解直角三角形小结与复习

1、解直角三角形小结与复习知识梳理1在RtABC中，C = 90°，a，b，c分别是A，B，C的对边（1）三边之间的关系（即勾股定理）： ；（2）两锐角之间的关系：AB = ；（3）边角之间的关系：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=，cotA= 2如图1，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做 ，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 3如图2， 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即.坡度通常写成1：i的形式. 的夹角叫坡角，记作有i= 考点呈现一、锐角三角函数的定义例1 （2012年滨州市）把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值（）A不变B缩小

2、为原来的C扩大为原来的3倍D不能确定解析：因为ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦值也不变故选A例2 在RtABC中，C90°，a，b，c分别是A，B，C的对边，那么c等于（ ）AacosA+bsinB BasinA+bsinB C. D.解析：在RtABC中，sinA，cosA对于B，asinA+bsinB+c故选B图1二、求锐角三角函数值例3 （2012年扬州市）如图1，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处若，则tanDCF的值是 解析：因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD，D90°因为将

3、矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，所以CFBC.因为，所以. 设CD2x，CF3x，所以DFx，所以tanDCF图2例4 （2012年德阳市）某时刻海上点P处有一客轮，如图2，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tanABP等于（ ）A. B.2 C. D. 解析：因为灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，所以PA=20因为客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处， 所以APB=90° ，BP=60×

4、=40所以tanABP故选A例5 （2012年乐山市）在RtABC中，C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（）ABCD1 解析：在RtABC中，C=90°，AB=2BC，所以sinA=，所以A=30°，所以B=60°所以sinB=故选C 三、解直角三角形例6 如图3，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上求A，C之间的距离(结果精确到0.1海里，参考数据1.41， 1.73)图

5、8解析：如图3，作ADBC，垂足为D.由题意，得ACD45°，ABD30°. 设CDx.在RtACD中，ADCDx，在RtABD中，BDAD tan 60°x又BC20，所以x+x20，解得x7.33在RtACD中，所以ACx10.3(海里)答：A，C之间的距离为10.3海里例7 某校学生去春游，在风景区看到一棵汉柏树，不知这棵汉柏树有多高，下面是两位同学的一段对话：图4小明：我站在此处看树顶仰角为小华：我站在此处看树顶仰角为小明：我们的身高都是1.6m小华：我们相距20m请你根据这两位同学的对话，计算这棵汉柏树的高度（参考数据：，结果精确到0.01）解析：如图4

6、所示，延长BC交DA于E设AE的长为x m，在RtACE中，ACE45°，AEB=90°，所以CAE45°， AECEx在RtABE中，B30°，AEx，所以BEx因为BC20， 所以x x20，解得x10+1027.32所以ADAEDE27.32+1.628.92（m）答：这棵汉柏树的高度约为28.92米例8 如图5，小山岗的斜坡AC的坡度是tan，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6

7、76;=0.50）BA26.6°DC200米图5解析：设ABx.在RtACB中，由tan，得CBx在RtADB中，tanADB，所以 tan26.6°， 所以DB2x因为CDDBBC，所以，解得x300答：小山岗的高AB为300米误区点拨1. 对概念认识不清致错例1 若RtABCRtABC，且相似比为4，则A，A的余弦值的关系是（ ）AcosA=4cosA B4cosA=cosA CcosA=cosA D不能确定错解：选A或D剖析：两三角形相似，所以AA，故其余弦值相等正解：选C2思维定式致错例2 的值为（ ）A1B C D1错解：cos30°tan45°

8、;1，故选A剖析：错解受a(a0)的影响，忽略了cos30°tan45°0这一隐含条件正解：tan45°cos30°1，故选D3缺乏分类意识致错例3 在RtABC中，BC=4，AB=5，求sinA的值错解：sinA剖析：错解误认为AB是斜边而致错事实上题目未明确哪条线段是斜边，应分类讨论正解：当AB是斜边时，sinA；当AC是斜边时，则有AC=所以sinA例4 如果方程x24x+30的两个根分别是RtABC的两条边，ABC最小的角为A，那么tanA的值为 错解：解方程x24x+30，得x11，x231，3分别是RtABC的两条直角边，则tanA剖析：错解

9、在于考虑问题不全面，1，3也可能分别是直角边和斜边.正解：解方程x24x+30，得x11，x23当1，3分别是RtABC的两条直角边时，tanA；当1，3分别是RtABC的直角边和斜边时，tanA所以tanA的值为或4.对俯角、仰角不理解致错 例5 如图，直升机在斜拉大桥AB上方P点处时，飞机离地面高度为a千米，且A，B，O三点在一条直线上，测得点A俯角为30°，点B的俯角为60°，求这座斜拉大桥AB的长度POBAC错解：在RtAOP中,tanAPO=,APO=30°, 所以 OA=OP·tan30°= tan30°·a在R

10、tBPO中，因为tanBPO=,BPO=60°，所以OB=OP·tanBPO=tan60°·a 所以AB=OA-OB= (tan30°- tan60°)a . 剖析：错解把从P点观测A点的俯角误认为APO，从P点观测B点的俯角误认为BPO.注意俯角是水平线与向下看视线的夹角，所以CPA=30°,BPC=60°正解：根据题意，得CPA=30°,BPC=60°，所以APO=60°,BPO=30°在RtAOP中,tanAPO=,APO=60°，所以 OA=OP·

11、tan60°= tan60°·a.在RtBPO中，BPO=30°因为tanBPO=, 所以OB=OP·tanBPO=tan30°·a所以AB=OA-OB= (tan60°- tan30°)a .所以斜拉大桥AB的长度为(tan60°- tan30°)a千米. 跟踪训练1如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工从AC上取一点B，使ABD=145°，BD=500米，D=55°，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）A500s

12、in55°米B500cos55°米 C500tan55°米D500tan35°米第1题图2在ABC中，C=90°，AB=8，cosA=，则AC的长是 3某市为改善交通状况，修建了大量的高架桥一汽车在坡度为30°的笔直高架桥点A开始爬行，行驶了150米到达点B，则这时汽车离地面的高度为 米4如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是 米（假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60°）5如图，一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又

13、沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（参考数据：1.4，1.7，结果保留整数）A 第6题图BBAC53°23°22°北北第5题图6在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年正午时的太阳光与水平线CD的最小夹角为18.6°，最大夹角ß为64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果精确到0.1，参考数

14、据：sin18.6°0.32，tan 18.6°0.34，sin64.5°0.90，tan 64.5°2.10）7东方山是鄂东南地区的佛教胜地，月亮山是黄荆山脉第二高峰，山顶上有黄石电视塔. 据黄石地理资料记载：东方山海拔453.20米，月亮山海拔442.00米一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为，如图，已知tan=0.15987，tan=0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0.1秒）东方山月亮山第7题图ABDC跟踪训练1B 26 375 4 5由题意，知BAC=53°23°=30°，C=23°+22°=45°过点B作BDAC，垂足为D，则CD=BD.因为BC=10，所以CD=BCcos45°=10×=57.0，AD=5×11.9所以AC=AD