控制工程基础(系统数学模型)2

1、控制工程基础控制工程基础第第2 2章章系统的数学模型系统的数学模型控制工程基础控制工程基础1 1、为什么要建立系统的数学模型？、为什么要建立系统的数学模型？ 研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须研究一个自动控制系统，除了对系统进行定性分析外，还必须 进定量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。进定量分析，进而探讨改善系统稳态和动态性能的具体方法。 2 2、什么是数学模型？、什么是数学模型？ 描述系统结构、输入、输出关系的数学表达式。根据数学模型描述系统结构、输入、输出关系的数学表达式。根据数学模型 所描述的系统的运动特性的不同分为：所描述的系统的运动特性的不同分为：

2、动态数学模型和静态数动态数学模型和静态数 学模型。学模型。3 3、机械工程控制中常用的动态数学模型的几种形式、机械工程控制中常用的动态数学模型的几种形式: :时域数学模型：时域数学模型：微分方程、状态方程和差分方程；微分方程、状态方程和差分方程；复数域数学模型：复数域数学模型：传递函数、结构图：传递函数、结构图： ( (传递函数框图和信号流图传递函数框图和信号流图) )；频域数学模型：频域数学模型：频率特性等。频率特性等。现代控制理论中：现代控制理论中：基于神经网络、模糊理论而建立的模型等。基于神经网络、模糊理论而建立的模型等。 2.0 2.0 本章概述本章概述控制工程基础控制工程基础本章基本

3、要求本章基本要求： 1 1、掌握列写微分方程的一般方法。、掌握列写微分方程的一般方法。 2 2、掌握非本质非线性微分方程的性线化处理方法。、掌握非本质非线性微分方程的性线化处理方法。 3 3、熟悉典型信号的拉普拉斯变换，掌握较复杂控制信号、熟悉典型信号的拉普拉斯变换，掌握较复杂控制信号的分解计算。的分解计算。 4 4、熟记拉普拉斯变换的基本定理，并掌握运用拉普拉斯、熟记拉普拉斯变换的基本定理，并掌握运用拉普拉斯变换解微分方程的方法；变换解微分方程的方法； 5 5、正确理解传递函数的定义、性质和意义。、正确理解传递函数的定义、性质和意义。 6 6、正确理解由传递函数派生出来的系统的开环传递函数、

4、正确理解由传递函数派生出来的系统的开环传递函数、闭环传递函数、对控和对干扰的传递函数、误差传递、闭环传递函数、对控和对干扰的传递函数、误差传递函数以及典型环节的传递函数等概念。函数以及典型环节的传递函数等概念。 7 7、掌握结构变换的基本法则，并能正确较熟练地运用。、掌握结构变换的基本法则，并能正确较熟练地运用。控制工程基础控制工程基础2.1 2.1 系统微分方程系统微分方程 一、建立数学模型的方法：机理分析法机理分析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验辩识法实验

5、辩识法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。方法也称为系统辨识。机理分析和实验辩识相结合的方法机理分析和实验辩识相结合的方法 控制工程基础控制工程基础二、列写微分方程式的一般方法：二、列写微分方程式的一般方法：1 1、确定系统的输入量、输出量。、确定系统的输入量、输出量。（给定输入量和扰动量）（给定输入量和扰动量）2 2、按照信号的传递顺序，列写出各个环节的微分方程。、按照信号的传递顺序，列写出各个环节的微分方程。3 3、消去中间变量，得到只包含输入量和输

6、出量的微分方程；、消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程；4 4、变换成标准形式。将与输入有关的项写在微分方程的右、变换成标准形式。将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。项按降幂排列。 控制工程基础控制工程基础三、机械系统的机理分析法建模三、机械系统的机理分析法建模质量元件：质量元件：弹性元件：弹性元件：阻尼元件：阻尼元件：. .机械平移运动：机械平移运动：元件间通过力联系，系统遵循牛顿定律。元件间通过力联系，系统遵循牛顿定律。控制工程基础控制工程基础例例2-12-1：质量、弹

7、簧、阻尼器的机械位移系统，试列写质量：质量、弹簧、阻尼器的机械位移系统，试列写质量m m在外力在外力f f作用下，位移作用下，位移x x的运动方程。的运动方程。1 1、明确系统的输入和输出：、明确系统的输入和输出：输入为输入为f f，输出为，输出为x x。2 2、根据牛顿第二定律列出原始微分方程：、根据牛顿第二定律列出原始微分方程：3 3、整理（化成标准形式）：、整理（化成标准形式）：控制工程基础控制工程基础. .机械旋转运动：机械旋转运动：元件间通过力矩联系，系统遵循转动定理。元件间通过力矩联系，系统遵循转动定理。质量元件：质量元件：弹性元件：弹性元件：阻尼元件：阻尼元件：)(12 kT)(

8、)(1212ccTJMJM MJ JTMJTMJM MJ JT Tk kM MJ JT Tc c控制工程基础控制工程基础K K i i( (t t) ) o o( (t t) )0 00 0T TK K( (t t) )T TC C( (t t) )C C粘性液体粘性液体齿轮齿轮J JJ J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；K K 扭转刚度系数；扭转刚度系数；C C 粘性阻尼系数粘性阻尼系数柔性轴柔性轴例例2-2 2-2 齿轮通过柔性轴驱动机械旋转体运动。齿轮通过柔性轴驱动机械旋转体运动。控制工程基础控制工程基础)()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCK

9、ooCoiK)()()()(22tKtKtdtdCtdtdJiooo控制工程基础控制工程基础例例2-32-3：试列出如图所示机械转动系统的微分方程。：试列出如图所示机械转动系统的微分方程。 1 1、明确系统的输入和输出：、明确系统的输入和输出：输入为输入为T T，输出为，输出为x x（t t）。）。2 2、列出原始微分方程：、列出原始微分方程：3 3、消除中间变量，并整理得：、消除中间变量，并整理得：J J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；K K1 1 扭转刚度系数扭转刚度系数; ; K K2 2 刚度系数刚度系数B B1 1、粘性阻尼系数粘性阻尼系数; ; B B2 2、粘性阻尼系数粘性阻尼

10、系数;r:;r:旋转体转动半径旋转体转动半径1()oTKrxrTxrkxrBBxmrJ22.221.2)()(JrfBK101)(xxmxKBf22输入输入T输出输出x0TfT1BT控制工程基础控制工程基础四、电网络系统机理分析建模四、电网络系统机理分析建模 容性元件：容性元件：感性元件：感性元件：阻性元件：阻性元件：dttiCtu)(1)(dttdiLtu)()()()(tRitu元件间相互连接后，系统遵循基尔霍夫定理。元件间相互连接后，系统遵循基尔霍夫定理。12)(vvtu其中：其中：控制工程基础控制工程基础例例2-42-4：试列出如图所示电气系统的微分方程。：试列出如图所示电气系统的微分

11、方程。 1 1、明确系统的输入和输出：、明确系统的输入和输出：输入为输入为u ui i（t t），输出为），输出为u uo o（t t）。）。2 2、列出原始微分方程、列出原始微分方程3 3、消除中间变量，并整理得：、消除中间变量，并整理得：dttiCiRdtdiLtui)(1)(u uo o( (t t) )L LR RC Cu ui i( (t t) )i i( (t t) )R-L-CR-L-C无源电路网络无源电路网络dttiCtuo)(1)(dttduCio)(或或)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo控制工程基础控制工程基础例例2-52-5：试列出如图所示电

12、气系统的微分方程。：试列出如图所示电气系统的微分方程。 1 1、明确系统的输入和输出、明确系统的输入和输出输入为输入为u ui i，输出为，输出为u uo o。2 2、列出原始微分方程、列出原始微分方程负载效应负载效应dtducdtducRuuoi21111ouRiu221dtducio223 3、消除中间变量，并整理得：、消除中间变量，并整理得：ioouudtduCRCRCRdtudCRCR2212211222211)(本例中如果看成两个电路本例中如果看成两个电路, R, R1 1C C2 2反映了反映了两回路两回路L1L1和和L2L2间的相互影响。间的相互影响。 1ciL1L2控制工程基础

13、控制工程基础五、机电系统机理分析建模五、机电系统机理分析建模例例2-42-4：电枢控制直流电机驱动系统。：电枢控制直流电机驱动系统。 1 1、明确系统的输入和输出、明确系统的输入和输出输入为输入为u ua a，干扰输入为，干扰输入为M ML L, ,输出为输出为。2 2、列出原始微分方程、列出原始微分方程电枢回路电压平衡方程为电枢回路电压平衡方程为: : daaaaedtdiLiRuddkek kd d为电动机的反电动势系数为电动机的反电动势系数 daaaakdtdiLiRu.1 1M Mde输入输入输出输出控制工程基础控制工程基础设设J J为转动部分折算到轴上的总的转动惯量：为

14、转动部分折算到轴上的总的转动惯量：力矩平衡方程为力矩平衡方程为: : LMMdtdJamikM K Km m为电动机电磁力矩系数。为电动机电磁力矩系数。LamMikdtdJdtdkJMkimLma1daaaakdtdiLiRu3 3、消除中间变量，得电机转子运动方程为、消除中间变量，得电机转子运动方程为: :解出电流解出电流iadmLmmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJMkRu)1()1(电枢回路电压平衡方程为电枢回路电压平衡方程为: :消除变量消除变量M代入代入.1：M M为电动机的电磁转矩：为电动机的电磁转矩：控制工程基础控制工程基础4 4、整理得：、整理得：Ld

15、maLdmaddmadmMkkRdtdMkkLukdtdkkJRdtdkkLJ1225 5、标准形式：、标准形式：LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22aaRRdmLmmLmaakdtdtdkJMkdLdtdkJMkRu)1()1(mCmTaTmaC TdC22aaLaLdmmmRJRdMdLLJ duMkkkdtkdtkdtmk控制工程基础控制工程基础dmamkkRC ddKC1dmamkkJRTLmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT226 6、直流电机驱动系统的数学模型：、直流电机驱动系统的数学模型：在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由

16、于电枢电路电感L L 较小，通常忽略不计，因而上式较小，通常忽略不计，因而上式可简化为：可简化为： 这时，电动机的转速这时，电动机的转速与电枢电压与电枢电压 成正比，于是电动机可作为成正比，于是电动机可作为测速发电机使用。测速发电机使用。auLmadmMCuCdtdT 如果电枢电阻如果电枢电阻 和电动机的转动惯量和电动机的转动惯量 都很小而忽略不计时，都很小而忽略不计时， aduC控制工程基础控制工程基础六、线性六、线性微分方程的增量化表示微分方程的增量化表示：例例2-42-4：直流电机驱动系统。：直流电机驱动系统。 LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22电机处于平衡状

17、态，对应的输入量和电机处于平衡状态，对应的输入量和输出量分别表示为：输出量分别表示为： 000;LLaaMMuu000LmadMCuC若某一时刻，输入量发生变化，其变化值为：若某一时刻，输入量发生变化，其变化值为： ，电机的平衡状态，电机的平衡状态被破坏，输出亦发生变化，其变化量为：被破坏，输出亦发生变化，其变化量为： ，这时，输入量和输出量可表，这时，输入量和输出量可表示为增量形式：示为增量形式： LaMu 、000,LLLaaaMMMuuuau控制工程基础控制工程基础)()()()()()(00000202LLmLLamaadmmaMMCdtMMdTCuuCdtdTdtdTT化简并整理得：

18、化简并整理得： )()()()()()(00022LLmLamaadmmaMMCdtMdTCuuCdtdTdtdTTLmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT22000LmadMCuC考虑到考虑到于是有：于是有： 控制工程基础控制工程基础讨论讨论1 1：LmLamadmmaMCdtdMTCuCdtdTdtdTT22LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT221 1、增量方程与实际坐标方程形式相同；、增量方程与实际坐标方程形式相同； 2 2、当平衡点为坐标原点时两者等价，否则两者不等价；、当平衡点为坐标原点时两者等价，否则两者不等价； 3 3、增量方程式的意义是

19、：对于定值控制系统，总是工作在、增量方程式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态点，则微分方程转换为增量方程，它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。 控制工程基础控制工程基础讨论讨论2 2：LmLamadmmaMCdtMdTCuCdtdTdtdTT22若若M ML L=0=0：研究：研究随输入电压随输入电压u ua a变化的情况：变化的情况：022a

20、dmmauCdtdTdtdTT若若u ua a=0=0：研究：研究随负载转矩随负载转矩M ML L变化的情况：变化的情况：)(22LLammmaMdtMdTCdtdTdtdTT 线性系统同时具有二种输入作用的情况下，该线性系统遵循线性系统同时具有二种输入作用的情况下，该线性系统遵循叠加原理。叠加原理。控制工程基础控制工程基础（1 1）线性系统与非线性系统：）线性系统与非线性系统：线性定常系统：线性定常系统：线性时变系统：线性时变系统：非线性系统：非线性系统： 能用线性微分方程描述的系统是线性系统否则是能用线性微分方程描述的系统是线性系统否则是非线性系统。非线性系统。例：例：K-M-CK-M-C

21、系统：系统：)()()()(tftkytyctym七、线性系统的基本概念与性质：七、线性系统的基本概念与性质：控制工程基础控制工程基础（2 2）线性系统的性质）线性系统的性质: :线性系统的齐次性和叠加性：线性系统的齐次性和叠加性： 线性系统在多个输入的作用下，线性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用其总输出等于各个输入单独作用下所产生的输出之和。下所产生的输出之和。满足叠加原理的系统是线属系统，即满足：满足叠加原理的系统是线属系统，即满足：)()()(2121xfxfxxf 可加性：可加性：)()(xfxf 齐次性：齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：或：控制工程基

22、础控制工程基础线性系统的微分特性：线性系统的微分特性：线性系统的积分特性：线性系统的积分特性：线性系统的频率保持性：线性系统的频率保持性： 信号通过系统后不会产生新的频率分量，尽管分量的大小信号通过系统后不会产生新的频率分量，尽管分量的大小和相位会发生变化。和相位会发生变化。控制工程基础控制工程基础线性系统的时不变性线性系统的时不变性: :控制工程基础控制工程基础（3 3）线性系统的性质的应用举例）线性系统的性质的应用举例: :)1 (21)(22TtoeTTtttx若某线性系统在输入信号若某线性系统在输入信号 作用下的响应为：作用下的响应为：求输入信号为求输入信号为 时的响应。时的响应。22

23、1)(ttfttg)()1 (21)(22TtoeTTtttxTtoTeTtt：x)(于是有控制工程基础控制工程基础 非线性系统举例：常液体系统非线性系统举例：常液体系统节流阀节流阀节流阀节流阀q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )H H( (t t) )设液体不可压缩，通过节流设液体不可压缩，通过节流阀的液流是湍流。阀的液流是湍流。 )()()()()(tHtqtqtqdttdHAooiA A：箱体截面积；：箱体截面积；)()()(tqtHtHdtdAi为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。为非线性微分方程，即此液位控制系统为非线性系统。 ：由节流阀通流面积和

24、通流口的结构形式决定的系数，：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决定的系数，通流面积不变时，通流面积不变时， 为常数。为常数。控制工程基础控制工程基础八、非线性系统的线性化八、非线性系统的线性化1 1、 线性化问题的提出线性化问题的提出 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围， 将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。 非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的 平方成反比；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性平方成反比；齿轮啮

25、合系统由于间隙的存在导致的非线性 传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。 2 2、非线性方程线性化条件：、非线性方程线性化条件： 系统在预定的工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围系统在预定的工作点附近作小偏差运动，即变量的变化范围很小。很小。非线性函数是连续函数，即函数中各个变量在平衡点处各阶非线性函数是连续函数，即函数中各个变量在平衡点处各阶导数或偏导数存在。导数或偏导数存在。 控制工程基础控制工程基础 泰勒级数展开法泰勒级数展开法 函数函数y y= =f f( (x x) )在其平衡点（在其平衡点（x x0 0, , y

26、 y0 0）附近的泰勒级数展开式为：）附近的泰勒级数展开式为： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy略去含有高于一次的增量略去含有高于一次的增量 x x= =x x- -x x0 0的项，则：的项，则：)()()(000 xxxxdxxdfxfy0)(xxdxxdfK或：或：y y - - y y0 0 = = y y = = K K x x，其中：，其中：3 3、非线性方程线性化方法：、非线性方程线性化方法：控制工程基础控制工程基础 上式上式 y y = = K K x x，即为非线性系统

27、的线性化模型，称为增，即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。量方程。y y0 0 = =f f( (x x0 0) )称为系统的静态方程；称为系统的静态方程；对多变量系统，如：对多变量系统，如：y y = = f f ( (x x1 1, , x x2 2) )，同样可采用泰勒级，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。数展开获得线性化的增量方程。 )()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy增量方程：增量方程：),(20100 xxfy 静态方程：静态方程：2021012021012211,xxxxx

28、xxxxfKxfK其中：其中：控制工程基础控制工程基础 滑动线性化滑动线性化切线法切线法 0 0 x xy y= =f f( (x x) )y y0 0 x x0 0 x x yy y y非线性关系线性化非线性关系线性化A A线性化增量增量方程为：线性化增量增量方程为： y y y y = = x x tgtg 切线法是泰勒级数法的特例。切线法是泰勒级数法的特例。4 4、非线性方程线性化步骤：、非线性方程线性化步骤： 确定预定工作点。确定预定工作点。在工作点附近将非线性方程中的非线性项展开成在工作点附近将非线性方程中的非线性项展开成TaylorTaylor级的形式。级的形式。 忽略忽略高阶项。

29、高阶项。表示成增量方程的形式。表示成增量方程的形式。控制工程基础控制工程基础 实例实例1 1：液位系统的线性化：液位系统的线性化 0000,ioiqHqq解：动力学方程：解：动力学方程：)(tH非线性项非线性项的泰勒展开为：的泰勒展开为：节流阀节流阀节流阀节流阀q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )H H( (t t) )()()(tqtHtHdtdAi稳态时的平衡点：稳态时的平衡点：20022000)(! 21)(HHHdHHdHHHdHHdHHHHHHHHdHHdHH0000021)(则：则：iiqqHHHHHdtdA000021)(增量形式方程：增量形式方程：控制工

30、程基础控制工程基础注意到：注意到：HdtdHHdtd)(0)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi所以：所以：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi实际使用中，常略去增量符号而写成：实际使用中，常略去增量符号而写成：此时，上式中此时，上式中H H( (t t) )和和q qi i( (t t) )均为平衡工作点的增量。均为平衡工作点的增量。 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关。线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关。 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围。线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围。 5 5、线性化处理的注意事项、线性化处理的注意事项 控

31、制工程基础控制工程基础 某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。 ininoutout0 0近似特近似特性曲线性曲线真实特性真实特性饱和非线性饱和非线性ininoutout0 0死区非线性死区非线性ininoutout0 0继电器非线性继电器非线性ininoutout0 0间隙非线性间隙非线性控制工

32、程基础控制工程基础 实例实例2 2：液压伺服机构：液压伺服机构1 1、系统的输入为、系统的输入为x x，输出为，输出为y y：设设p=pp=p1 1-p-p2 2，则作用在负载上的力：，则作用在负载上的力：ApycymyAq由流量连续性方程得：由流量连续性方程得： 对于负载对于负载m m有有: : ),(pxqq 油流量是关于油流量是关于x,px,p的非线性函数：的非线性函数： 2 2、列写原始方程：、列写原始方程：)(21ppAAp稳态时的平衡点：稳态时的平衡点：（y y0 0，x x0 0，p p0 0，q q0 0），），p p0 0=0=0，q q0 0=0=0。控制工程基础控制工程基

33、础3 3、非线性函数线性化：、非线性函数线性化：、确定系统的预定工作点：设为、确定系统的预定工作点：设为（x x0 0，p p0 0，q q0 0）、展开成、展开成TaylorTaylor级数形式：级数形式：.),(),(000000ppqxxqpxqpxqxxppxxpp0000 xxppxxpppqkxqkcqqCqKxKp qk：流量增益系数：流量增益系数ck：流量压力系数：流量压力系数取：取：、表示成增量化形式：、表示成增量化形式：显然，显然，q, q, p, p, x x 三者是一个线性关系。三者是一个线性关系。控制工程基础控制工程基础增量形式的方程：增量形式的方程：)()()(00

34、022ppAyydtdcyydtdmpAApydtdcydtdm022qCqKxKp )(1qAxkkpqc)1(22ydtdAxkAydtdcydtdmc由：由：代入上式得：代入上式得：得：得：, )(00yydtdAqqydtdAq略去增量符号整理得：略去增量符号整理得：xkAKyKAcymcqc)(2控制工程基础控制工程基础象象=船在水中的刻度船在水中的刻度=石头石头九、九、LaplaceLaplace变换和变换和LaplaceLaplace反变换反变换1 1、曹冲称象的故事：、曹冲称象的故事： 双变量函数双变量函数f(s,t)f(s,t)在给定区间对某一个变量的有限积分在给定区间对某一

35、个变量的有限积分是另外一个变量的函数，即变为单变量函数。是另外一个变量的函数，即变为单变量函数。例如：设函数例如：设函数f(s,t)=2st。1102102),(ttststdtdttsf变换的原则与目的：变换的原则与目的：02dttest22s核心思想：核心思想：以象为变量问题难以求解，以以象为变量问题难以求解，以石头为变量问题石头为变量问题可解。可解。又：函数又：函数f(t)=2t,求求 ？02tdtq变换是等价的，可逆的。变换是等价的，可逆的。q变换使问题的性质更清楚变换使问题的性质更清楚q变换使问题的求解更方便。变换使问题的求解更方便。控制工程基础控制工程基础2 2、拉氏变换、拉氏变换

36、 设函数设函数f f( (t t) () (t t 0)0)在任一有限区间上分段连续，在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数且存在一正实常数 ，使得：，使得：0)(limtfett则函数则函数f f( (t t) )的拉普拉氏变换存在，并定义为：的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：式中：s s= = + +j j （ ， 均为实数均为实数, ,且且 00）；即）；即Re(Re()0)0。0)()()(dtetftfLsFst0dtest称为拉普拉氏积分；称为拉普拉氏积分；F F( (s s) )称为函数称为函数f f( (t t) )的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复的拉普拉氏变换或象函数

37、，它是一个复变函数；变函数；f f( (t t) )称为称为F F( (s s) )的原函数；的原函数；L L为拉氏变换的符号。为拉氏变换的符号。控制工程基础控制工程基础3 3、几种典型函数的拉氏变换、几种典型函数的拉氏变换 q 单位阶跃函数单位阶跃函数1(1(t t) ) 1 10 0t tf f( (t t) )单位阶跃函数单位阶跃函数0100)( 1ttt0)(1)(1dtettLst01stes0)(1steds)0)(Re(1ss控制工程基础控制工程基础q 指数函数指数函数atetf)(（a a为常数）为常数）指数函数指数函数0 0t tf f( (t t) )1 10dteeeLs

38、tatat0)( dtetas0)()()(1tasedas)0)(Re(,1asas0)(1taseas控制工程基础控制工程基础q 正弦函数与余弦函数正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数正弦及余弦函数1 10 0t tf f( (t t) )f f( (t t)=sin)=sin t tf f( (t t)=cos)=cos t t-1-10sinsindtettLst0coscosdtettLst由欧拉公式，有：由欧拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin控制工程基础控制工程基础0021sindteedteejtLsttjsttj从而：从而：22cossstL同理：同

39、理：0)Re(112122ssjsjsj控制工程基础控制工程基础q 单位脉冲函数单位脉冲函数 ( (t t) ) 0 0t tf f( (t t) )单位脉冲函数单位脉冲函数 1 1 )0(1lim)0(0)(0tttt且)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必达法则：由洛必达法则：1lim)(0setL所以：所以：dtetLst1)(00lim001limdtest001limstes)1 (1lim0ses控制工程基础控制工程基础q 单位速度函数（斜坡函数）单位速度函数（斜坡函数） 1 10 0t tf f( (t t) )单位速度函数单位速度函数1 1000)(ttttf

40、0)(dttetfLststdest01dtsesetstst000)Re(12ss控制工程基础控制工程基础q 单位加速度函数单位加速度函数02100)(2ttttf0221)(dtettfLst单位加速度函数单位加速度函数0 0t tf f( (t t) ) 函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。变换表直接或通过一定的转换得到。 200212121t dsesetstst02121stdest0)Re(13ssdttesst01控制工程基础控制工程基础4、常用拉氏变换表、常用拉氏变换表控制工程基础控制工程基础5 5、拉氏变换的

41、主要定理、拉氏变换的主要定理 叠加定理叠加定理 q 齐次性：齐次性：L L afaf( (t t)=)=aLaL f f( (t t)，a a为常数；为常数；q 叠加性：叠加性：L L afaf1 1( (t t)+)+bfbf2 2( (t t)=)=aLaL f f1 1( (t t)+)+bLbL f f2 2( (t t) a a，b b为常数；为常数；显然，拉氏变换为线性变换。显然，拉氏变换为线性变换。 实微分定理实微分定理 0)()0( ),0()()(ttfffssFdttdfL若若L L f f( (t t)=)=F Fss；则：则：控制工程基础控制工程基础00)(0)()(d

42、tsedttdfsetfdtetfststst证明：由于证明：由于dttdfLssfsF)(1)0()(即：即：)0()()(fssFdttdfL所以：所以：)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL同样有：同样有：若u(t)= ，则dttdf)()0()()()(fssFdttdfLsU)()(sUtuL)0()()()(2ussUdttduLdttfdL控制工程基础控制工程基础)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn当当f f( (t t) )及其各阶导数在

43、及其各阶导数在t t=0=0时刻的值均为零时时刻的值均为零时（零初始条件）：（零初始条件）：原函数的高阶导数原函数的高阶导数 像函数中像函数中s s的高次代数式的高次代数式控制工程基础控制工程基础拉氏变换的微分性质可以用来求解微分方程：拉氏变换的微分性质可以用来求解微分方程：例如：求解微分方程例如：求解微分方程)0(, 0)0(, 0)()(2 yytyty解：对方程两边取拉氏变换：解：对方程两边取拉氏变换：0)()0()0()(22sYysysYs22)(ssY整理得：整理得：22s所以：所以：tsYLtfsin)()(10)()(2 tytyL0)()(2 tyLtyL控制工程基础控制工程

44、基础 积分定理积分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfL当初始条件为零时：当初始条件为零时：若若L L f f( (t t)=)=F Fss；控制工程基础控制工程基础证明：证明： 001)()()(ststdesdttfdtedttfdttfL00)()(dtsetfsedttfststssFsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)0(1)0(1)(1)()()1(1nnnnfsfssFsdttfL同样：同样：)(1)(sFsdttfLnn当初始条件为零时：当初始条件为零时：控制工程基础控制工程基础 延

45、迟定理延迟定理 )()(sFetfLs设当设当t t00时，时，f f( (t t)=0)=0，且，且Lf(t)=F(s),Lf(t)=F(s),则对任意则对任意0 0，有：有：函数函数 f f( (t t- - ) )0 0t tf f( (t t) ) f f( (t t) )f f( (t-t- ) )dtetftfLst0)()(1)(011)(dtetftsdtetfst)()(sFes1011)(dtetfests令：令：1tt原函数平移原函数平移 像函数乘以像函数乘以 e e- -s s 控制工程基础控制工程基础 位移定理位移定理 )()(asFtfeLat例：例：2222cos

46、sinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat)()()(0)(0asFdtetfdtetfetasstat若若L L f f( (t t)=)=F Fss；则：；则：原函数乘以指数函数原函数乘以指数函数 像函像函数在复数域中作位移数在复数域中作位移 atea控制工程基础控制工程基础6、用位移定理扩展常用拉氏变换表、用位移定理扩展常用拉氏变换表控制工程基础控制工程基础证明：证明：( )limsdf tLdt又又: :lim( )(0 )ssF sf0( )limstsdf tedtdtlim( )(0 )0ssF sf 初值定理初值定理 )(lim)0()

47、(lim0ssFftfst一方面一方面: :0( )( )limlimstssdf tdf tLedtdtdt00( )( )lim00stsdf tdf tedtdtdtdt控制工程基础控制工程基础初值定理建立了函数初值定理建立了函数f f( (t t) )在在t t=0=0+ +处的初值与函数处的初值与函数sFsF( (s s) )在在s s趋于无穷远处的终值间的关系。趋于无穷远处的终值间的关系。 )(lim)0(ssFfs即： 终值定理终值定理 若若sFsF( (s s) )的所有极点位于左半的所有极点位于左半s s平面，平面， 即：即：)(limtft存在。则：存在。则：)(lim)(

48、)(lim0ssFftfst控制工程基础控制工程基础证明：证明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssFfssFdttdfLsss)0()()()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdfLstss又由于：又由于：)(lim)(0ssFfs)0()(lim)0()(0fssFffs即：即：控制工程基础控制工程基础(1)110(1)(1)110(1)( )( )( )( )( )( )( )( )nnooonnonnmmiiimmimmd xtdxtdxtaaaa xtdtdtdtdx tdx tdx tbbbb x tdtdtdt7 7、求解拉氏反变

49、换的部分分式法、求解拉氏反变换的部分分式法 对于线性微分方程对于线性微分方程 方程两边同时取拉氏变换内里得一代数方程（方程两边同时取拉氏变换内里得一代数方程（0 0初始条件）初始条件）)()(01110111sXasasasabsbsbsbsXinnnnmmmmo 求响应函数求响应函数 的问题即为拉氏反变换的问题的问题即为拉氏反变换的问题)(txo控制工程基础控制工程基础 部分分式法部分分式法如果如果f f( (t t) )的拉氏变换的拉氏变换F F( (s s) )已分解成为下列分量：已分解成为下列分量：F F( (s s)=)=F F1 1( (s s)+)+F F2 2( (s s)+)

50、+F Fn n( (s s) )假定假定F F1 1( (s s), ), F F2 2( (s s), ), ，F Fn n( (s s) )的拉氏反变换的拉氏反变换可以容易地求出，则：可以容易地求出，则：L L-1-1 F F( (s s) = ) = L L-1-1 F F1 1( (s s)+)+F F2 2( (s s) +) + F Fn n( (s s)= = f f1 1( (t t) + ) + f f2 2( (t t) + + ) + + f fn n( (t t) )= = L L-1-1 F F1 1( (s s)+)+L L-1-1 F F2 2( (s s)+)+

51、L L1 1 F Fn n( (s s)控制工程基础控制工程基础1011012( )()()()mmmnc sc scscF sspspsp为了应用上述方法，将为了应用上述方法，将F F( (s s) )写成下面的形式：写成下面的形式：式中，式中，- -p p1 1，- -p p2 2，- -p pn n为方程为方程A A( (s s)=0)=0的根，称为的根，称为F F( (s s) )的极点；的极点；c ci i= =b bi i / /a a0 0 ( (i i = 0,1,= 0,1,m m) )。此时，即可将此时，即可将F F( (s s) )展开成部分分式。展开成部分分式。 nii

52、innpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(控制工程基础控制工程基础 F F( (s s) )只含有不同的实数极点只含有不同的实数极点niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(式中，式中，A Ai i为待定常数。为待定常数。所以称常数所以称常数A Ai i为为s s = -= -p pi i极点处的留数。极点处的留数。111innp tiiiiiALAesp)()()()()(2211inniiipspsApsApsAApssAsBpssF111212( )( )nnAAAf sLF sLspspsptipsiipssFA)()(怎么求待定常数怎

53、么求待定常数A Ai i？控制工程基础控制工程基础例：求例：求)6(2)(22ssssssF的原函数。的原函数。解：解：23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)()3(3232sssssssFsA54)3(2)()2(2223sssssssFsA215431158131)(ssssF即：即：)0(5415831)()(231teesFLtftt其反变换为：其反变换为：控制工程基础控制工程基础例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数f f（t t）s10s7s1s2) s (F23解：解

54、：322121( )710(2)(5)ssF sssss ss1110221( )()|0.1710spSsAF s spss同理：同理：A A2 2=0.5=0.5、A A3 30.60.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (Ft5t2e6 . 0e5 . 01 . 0) t (f其反变换为：其反变换为：52321sAsAsA控制工程基础控制工程基础 F F( (s s) )含有共轭复数极点含有共轭复数极点 设共轭复数根设共轭复数根 -p-p1 1+j+j、 -p-p2 2j j jjjjjjeAAeAA|,|1211tjjtjjeAeAtf)(2)(1)(2211)()()(

55、psApsAsAsBsFjjjsjsFjsA)()(1jsjsFjsA)()(2)cos(|2)()( |1)()(11teAeeeAeeeeeeAtjtjjtjtjtjtjtjjtjtjjjtjjjeeAeeA)(1)(1控制工程基础控制工程基础例例 求所示象函数的原函数求所示象函数的原函数: :523)(2ssssF解：解：-p-p1 11+j21+j2、-p-p2 21 1j2j2)21()(21(3523)(2jsjssssssF21211)21(3)21()(jsjsjjssjssFA4225 . 0jjeA)cos(|2)(1teAtftj)21()21(21jsAjsAjj)42

56、cos(2tet425 . 05 . 05 . 0422)21(21(321jejjjjjj同样可求得：同样可求得：控制工程基础控制工程基础 F F( (s s) )含有重极点含有重极点 设设F F( (s s) )存在存在r r重极点重极点- -p p0 0，其余极点均不同，则：，其余极点均不同，则： 101101( )() ()()mmmmrrnb sbsbs bF sspspsp式中，式中，A Ar r+1+1，A An n利用前面的方法求解。利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA控制工程基础控制工程基础2323( )(

57、1)ssF ss考虑：考虑：F(s)F(s)的部分展开式包括的部分展开式包括3 3项：项：201020333223( )(1)(1)(1)1bbbssF sssss用用(s+1)(s+1)3 3乘上述方程两边得：乘上述方程两边得：32010203(1)( )(1)(1)sF sbbsbs3101(1)( )ssF sb31020302(1)( )2(1)ssdsF sbbsbd231032(1)( )2sdsF sbds0102032,0,1bbb2( )0ttf tt ee233223201( )(1)(1)(1)1ssF sssss2303121(1)( )2sdbsF sds控制工程基础

58、控制工程基础0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr可归纳出求多重实极点处留数的公式：可归纳出求多重实极点处留数的公式：控制工程基础控制工程基础tpnnentpsL0)!1()(1101注意到：注意到：)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr对于：对于：)()()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsAsF可求得：可求得：控制工程基础控制工程基础例例 求所示象

59、函数的原函数求所示象函数的原函数23s) 1s (1) s (F解：解：p p1 11 1的三重根、的三重根、p p2 20 0的二重根，所以的二重根，所以F F（s s）, ,可以展开为：可以展开为：2212231121213sKsK) 1s (K) 1s (K1sK) s (F231)() 1(ssFs3s1dsd21K2|s1dsdK1|s1K222131s2121s21132) 1s (1) s (Fs3|) 1s (1dsdK1|) 1s (1K0s3220s321tetteetfssssssFttt32123)(13) 1(1) 1(213)(2232从而：从而：故有故有：控制工程

60、基础控制工程基础例：求例：求的原函数。的原函数。) 1()2(3)(2ssssF解：解：12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA20223( )(2)122(3) (1)(3)(1) 2(1)2ddsAF s sdsdssssssssss 21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF12( ) ( )(2)2(0)ttf tLF steet 于是：于是：控制工程基础控制工程基础8 8、 应用拉氏变换解线性微分方程应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s s 的代数的代数方程；