平面向量的数量积及运算律

1、1、平面向量的数量积的定义、平面向量的数量积的定义记作记作= 已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 abba即有即有cosbaab叫做叫做 与与 的数量积（或内积），的数量积（或内积），bacosba （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定号由夹角决定”代代替替。省省略略，也也不不能能用用“号号，既既不不能能”在在向向量量运运算算中中不不是是乘乘符符号号“ )2(规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，00a即即较较小小的的非非负负角角。成成的的点

2、点出出发发的的两两个个向向量量所所构构向向量量的的夹夹角角是是从从同同一一个个)3(2、平面向量数量积的几何意义、平面向量数量积的几何意义影值的乘积。影值的乘积。与另一个向量在其上投与另一个向量在其上投其中一个向量的长度其中一个向量的长度两个向量的数量积等于两个向量的数量积等于3、平面向量数量积的重要性质、平面向量数量积的重要性质0cos)1( aeaae 0)2( bababababa 同向时，同向时，与与当当)3(bababa 同向时，同向时，与与当当22aaaaaaa 或或特别地，特别地，baba cos)4(baba )5(的的夹夹角角。与与是是的的夹夹角角，与与是是是是单单位位向向量

3、量，都都是是非非零零向向量量，与与设设baeaeba 04、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的运算律已知向量已知向量 和实数和实数 ，则向量的数量积满足：，则向量的数量积满足：, ,a b c （1）a bb a （交换律）（交换律）（2）()()()aba bab （数乘结合律）（数乘结合律）（3）()abca cb c （分配律）（分配律）5、平面向量数量积的常用公式、平面向量数量积的常用公式注意：数量积运算不满足结合律注意：数量积运算不满足结合律2222)(1(bbaaba 22)()(2(bababa a bb a （1）交换律：）交换律：证明：证明：设设 夹角为夹角为 ， ,a

4、b则则| | cosa bab | | cosb aba 所以所以a bb a （2）()()()aba bab 证明：证明： 若若0()|cosaba b()|cosa ba b ()|cosaba b若若0()| |cos()| | |( cos )| | |cosa ba ba ba b ()|cosa ba b () | |cos()| | |( cos )| | |cosababa ba b ()abca cb c （3）分析：分析：12A1B1AOaBbCc()abca cb c 12|cos|cos|cosababcoscba 1cosca2coscb（3）()abca cb c

5、 12ABOA1B1Cabc证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 ，作，作 , ，OOAa ABb OCcab（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上的投影等于OBc, a b 在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，c即即12|cos|cos|cosabab12|cos|cos|cosc abc ac b()cabc ac b 即即()abca cb c 求证：（求证：（1） （2）2222bbaaba 22bababa证明：（证明：（1）2ba babaaabaabbb222bbaa（2） bababaabbb22ba baababbaababaa，求求的的夹夹角角为为与与，练练习

6、习：已已知知obaba12032 ）（）（）（；（；（）；（；（）（babababa3232122 ；）；（；（）（baba 54解：解：3)21(32120cos1 obaba）（22352323bbaababa ）（）（）（59422222 baba）（223120cos52bbaao 3427158 79642)(4222 bbaababa）（199642)(5222 bbaababa）（垂垂直直？与与向向量量为为何何值值时时，问问当当的的夹夹角角为为与与，、已已知知例例babakkbabao260451 解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）

7、（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（ kk1514 k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 的的夹夹角角。与与垂垂直直，求求与与，且且，、已已知知例例baababa 212解：解：垂直垂直与与aba 0 aba）（02 aba即即122 aaba 的夹角为的夹角为与与设设bababa cos2221 1800oo， 4 4 的夹角为的夹角为与与ba的形状是的形状是，则，则中，中，）在）在（ABCBCABABC 02（ ）A 锐角三角形锐角三角形C 钝角三角形钝角三角形D 不能确定不能确定B 直角三角形直角三角形D的形状是的形状是，则，则中，中，）在）在（ABCBCABABC 03（ ）C01,120ababtatb(1).与 夹角为，问 取何值时，最小？代入其中任一式中得: a 2= b 2cos= 本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的本节课我们主要学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）、直接计算