大物实验5：数据处理

1、要求：要求： 要把原始数据和必要的要把原始数据和必要的 运算过程中的中间结果运算过程中的中间结果 引入表中。引入表中。 必须标明个符号所代表必须标明个符号所代表 的物理量的意义，并写的物理量的意义，并写 明单位。明单位。 表中的数据要正确地反表中的数据要正确地反 映测量结果的有效数字。映测量结果的有效数字。次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.3 35.0 40.0 45.0 50.0 10.32 10.51 10.64 10.79 10.94 11.08 11.22 11.36 11.53 11.66 通过测量温度通过测量温度t

2、和在温度和在温度t下铜的电阻下铜的电阻Rt来来测量铜的电阻温度系数，得到测量铜的电阻温度系数，得到t与与Rt的数的数据列表如下：据列表如下：）关关系系温温度度（）电电阻阻（tRt)(样品：铜样品：铜)( Ct)(tR1.1.作图的应用作图的应用A.图线是依据许多图线是依据许多数据点描出的平滑数据点描出的平滑曲线，因而具有取曲线，因而具有取平均的效果，从图平均的效果，从图线我们可以看出偶线我们可以看出偶然误差的大小以及然误差的大小以及判断是否存在系统判断是否存在系统误差。误差。B.直接得到经验公式直接得到经验公式(求斜率与截距）求斜率与截距）直线方程为直线方程为 y=ax+ba =y2 y1x2

3、 x1斜率为斜率为截距为截距为b=y3 y2 y1x2 x1x3C.内插与外推内插与外推从图线可得到非测量点的数据。如图所示：从图线可得到非测量点的数据。如图所示：利用内插或外推使利用内插或外推使测量范围得到了扩测量范围得到了扩展，并且方便快捷、展，并且方便快捷、避免了复杂的计算。避免了复杂的计算。*当数据在测量范围内时为当数据在测量范围内时为内插内插（X1,Y1）*当数据在测量范围外时为当数据在测量范围外时为外推外推（X2,Y2）)(ZHf )()(ZSZHfHf次数12345低精度信号源2 25 5. .0 05 50 0. .0 07 75 5. .0 01 10 00 0. .0 01

4、 12 25 5. .0 0高精度信号源2 26 6. .1 14 48 8. .0 07 77 7. .0 01 10 00 0. .0 01 12 24 4. .0 0修正值1 1. .1 1- -2 2. .0 02 2. .0 00 0. .0 0- -1 1. .0 0D.校正曲线校正曲线一信号源的输出频率有较大的误一信号源的输出频率有较大的误差，可利用高精度的信号源对它差，可利用高精度的信号源对它进行校正，校正结果如下：进行校正，校正结果如下：利用校正曲线可以提高仪器的准确度。利用校正曲线可以提高仪器的准确度。E.曲线改直曲线改直为为常常数数。、baaxyb,).1( 为为常常数数

5、。、baaeybx,).2( 为为常常数数。、baabyx,).3( 。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则abxyaxbylglglg,lglglg 。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则abxyabxylnln,lnln 。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则abxyaxbylglglg,lg)(lglg 为为常常数数。CCI,).4( 为为常常数数。ppxy,2).5(2 。斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则CI ,CI 11 。斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则pxy,xpy222121 a a、b b为为常常

6、数数。, ,b bx xa ax x( (6 6) ). .y y 为为常常数数。、avattvS020,21).7( 斜斜率率为为a a，截截距距为为b b。的的线线性性函函数数，x x1 1为为y y1 1b b, ,x x1 1a ay y1 1则则 。，截截距距为为斜斜率率为为的的线线性性函函数数，为为则则002,21vattsatvts 测量单摆的周期测量单摆的周期T随摆长随摆长L的变化，函数关系为：的变化，函数关系为：224TgL LT曲线为抛物线。曲线为抛物线。若进行曲线改直作若进行曲线改直作LT2曲线。结果将得到一条通过原点的直线。曲线。结果将得到一条通过原点的直线。其斜率等于

7、其斜率等于24g。由此可算出试验所在地的重力加速度。由此可算出试验所在地的重力加速度g电容的放电过程电容的放电过程RcteQq 式中式中R，c为未知量，可以为未知量，可以用作图的方法确定。两边取对数得：用作图的方法确定。两边取对数得：QLntRcqLn 1作作 曲线，设图线的斜率为曲线，设图线的斜率为 截距为截距为 。由此可算出电路参数由此可算出电路参数R和和 c。tqLnRc1 QLn2.2.作图规则作图规则作图一定要用坐标纸，测量数据中的可靠数作图一定要用坐标纸，测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误

8、差位在小格数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之间估计。之间估计。2.2.作图规则作图规则 标明坐标轴和图名标明坐标轴和图名2.2.作图规则作图规则 标点标点2.2.作图规则作图规则 连线连线3.3.作图举例作图举例(1).直角坐标举例。测得铜电阻与温度对直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的一组数据如表所示，试用直角坐标作应的一组数据如表所示，试用直角坐标作图表示出电阻与温度的函数关系。图表示出电阻与温度的函数关系。 测量次数12345678910铜电阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610.7610.9410.9411.081

9、1.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53温度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在图中任选两点在图中任选两点 和和 ，将两点代入式中可得：将两点代入式中可得：最后，得到电阻随温度的变化关系为：最后，得到电阻随温度的变化关系为：)(.201003140 tRt0314. 00 .130 .4860.1070.11 a由于有由于有x=0的坐标点，故的坐标点，故20.10 b)70.11, 0 .48(1P)60.10, 0 .13(2P (

10、2).用电势差计校准量程为用电势差计校准量程为1mV的毫伏的毫伏表，测量数据如下（表中单位均为表，测量数据如下（表中单位均为mV）。）。在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并对毫伏表定级别。并对毫伏表定级别。 毫伏表读数毫伏表读数0.1000.2000.3000.4000.500 电势差计读数电势差计读数0.10500.21500.31300.40700.5100 修正值修正值U0.0050.0150.0130.0070.0100.6000.7000.8000.9001.0000.60300.69700.78500.89201.00700.003-0

11、.003-0.015-0.0080.007 毫伏表读数毫伏表读数 电势差计读数电势差计读数 修正值修正值U%5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的级别为：毫伏表的级别为：为为1.5级表级表1.1.逐差法的含义逐差法的含义 把实验测量数量（因变量）进行逐把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项测项相减或依顺序分为两组实行对应项测量数据相减之差作因变量的多次测量值。量数据相减之差作因变量的多次测量值。然后求出最佳值然后求出最佳值算术平均值的处理算术平均值的处理数据的方法。数据的方法。次数（K）12345678910电压 V（V）02.0

12、04.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00电流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04伏安法测电阻伏安法测电阻,试用逐差法求出电流试用逐差法求出电流I的的最佳值并算出电阻最佳值并算出电阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐项相减，则有若按逐项相减，则有 1111101nkkkIII)( 9102312.1101IIIIII 1101101II IVR 解：解：根据伏安公式根据伏安公

13、式次数（K）12345678910电压 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00电流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04.若按顺序分为两组（若按顺序分为两组（15为一组，为一组，610为一组）为一组）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 实行对应项相减，其结果如表：实行对应项相减，其结果如表：可以利用这种分组法计算因变量可以利用这种分组法

14、计算因变量 的平均值的平均值根据欧姆定律得根据欧姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I 2.2.有关逐差法的几点说明有关逐差法的几点说明使用条件：使用条件： 自变量等间隔变化（对一次逐差必须自变量等间隔变化（对一次逐差必须 是线性关系，否则先进行曲线改直）是线性关系，否则先进行曲线改直）用数据进行用数据进行直线直线拟合（一次逐差）拟合（一次逐差） 优点：优点： 充分利用测量数据（取平均的效果）充分利用测量数据（取平均的效果）作用：作用： 验证函数是否线性关系（一次逐差）验证函数是否线性关系（一次逐差）作图法：作图法： 直观、

15、简便。但主观随意性大（粗略）直观、简便。但主观随意性大（粗略）逐差法：逐差法： 粗略的近似计算方法（要满足一定条件）粗略的近似计算方法（要满足一定条件）回归分析法：回归分析法： 最准确的计算方法最准确的计算方法1.1.回归分析法定义：回归分析法定义：由数理统计的方法处理数据，通过计算确定由数理统计的方法处理数据，通过计算确定其函数关系的方法。其函数关系的方法。步骤：步骤：1.推断函数形式（回归方程）推断函数形式（回归方程）2.由实验数据确定参数由实验数据确定参数a、b、 c等的最佳值。等的最佳值。3.根据实验数据检验函数关系根据实验数据检验函数关系 是否合理。是否合理。y=aebx+c (指数

16、关系）指数关系）如如 y=a+bx (线性关系）线性关系）2.2.用最小二乘法进行一元线性回归用最小二乘法进行一元线性回归（1）最小二乘法原理）最小二乘法原理给定函数关系为给定函数关系为 y = a + bx最小乘数最小乘数a和和b的值是能使各次测的值是能使各次测量值误差平方和为最小的那个值。量值误差平方和为最小的那个值。数学表达式为：数学表达式为： Kiiyy12min)(（2）一元线性回归（直线拟合）一元线性回归（直线拟合）函数形式函数形式bxay （1）实验数据为实验数据为.,.,2121kkyyyxxx对对应应由于由于x和和y的测量存在误差，将的测量存在误差，将kkyyyxxx.,.,

17、2121和和代入（代入（1）式，等式两边并不相等。）式，等式两边并不相等。等式两端的差值用等式两端的差值用k .,21表示，则表示，则)(111bxay )(222bxay )(kkkbxay .按最小二乘法原理，按最小二乘法原理，a、b最佳值应满足：最佳值应满足： kiiikiimin)bxay(1212 （2）由于由于 最小，最小， kii12 （2）式对）式对a和和b求偏导应为求偏导应为0。 kiiikiibxaya11202 kiiiikiixbxayb11202 整理后得整理后得 kiikiikiiikikiiixbxayxxbkay12111100（3）由于由于xxkkii 11y

18、ykkii 112121xxkkii xyyxkkiii 11 002xbxaxyxbay222xxxyxyxa xayxxxyyxb 22代入（代入（3）式有：）式有：（3）相关系数）相关系数相关系数：定量描述相关系数：定量描述x、y变量之间线性相关程度的好坏变量之间线性相关程度的好坏yyxxxyLLL kiikiikiiixyyxkyxL111121121 kiikiixxxkxL21121 kiikiiyyykyL式中式中 0 拟合曲线斜率为正拟合曲线斜率为正 0 斜率为负斜率为负 =0 则则x和和y无线性关系无线性关系(a)(b)(c)(d)（4）举例）举例还是以铜电阻还是以铜电阻温度关系为例，测得的一组数温度关系为例，测得的一组数据如表所示。已知据如表所示。已知Rt和和t的函数关系为的函数关系为Rt=a+bt，试用最小二乘法求出试用最小二乘法求出a、b。次数K 1 2 3 4 5 6 7 8 电阻Rt 1 10 0. .3 35 5 1 10 0. .5 51 1 1 10 0. .6 64 4 1 10 0. .7 76 6 1 10 0. .9 94 4 1 11 1. .0 08 8 1 11 1. .2 22 2 1 11 1. .3 36 6 温度t 5 5. .0 0 1 10 0. .0 0 1 15 5. .0 0 2