正常的。 （4）延长图）延长图8中中1的一条边，的一条边，并画出并画出2。如图所示。如图所示。 观察并猜测观察并猜测1+2=？在学生观？在学生观察、猜测后，与前一步一样再度察、猜测后，与前一步一样再度量，并承认误差。量，并承认误差。 （6）形成猜想。）形成猜想。 让学生想：如果三角形三个内让学生想：如果三角形三个内角的和是一个固定的值，我们角的和是一个固定的值，我们全班要形成一个猜想，那么，全班要

10、形成一个猜想，那么，三角形三内角的和是多少度？三角形三内角的和是多少度？ 从而形成：从而形成：“三角形三内角的三角形三内角的和是和是180度度”的猜想。的猜想。 （7）验证猜想。）验证猜想。 让学生想办法来验证这个猜想。如果让学生想办法来验证这个猜想。如果班级的基础比较差一些，教师还可以班级的基础比较差一些，教师还可以进一步启发学生：哪一个角的的度数进一步启发学生：哪一个角的的度数也是也是180度呢？怎么三角形的三个内角度呢？怎么三角形的三个内角与一个平角去比较大小呢？与一个平角去比较大小呢？ 使学生建立：使学生建立：“三角形三内角的和可三角形三内角的和可能是能是180度度”与与“一个平角是一

11、个平角是180度度”的联系。的联系。 （8）应用。）应用。让学生感悟与想象：让学生感悟与想象：为什么三角形有大有小，为什么三角形有大有小，三个内角和的大小会不变三个内角和的大小会不变呢？呢？三角形的边有长有短，三三角形的边有长有短，三个内角和的大小会不变呢个内角和的大小会不变呢？ 虽然正方形有大有小，但它虽然正方形有大有小，但它的面积都是边长的平方，正的面积都是边长的平方，正方形里面相应的最大圆的半方形里面相应的最大圆的半径都是边长的一半，圆面积径都是边长的一半，圆面积就是边长一半的平方，当求就是边长一半的平方，当求这两个面积的比时，这个比这两个面积的比时，这个比的前项与后项中都有的前项与后项中都有“边长边长的平方的平方”， 根据比的性质，就可以根据比的性质，就可以把前项与后项同时除以把前项与后项同时除以“边长的平方边长的平方”，这样，这样得到的两个商的比，就得到的两个商的比，就是一个与边长没有关系是一个与边长没有关系的数的比了。可见，这的数的比了。可见，这个比是确定不变的。个比是确定不变的。 接着是应用。接着是应用。 上面是过程重要，还是结论重要？上面是过程重要，还是结论重要？ 对于考试来说