数字电子技术基础1

1、1.1 1.1 概述概述1.2 1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公逻辑代数的基本公式和常用公式式1.4 1.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1.5 1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.6 1.6 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法1.7 1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法1.8 1.8 具有无关项的逻辑函数及其化具有无关项的逻辑函数及其化简简 处于信息时代处于信息时代,我们每天要从周围环境获取大量的我们每天要从周围环境获取大量的信息，例如，电视、广播、印刷媒体、网络等为人们信息，例如

2、，电视、广播、印刷媒体、网络等为人们报道世界范围内所发生的各种事件。这些信息通常是报道世界范围内所发生的各种事件。这些信息通常是通过我们的感觉器官进入大脑，并被存储下来，以作通过我们的感觉器官进入大脑，并被存储下来，以作进一步的分析。进一步的分析。 由于由于模拟信号模拟信号具有连续性，实用上难于存储、分具有连续性，实用上难于存储、分析和传输，在电子技术领域里，常将模拟信号进行编析和传输，在电子技术领域里，常将模拟信号进行编码，把它转换为码，把它转换为数字信号数字信号，利用，利用逻辑代数逻辑代数这一强有力这一强有力的工具来分析和设计复杂的数字电路或数字系统，为的工具来分析和设计复杂的数字电路或数

3、字系统，为信号的存储、分析和传输创造硬件环境。信号的存储、分析和传输创造硬件环境。 逻辑代数逻辑代数是讨论逻辑关系的一门科学，在十九世纪是讨论逻辑关系的一门科学，在十九世纪中叶由数学家乔治中叶由数学家乔治布尔创立，通常称为布尔创立，通常称为布尔代数布尔代数。早期。早期用于分析开关网络，所以又称为用于分析开关网络，所以又称为开关代数开关代数。随着数字技。随着数字技术的发展，逻辑代数成为逻辑设计的数学基础，在数字术的发展，逻辑代数成为逻辑设计的数学基础，在数字电路的分析和设计中得到广泛的应用。电路的分析和设计中得到广泛的应用。 逻辑代数和普通代数一样，也是用字母逻辑代数和普通代数一样，也是用字母A

4、、B、C或或x、y、z等来表示变量，但变量的含意和取值完全不同。等来表示变量，但变量的含意和取值完全不同。逻辑代数的变量取值非常简单，非逻辑代数的变量取值非常简单，非1即即0，没有第三种可，没有第三种可能，而且能，而且0和和1之间不存在大小关系，只是代表研究的对之间不存在大小关系，只是代表研究的对象所具有的两种不同的状态。象所具有的两种不同的状态。 由于逻辑变量和普通变量含意不同，尽管逻辑代数由于逻辑变量和普通变量含意不同，尽管逻辑代数运算和普通代数运算的规律有某些相似之处，其含意也运算和普通代数运算的规律有某些相似之处，其含意也是完全不同的，应用时务必注意。是完全不同的，应用时务必注意。 *

5、 * 逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理逻辑代数的基本公式、常用公式和基本定理* * 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法* * 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 模拟量和数字量模拟量和数字量1 模拟量模拟量物理量的变化在时间上或数值上是连续的物理量的变化在时间上或数值上是连续的 模拟信号模拟信号表示模拟量的信号表示模拟量的信号 例如：正弦波、三角波、调幅波、例如：正弦波、三角波、调幅波、 阻尼振荡波、指数衰减波阻尼振荡波、指数衰减波 模拟电路模拟电路工作在模拟信号下的电子电路工作在模拟信号下的电子电路 2 2 数字量数字量 物理量的变化在时间上和数量上都是离散的物理量的变化在时间

6、上和数量上都是离散的 数字信号数字信号表示数字量的信号表示数字量的信号 数字电路数字电路工作在数字信号下的电子电路工作在数字信号下的电子电路 例如：记录从自动生产线上输出的零件数目时，每例如：记录从自动生产线上输出的零件数目时，每 送出一零件便给电子电路一个信号，使之记送出一零件便给电子电路一个信号，使之记 1 1，而没有零件送出时记，而没有零件送出时记0 0，这样，零件数目，这样，零件数目 这个信号在时间上和数量上都是不连续的，这个信号在时间上和数量上都是不连续的， 为一数字信号为一数字信号 二二 数制和码制数制和码制 1 数制数制多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位多位数码中每

7、一位的构成方法以及从低位到高位的进位 规则规则 有：有： 十进制、二进制、八进制、十六进制十进制、二进制、八进制、十六进制 目前，在数字电路中应用最广泛的是二进制目前，在数字电路中应用最广泛的是二进制 (1) 任意一个任意一个十进制数十进制数 N 都可以表示为按权展开式：都可以表示为按权展开式： （N）10= ai10i i=m , n1 (1.1.1) n为整数的位数为整数的位数 m为小数的位数为小数的位数 如：如：482.65=4102+8101+2100+610-1+510-2 (2)(2)任意一个任意一个二进制数二进制数 N N 可表示为：可表示为： （N）2= bi2i i=m ,

8、n1 (1.1.2) 如：（如：（101.11）2=122+021+120+12-1+12-2=(5.75)10 (3) (3)任意一个任意一个十六进制数十六进制数 N N 可表示为：可表示为： (N)16= ki16i i=m , n1 (1.1.3) 如如: (2A.7F)16=2161+10160+716-1+1516-2=(42.4960937)10数制转换数制转换 (1) 二十转换二十转换 按式按式(1.1.2)(1.1.2)即可即可 如如: : (1011.01)2=123+022+121+120+02-1+12-2 =(11.25)10 (2) 十十二转换二转换 基数连除、连乘法

9、：基数连除、连乘法：整数部分转换用基数连除法整数部分转换用基数连除法 小数部分转换用基数连乘法小数部分转换用基数连乘法 具体步骤如下：具体步骤如下： 整数部分转换：整数部分转换：十进制数除以基数二，余数是等值的二进十进制数除以基数二，余数是等值的二进 制数的最低位制数的最低位 将上一步的商再除以将上一步的商再除以 二，余数为等值的二进制的次低位二，余数为等值的二进制的次低位 重复第二步，直到最后所得的商等于零为止，重复第二步，直到最后所得的商等于零为止， 各次除得的余数即为二进制各位的数值。各次除得的余数即为二进制各位的数值。除除2 2取余取余如：如：（173）10=(?)2 2 173 （1

10、 2 86 （0 2 43 （1 2 21 （1 2 10 （0 2 5 （1 2 2 （0 2 1 （1 0得：得： （173）10=（10101101）2 小数部分转换：小数部分转换：将十进制小数乘以基数二，其积的整数部分将十进制小数乘以基数二，其积的整数部分 即为二进制小数的最高位即为二进制小数的最高位 将上一步乘将上一步乘 积的小数部分再乘以基数二，所得乘积的整积的小数部分再乘以基数二，所得乘积的整 数部分即为次高位数部分即为次高位 重复第二步，直至重复第二步，直至 乘积的小数部分为乘积的小数部分为0，或达到要求的精度为止，或达到要求的精度为止， 各次乘积的整数部分便为二进制小数的各位

11、。各次乘积的整数部分便为二进制小数的各位。例如：例如：（0.625)10=(?)2 0.6252=1.25 b-1=1 0.252=0.5 b-2=0 0.52=1.0 b-3=1 (0.625)10=(0.101)2 (3) (3) 二二十六转换十六转换 从低位到高位将每从低位到高位将每4 4位二进制数分为一组位二进制数分为一组, ,不足四位的分别在整数不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加的最高位前和小数的最低位后加“0”0”补足。写出每组的等值十六补足。写出每组的等值十六进制数进制数, ,即可得到对应的十六进制数即可得到对应的十六进制数 如：如： （01011110010111

12、10.10110010).10110010)2 2 =( 5 E . B 2)=( 5 E . B 2)1616(4) 十六十六二转换二转换 将十六进制的每一位用等值的将十六进制的每一位用等值的4 4位二进制数代替位二进制数代替 如如: ( 8 F A. C 6): ( 8 F A. C 6)1616 = (1000 1111 1010.1100 0110)= (1000 1111 1010.1100 0110)2 2 111011.10101 B = 3B.A8 H111011.10101 B = 3B.A8 H (5) 十六十六十转换十转换 可据可据(1.1.3)(1.1.3)式将各位按权

13、展开后相加求得式将各位按权展开后相加求得(N)16= ki16i i=m , n1 (1.1.3) 如如: (8A3D.C): (8A3D.C)1616=8=8 16163 3+10 +10 16162 2+3 +3 16161 1+13 +13 16160 0+12 +12 1616-1-1 =(35389.75) =(35389.75)1010 (6) 十十十六转换十六转换 十十 二二 十六十六注意：注意： 一般，一般，1616进制数用进制数用 H H（HexadecimalHexadecimal）；）；八进制数用八进制数用 O O（OctalOctal）; ;十进制数用十进制数用 D D

14、（DecimalDecimal）; ;二进制数用二进制数用 B B（BinaryBinary）3 3 码制码制 当数码不再表示数量大小的差别，而只是代表不同当数码不再表示数量大小的差别，而只是代表不同事物时，这些数码称为事物时，这些数码称为代码代码。 编制代码时遵循的一定规则，称为编制代码时遵循的一定规则，称为码制码制。* * BCD BCD代码代码：用位二进制数码表示位十进制数的：用位二进制数码表示位十进制数的 十个状态，称这些代码为二十进制代码，十个状态，称这些代码为二十进制代码， 即即BCD(Binary Coded Decimal)BCD(Binary Coded Decimal)代码

15、。代码。* * 格雷码格雷码* * 字符编码字符编码 要用二进制代码来表示十进制的要用二进制代码来表示十进制的09十个数，至少要用十个数，至少要用4位二进制数。位二进制数。 4位二进制数有位二进制数有16种组合，可从这种组合，可从这16种组合中选择种组合中选择10种种组合分别来表示十进制的组合分别来表示十进制的09十个数。十个数。 选哪选哪10种组合，有多种方案，这就形成了不同的种组合，有多种方案，这就形成了不同的BCD码。码。 二二- -十进制代码：用十进制代码：用4 4位二进制数位二进制数b b3 3b b2 2b b1 1b b0 0来表示十进制数中来表示十进制数中的的 0 0 9 9十

16、个数码。简称十个数码。简称BCDBCD码码 (Binary Coded Decimal)(Binary Coded Decimal) 84218421码码是是BCDBCD代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个代码中最常用的一种。若把每一个代码都看成是一个四位二进制数，各位的权依次为四位二进制数，各位的权依次为8 8，4 4，2 2，1 1。另外，每个代码的。另外，每个代码的数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。数值恰好等于它所表示的十进制数的大小。 2421BCD2421BCD码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一码也是一种有权码，它的另两个特点是：编码方案不唯一（如十进制

17、数（如十进制数“5”5”可以编码为可以编码为“1011”1011”或或“0101”0101”）；）；0 09 9、1 18 8、2 27 7等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算等数字编码互为按位取反结果，这有助于十进制的运算简化。简化。 余余3 3码码被看成被看成4 4位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制位二进制数时，则它的数值要比它所表示的十进制数码多数码多3 3。如果将两个余。如果将两个余3 3码相加，所得的和将比十进制数和所对码相加，所得的和将比十进制数和所对应的二进制数多应的二进制数多6 6。因此，在用余。因此，在用余3 3码作十进制加法运算时，若两码作十进制加法运

18、算时，若两数之和为数之和为1010，正好等于二进制数的，正好等于二进制数的1616，于是从高位自动产生进位，于是从高位自动产生进位信号。信号。 余余3 3循环码循环码是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一是一种无权码，其特点是：每两个相邻编码之间只有一位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误。位码元不同。这一特点使数据在形成和传输时不易出现错误。常用的几种常用的几种 BCD BCD 码码 十进十进制数制数8421BCD码码2421BCD码码5121BCD码码余余3码码余余3循环码循环码00000000000000011001010001000100010100011020

19、0100010001001010111300110011011001100101401000100011101110100501011011100010001100601101100100110011101701111101101010101111810001110101110111110910011111111111001010上述编码方式是针对上述编码方式是针对 “ “一位一位” ” 十进制数字而言的，一个十进制数字而言的，一个多位多位的十进制数的十进制数与相应的与相应的8421BCD8421BCD码之间的转换关系如下例所示：码之间的转换关系如下例所示：001100001001000130

20、91十进制数：十进制数：对应的对应的8421BCD码：码： 组合组合BCDBCD码格式码格式：每位十进制数字对应的：每位十进制数字对应的BCDBCD编码以四个二进制位来存放；编码以四个二进制位来存放；（30913091）1010（0011 0000 1001 00010011 0000 1001 0001）BCDBCD 非组合非组合BCDBCD码格式码格式：每位十进制数字对应的：每位十进制数字对应的BCDBCD编码以八个二进制位来存放，编码以八个二进制位来存放，其中低四位存放真正的其中低四位存放真正的BCDBCD码，高四位根据具体应用的不同定义为不同的码，高四位根据具体应用的不同定义为不同的值

21、值 如无特殊要求，高四位通常为全如无特殊要求，高四位通常为全0 0； （30913091）1010（000000000011 0011 000000000000 0000 000000001001 1001 0000000000010001）BCDBCD注意：如无特别说明，本课程中的注意：如无特别说明，本课程中的BCDBCD码一概指组合的码一概指组合的8421BCD8421BCD码。码。这样得到的这样得到的BCDBCD码在存放或处理时有两种格式：码在存放或处理时有两种格式：格雷码（格雷码（GrayGray） v 任意两个相邻码组之间只有一位码元不同（任意两个相邻码组之间只有一位码元不同（0 0

22、和最大和最大 数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循数之间也只有一位不同），因此格雷码也称为循 环码；这种编码在形成和传输时不易出错。环码；这种编码在形成和传输时不易出错。 比如：十进制比如：十进制3 3转换为转换为4 4时，对应二进制的每一位变化，都会产时，对应二进制的每一位变化，都会产 生很大的尖峰电流脉冲生很大的尖峰电流脉冲v 最高位的最高位的0 0和和1 1只改变一次。若以最高位的只改变一次。若以最高位的0 0和和1 1的交的交 界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一界为轴，其他低位的代码以此轴对称，利用这一 特点可以很容易地构成位数不同的格雷码。特点可以很容易地构成位数不同的

23、格雷码。v 格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以格雷码是一种无权码，不易直接进行运算，但可以 很容易地与二进制进行换算。很容易地与二进制进行换算。v 格雷码有许多形式，如余格雷码有许多形式，如余3 3循环码等。循环码等。一种典型的格雷码一种典型的格雷码两位格雷码两位格雷码0 00 11 11 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0

24、 0 0三位格雷码三位格雷码四位格雷码四位格雷码0 00 11 11 01 01 10 10 00110 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 00 0 00 0 10 1 10 1 01 1 01 1 11 0 11 0 0 数字系统处理、存储及显示的信息，包括数字，文字数字系统处理、存储及显示的信息，包括数字，文字符号，字母和特殊符号等都必须用二进制数进行编码。符号，字母和特殊符号等都必须用二进制数进行编码。 目前常用的是目前常用的是ASCIIASCII码（美国标准信息交换码）和码（美国标准信息交换码）和UnicodeUnicode码。

25、码。 ASCII ASCII码即码即 “ “美国国家标准信息交换码美国国家标准信息交换码” ” 的英文缩写，常用的有两种的英文缩写，常用的有两种： （1 1）ASCII-7ASCII-7 编码用编码用7 7 位二进制编码表示一个字符，共可表示位二进制编码表示一个字符，共可表示 128 128 个不同的字符。通常使用时在最高位添个不同的字符。通常使用时在最高位添 0 0 凑成凑成 8 8 位二进制编码，或根位二进制编码，或根据实际情况将最高位用做校验位。据实际情况将最高位用做校验位。 （2 2）ASCII-8ASCII-8 编码用编码用 8 8 位二进制编码表示一个字符，共可表示位二进制编码表示

26、一个字符，共可表示 256 256 个不同的字符。个不同的字符。 本课程中不加声明时都指本课程中不加声明时都指 ASCII-7 ASCII-7 码。码。注意：注意：一般字符的一般字符的ASCIIASCII码表靠查表方式获取。但除数字的码表靠查表方式获取。但除数字的ASCIIASCII外，最好也能记住外，最好也能记住以下对应关系：以下对应关系：A AF F 的的ASCIIASCII码为码为41H41H46H46H，a af f 的的 ASCIIASCII码为码为61H61H66H66H互联网的迅速发展，要求进行数据交换的需求越来越大，而且多种语互联网的迅速发展，要求进行数据交换的需求越来越大，而

27、且多种语言共存的文档不断增多，不同的编码体系越来越成为信息交换的障碍，于是言共存的文档不断增多，不同的编码体系越来越成为信息交换的障碍，于是 UNICODE UNICODE 应运而生。应运而生。 UNICODE UNICODE 的双重含义：的双重含义：v首先首先UNICODEUNICODE是对国际标准是对国际标准ISO/IEC 10646ISO/IEC 10646编码的一种称谓。编码的一种称谓。ISO/IEC 10646 ISO/IEC 10646 是一个国际标准，亦称大字符集，它是是一个国际标准，亦称大字符集，它是ISOISO于于19931993年颁布的一项重要国际标年颁布的一项重要国际标准

28、，其宗旨是全球所有文种统一编码；准，其宗旨是全球所有文种统一编码；v另外它又是美国的另外它又是美国的 HPHP、MicrosoftMicrosoft、IBMIBM、Apple Apple 等大企业组成的联盟集团等大企业组成的联盟集团的名称，成立该集团的宗旨就是要推进多文种的统一编码；的名称，成立该集团的宗旨就是要推进多文种的统一编码；UNICODEUNICODE是一个是一个1616位二进制编码的字符集，它可以移植到所有主要的计算位二进制编码的字符集，它可以移植到所有主要的计算机平台并且覆盖几乎整个世界。机平台并且覆盖几乎整个世界。 日常生活中使用十进制，但在计算机中基本上使用日常生活中使用十进

29、制，但在计算机中基本上使用二进制二进制，有时也使用八进制或十六进制。利用权展开式可将任意进制数有时也使用八进制或十六进制。利用权展开式可将任意进制数转换为十进制数。将十进制数转换为其它进制数时，整数部分转换为十进制数。将十进制数转换为其它进制数时，整数部分采用基数除法，小数部分采用基数乘法。利用采用基数除法，小数部分采用基数乘法。利用1 1位八进制数由位八进制数由3 3位二进制数构成，位二进制数构成，1 1位十六进制数由位十六进制数由4 4位二进制数构成，可以实位二进制数构成，可以实现二进制数与八进制数以及二进制数与十六进制数之间的相互现二进制数与八进制数以及二进制数与十六进制数之间的相互转换

30、。转换。二进制代码不仅可以表示数值，而且可以表示符号及文字，二进制代码不仅可以表示数值，而且可以表示符号及文字，使信息交换灵活方便。使信息交换灵活方便。BCDBCD码是用码是用4 4位二进制代码代表位二进制代码代表1 1位十进制位十进制数的编码，有多种数的编码，有多种BCDBCD码形式，最常用的是码形式，最常用的是8421 BCD8421 BCD码码。* * 算术运算算术运算两个二进制数码表示两个数量两个二进制数码表示两个数量 大小时，它们之间可进行数值运算大小时，它们之间可进行数值运算* * 逻辑运算逻辑运算当两个二进制数码表示不同的当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可按照指定的

31、某种因逻辑状态时，它们之间可按照指定的某种因果关系进行逻辑运算果关系进行逻辑运算1.1 概述1.2 1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式1.4 逻辑代数的基本定理1.5 逻辑函数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简法1.7 逻辑函数的卡诺图化简法1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简电路图L=ABEABY开关开关A A，B B串联控制灯泡串联控制灯泡Y YEABYEABYEABYEABYA A、B B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。A A断开、断开、B B接通，灯不亮。接通，灯不亮。A A接通、接通、B B断开，灯不亮。断开，灯不亮。A

32、A、B B都接通，灯亮。都接通，灯亮。两个开关必须同时接通，两个开关必须同时接通，灯才亮。灯才亮。逻辑表达式逻辑表达式为：为：与逻辑与逻辑的定义：仅当决定事件（的定义：仅当决定事件（Y Y）发生的所有条）发生的所有条件（件（A A，B B，C C，）均满足时，事件（）均满足时，事件（Y Y）才能发生。）才能发生。表达式为：表达式为：真真值值表表将开关接通记作将开关接通记作1 1，断开，断开记作记作0 0；灯亮记作；灯亮记作1 1，灯灭，灯灭记作记作0 0。可以作出如下表。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：格来描述与逻辑关系：这种把所有可能的条件组合及其对应这种把所有可能的条件组合及其对应结果一

33、一列出来的表格叫做结果一一列出来的表格叫做真值表真值表。逻辑符号逻辑符号实现与逻辑的电路实现与逻辑的电路称为称为与门与门。与门的。与门的逻辑符号：逻辑符号：ABY&ABY开关开关A A，B B并联控制灯泡并联控制灯泡Y Y电路图L=ABEABY或逻辑或逻辑的定义：当决定事件（的定义：当决定事件（Y Y）发生的各种条件（）发生的各种条件（A A，B B，C C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y Y）就）就发生。表达式为：发生。表达式为：EABYA、B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。EABYA断开、断开、B接通，灯亮。接通，灯亮。EABYA接通、

34、接通、B断开，灯亮。断开，灯亮。EABYA、B都接通，灯亮。都接通，灯亮。两个开关只要有一个接通，两个开关只要有一个接通，灯就会亮。灯就会亮。逻辑表达式逻辑表达式为：为：+ +功能表功能表真值表真值表逻辑符号逻辑符号实现或逻辑的电实现或逻辑的电路称为路称为或门或门。或。或门的逻辑符号：门的逻辑符号：+ABY1ABY非逻辑非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（指的是逻辑的否定。当决定事件（Y Y）发生）发生的条件（的条件（A A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：反而发生。表达式为：开关开关A A控制灯泡控制灯泡Y Y电路图EAYRAY

35、EAYREAYRA断开，灯亮。断开，灯亮。A接通，灯灭。接通，灯灭。功功能能表表真真值值表表 实现非逻辑的电路称实现非逻辑的电路称为为非门非门。非门的逻辑符。非门的逻辑符号：号：逻辑符号逻辑符号1AYAY（1 1）与非与非运算：逻辑表达式为：运算：逻辑表达式为：ABY YAB与非门的逻辑符号L=A+B&（2 2）或非或非运算：逻辑表达式为：运算：逻辑表达式为：BAY YAB或非门的逻辑符号L=A+B1（3 3）异或异或运算：逻辑表达式为：运算：逻辑表达式为：BABABAY YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1 Y A B 同或门的逻辑符号 L=A+B = （4 4）同或同或运算：逻辑表

36、达式为：运算：逻辑表达式为：Y=A BBAABY 从真值表可见，两个变从真值表可见，两个变量的异或和同或是互反量的异或和同或是互反的。的。AAB = AB = AB B 偶数个变量的异或和偶数个变量的异或和同或是互反的，奇数个同或是互反的，奇数个变量的异或和同或是相变量的异或和同或是相等的。等的。nn（5 5）与或非与或非运算：逻辑表达式为：运算：逻辑表达式为：CDABY Y1&ABCD与或非门的逻辑符号ABCD&1Y与或非门的等效电路1.1 概述1.2 1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用

37、公式1.4 逻辑代数的基本定理1.5 逻辑函数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简法1.7 逻辑函数的卡诺图化简法1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简常量之间的关系常量之间的关系（2）（3）（1）（4）（5）（6）（7）（8）（9）其他的利用真值表很容易证明其他的利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明这些公式的正确性。如证明AB=BAAB=BA：证明分配率：证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=

38、AB+AC等幂率等幂率AA=AAA=A分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC0-10-1率率A+1=1A+1=1对于只含对于只含A A的公式，分别令的公式，分别令A=0A=0及及A=1A=1代入这些公式，即可证代入这些公式，即可证明它们的正确性。明它们的正确性。证 明 ：)(BAAABAA)(1BA BA 分配率分配率A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)互补率互补率A+A=1A+A=10-10-1率率A1=1A1=1冗余律：CAABBCCAAB证明：BCCAAB BCAACAAB)(互补率互补率A+A=1A+A=1BCAABCCAAB)1 ()1

39、(BCACAB分配率分配率A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACCAAB 0-10-1率率A+1=1A+1=11.1 概述1.2 逻辑代数中的三种基本运算1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式1.4 1.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理1.5 逻辑函数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简法1.7 逻辑函数的卡诺图化简法1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简 任何一个含有变量任何一个含有变量A A的逻辑等式中，如果将所有出现的逻辑等式中，如果将所有出现A A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。例如，已知等式例如，已知等式 ，

40、用函数，用函数 Y Y= =AC AC 代替代替等式中的等式中的 A A，根据代入定理，等式仍然成立，即有：，根据代入定理，等式仍然成立，即有：BAAB CBABACBAC )( 对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y Y，如果将表达式中的所有，如果将表达式中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”0”换成换成“1”1”，“1”1”换成换成“0”0”，那么所得到的，那么所得到的表达式就是函数表达式就是函数Y Y的反函数的反函数 （或称补函数）。例如：（或称补函数）。例如：YEDCBAY )(EDCBAYEDCBAYEDCBAY注意注意： 1、需遵守、需遵守“先括号，然后乘，最后

41、加先括号，然后乘，最后加”的运算优先次的运算优先次序序 2、不属于单个变量上的反号应保留不变、不属于单个变量上的反号应保留不变 对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y Y，如果将表达式中的所有，如果将表达式中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”0”换成换成“1”1”，“1”1”换换成成“0”0”，而，而，则可得到的一个新的函数表达式，则可得到的一个新的函数表达式Y Y，Y Y称为函称为函Y Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：EDCBAY)(EDCBAY EDCBAY对偶规则的意义在于：对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它

42、们的对如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则偶函数也相等。利用对偶规则, ,可以使要证明及要记忆的公式可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：数目减少一半。例如：ABABA ABABA )()(ACABCBA )()(CABABCA 1.1 概述1.2 1.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算1.3 逻辑代数的基本公式和常用公式1.4 逻辑代数的基本定理1.5 1.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法1.6 逻辑函数的公式化简法1.7 逻辑函数的卡诺图化简法1.8 具有无关项的逻辑函数及其化简如果对应于输入逻辑变量如果对应于输入逻辑变量A A、B

43、B、C C、的每一组确定值，的每一组确定值，输出逻辑变量输出逻辑变量Y Y就有唯一确定的值，则称就有唯一确定的值，则称Y Y是是A A、B B、C C、的逻的逻辑函数。记为辑函数。记为一一 逻辑函数逻辑函数Y=FY=F（A A，B B，C C，）二二 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法常用的有：常用的有：真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图是由变量的所有可能取值组合及其对应是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。的函数值所构成的表格。真值表列写方法：真值表列写方法：每一个变量均有每一个变量均有0 0、1 1两种取值，两种取值，n n个变量共有个

44、变量共有2 2n n种不同的取值，将这种不同的取值，将这2 2n n种不同的取值按种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。例如：例如：当当A=B=1A=B=1、或者、或者B=C=1B=C=1时，时，函数函数Y=1Y=1；否则；否则Y=0Y=0。A B CY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010011真值表特点：真值表特点：直观明了，直观明了， 但变量多时太繁琐但变量多时太繁琐（二）（

45、二） 逻辑表达式逻辑表达式 是由逻辑变量和与、或、非是由逻辑变量和与、或、非3 3种种运算符连接起来所构成的式子。运算符连接起来所构成的式子。如：如：Y=A（B+C） 逻辑表达式特点：逻辑表达式特点：书写简单方便，书写简单方便，便于利用逻辑代数进行运算，便于利用逻辑代数进行运算， 便于得便于得到逻辑图，到逻辑图， 但不太直观但不太直观是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。如：如：Y&1&ABBC逻辑图特点：逻辑图特点：比较接近于工程实际比较接近于工程实际1 1、逻辑函数的最小项、逻辑函数的最小项（1 1）最小项：）最小项：如果一个函数的

46、某个如果一个函数的某个乘积项乘积项包含了函数的包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。通常称为最小项。ABCCABCBACBABCACBACBACBA、（2 2）最小项的表示方法：）最小项的表示方法：通常用符号通常用符号m mi i来表示最小项。来表示最小项。下标下标i i的确定：的确定：把最小项中的原变量记为把最小项中的原变量记为1 1，反变量记为，反变量记为0 0，当，当变量顺序确定后，可以按顺序

47、排列成一个二进制数，则与这变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i i。ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm 76543210、（3 3）最小项的性质：）最小项的性质：A B Cm0m1m2m3m4m5m6m70 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 110000000010000000010000000010000000010000000010000000010000000013变量全部最小项的真值表变量全部最小项的真值

48、表(a)(a)任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1 1。(b)(b)任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0 0。(c)(c)全部最小项的和必为全部最小项的和必为1 1。(d)(d)具有具有相邻性相邻性的两个最小项（两个最小项只有一个的两个最小项（两个最小项只有一个 因子不同）可合并为一项并消去一对因子。因子不同）可合并为一项并消去一对因子。任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为称为标准与或表达式，也称为最小项表达式标准与或表达式，也称为最小项表达式 对于不是最

49、小项表达式的与或表达式，可利用公式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A AA A1 1和和A(B+C)A(B+C)ABABBCBC来配项展开成最小项表达式。来配项展开成最小项表达式。 )7 , 3 , 2 , 1 , 0()()(73210mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1 1的那些最小项的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。相加，便是函数的最小项表达式。m1ABCm2ABCm4ABCm5ABCCBACBACBACBAmmmmmY

50、)5 ,4,2, 1 (5421将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使使，这样构成的图形就是卡诺图。这样构成的图形就是卡诺图。 卡诺图卡诺图是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成是由表示变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形。的图形。逻辑函数卡诺图的填写方法：逻辑函数卡诺图的填写方法：在那些使函数值为在那些使函数值为1 1的变量的变量取值组合所对应的小方格内填入取值组合所对应的小方格内填入1 1，其余的方格内填入，其余的方格内填入0 0，便得，便得到该函数的卡诺图。到该函数的卡诺图。卡诺图的特点卡诺图的特点是任意两个相邻

51、的最小项在图中也是相邻的。是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。相同，又称为逻辑相邻项）。格雷码格雷码00000000000100010011001100100010011001100111011101010101010001001100110011011101十进制数十进制数0123456789 BC A 00 01 11 10 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m

52、7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10 4 变量卡诺图 1 1 变量卡诺图变量卡诺图 变量数变量数 n = 1 在卡诺图上有在卡诺图上有 21 = 2 个小个小方格，对应方格，对应m0、m1两个最小项。两个最小项。0 0 表示表示 A A 的反变量。的反变量。 1 1 表示表示 A A 的原变量。的原变量。2 2 变量卡诺图变量卡诺图 变量数变量数 n = 2 在卡诺图上有在卡诺图上有 22 = 4 个小方格，对应个小方格，对应m0、m1、m2、m3四个最小项。四个最小项。每个小方格有二个相邻格：每个小方格有二个相邻格：m m0 0和和m m1 1、m

53、 m2 2相邻。相邻。 A A B B 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0二变量格雷码排列：二变量格雷码排列： 任何相邻码组之间只有一个码元不同。任何相邻码组之间只有一个码元不同。逻辑相邻，几何位置相邻。逻辑相邻，几何位置相邻。A010m1mAAABBABABAAB1m0m2m3m0101ABC0001101110CBACBACBABCACABABCCBACBA2m0m1m3m4m5m6m7mABC0 00 00 00 00 01 10 01 11 10 01 10 01 11 10 01 11 11 11 10 01 11 10 00 03 3 变量卡诺图变量卡诺

54、图 变量数变量数 n = 3 在卡诺图上有在卡诺图上有 23 = 8 个小方格，对应八个最小个小方格，对应八个最小项。每个小方格有三个相邻格。项。每个小方格有三个相邻格。m m0 0 和和m m1 1、m m2 2、m m4 4 相邻。相邻。m m1 1 和和m m0 0、m m3 3、m m5 5 相邻。相邻。m m2 2 和和m m0 0、m m3 3、m m6 6 相邻。相邻。三变量格雷码排列顺序：三变量格雷码排列顺序： 卡诺图小方格相邻数卡诺图小方格相邻数 = 变量数。变量数。 小方格的编号就是最小项的编号。小方格的编号就是最小项的编号。 逻辑相邻，几何位置也相邻。逻辑相邻，几何位置也

55、相邻。ABCD0001101100011110DCBADCBACDBADCBADCBADCBABCDADBCADCABDCABABCDDABCDCBADCBACDBADCBA0m1m2m3m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m14m4 4 变量卡诺图变量卡诺图 变量数变量数 n = 4 在卡诺图上有在卡诺图上有 24 = 16 个小方格，对应十六个最个小方格，对应十六个最小项。每个小方格有四个相邻格。小项。每个小方格有四个相邻格。m m0 0 和和m m1 1、m m2 2、m m4 4 、m m8 8 相邻。相邻。m m5 5 和和m m1 1、m m4 4、m m7 7

56、、m m13 13 相邻。相邻。m m9 9 和和m m1 1、m m8 8、m m11 11 、m m13 13 相邻。相邻。四变量格雷码排列：四变量格雷码排列：A0000000011111111B0000111111110000C0011110000111100D0110011001100110AACCBBD D00000101101000011110ABCDE110111101100m0m1m4m5m12m13m8m9m24m25m28m29m31m27m11m15m7m20m16m21m17m23m19m18m22m30m26m10m14m6m3m25 5 变量卡诺图变量卡诺图 变量数

57、变量数 n = 5 在卡诺图在卡诺图上有上有 25 = 32 个小方格，对个小方格，对应应32个最小项。每个小方格个最小项。每个小方格有有5个相邻格。个相邻格。m m0 0和和m m1 1、m m2 2、m m4 4、m m8 8 、及对称相、及对称相 m m1616。m m5 5和和m m1 1、m m4 4、m m7 7、m m1313 、及对称相、及对称相 m m2121。m m2323和和m m1919、m m2121、m m2222、m m3131 、及对称相、及对称相 m m7 7。m m2727和和m m2525、m m2626、m m1919、m m3131 、及对称相、及对称

58、相 m m1111。找相邻格的方法：找相邻格的方法： 先按四变找先按四变找 再找对称相再找对称相 随着输入变量的增加，小方格数以随着输入变量的增加，小方格数以 2n 倍增加。若倍增加。若 N=6 有有 64个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系难以寻个小方格，使卡诺图变得十分复杂，相邻关系难以寻找。所以卡诺图一般多用于找。所以卡诺图一般多用于5变量以内。变量以内。 B A 0 1 0 m0 m1 1 m2 m3 BC A 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 2 变量卡诺图 3 变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3

59、m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10 4 变量卡诺图 两个相邻最小项可以合并消去一个变量两个相邻最小项可以合并消去一个变量BACCBACBACBA )(DCADCBADCAB 逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并（1 1）任何）任何两个两个（2 21 1个）标个）标1 1的相邻最小项，可以合并为一项，的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。 BC A 00 01 11 10 0 1 0 0 1

60、 1 0 1 1 0 A B C+ABC=A CABC+ABC=AC CD AB 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 0 0 0 1 11 0 0 0 1 10 0 1 0 0 ABCD+ABCD=BCDABCD+ABCD=BCD（2 2）任何）任何4 4个个（2 22 2个）标个）标1 1的相邻最小项，可以合并为的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一项，并消去2 2个变量。个变量。 BC A 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 ABC+ABC+ABC+ABC=AABC+ABC+ABC+ABC=C CD AB 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 1 1 1 1 11 0 1 1 0 10 0