33[1].圆锥曲线综合练习高三数学解析几何专项训练30套试题(含例题、练习、答案)高三数学

1、word第二章 圆锥曲线 综合练习求曲线方程（一）【例题精选】16 / 16例 1 ： 求经过两圆 x 2y 2xy20和x 2y 25 的交点，圆心在3x4 y10 上的圆的方程。 分析：（ 1）从题设知：两圆 O1： x2y 2xy2022 O2： xy5 的交点可以通过解方程求出，记作A、B，则 A、B 两点在所求的圆上。（2） ）所求圆的圆心若设为（ a, b），则有3a4b10 。（3） ）可由待定系数法，设出所求圆的方程：( xa) 2( yb)2R 2 ，这方程中含有三个待定系数得到三个方程，解方程组求出：a 、b 、R 便可。另外，所求圆是过两相交圆的交点，则可由“圆系”方程，

2、设出过两圆交点的圆的方程，进而求出圆心坐标（含待定系数1 个）再将圆心坐标代入方程3a4b10 上，得解，于是得出如下解法：x 2 解法一：y 2xy20x11解出x22x 2y 25y12y21两圆交于由题设有A(1, (1( 23a2)2a)a) 24bB(2,( 2( 1101)22b) Rb) 2R 2a1解得 b1R13所求圆的方程为 (x1)2( y1)213即 x 2y22 x2 y110 解法二：设过两个已知圆的交点的圆的方程为：( x2y2x y2)m(x2y 25)0(m1, m0)即： (1m) x2(1m) y 2xy 25m0x2y 21yx1 m1m2 5m0m1圆

3、心为 (1,2(1m)1)2(1m)圆心在直线 3x4 y10 上有32(m1)210m1解出 m32则所求的圆为：(x 2y 2xy2)3 (x 22y25)0即： x 2y 22 x2 y110小结： 这两种方法虽然都是待定系数法，从待定系数个数看：解法一中有a,b R 三个待定系数，而解法二中只有m 一个待定第数，从计算量看，两解法都不繁 琐。例 2：求中心在原点， 以坐标轴为对称轴， 离心率为的椭圆方程。2 ，且过点 M（ 4，22 ）22分析： 由题意随圆为标准方程，但焦点不明确，故而要考虑焦点在x 轴或 y 轴的两种可能； 由离心率可得含 a、b 的一个方程， 再由点 M 的坐标满

4、足椭圆方程得出 a、b 的另一个方程，解方程组求出 a、b 就可得到椭圆方程。2解：若椭圆焦点在 x 轴上，则设方程为 xa 2y1(ab0) b2e22又 c 2a 2b22b1 a22c2a2a 2b 21 a 22将 M 点坐标代入方程得到：1681a 2b 2解方程组：b21 a 221681a 2b2(1)(2)x2y 2解得： a 232b 216因此椭圆方程为：12若椭圆焦点在 y 轴上，则设方程为：ya 232162x1( a b2b0)同上可得：a 2ab 2将 M 点坐标代入这个椭圆方程中得到：8161a2解方程组：8a22b 216b2得到 a 2140b 2a 2b 2

5、20y 2x2因此椭圆方程为14020例 3：求焦点是（ 0， 52 ），截直线 y2 x1 所得弦的中点的横坐标是2 中7心在原点的椭圆方程。分析：由题设知这是中心在原点，焦点在y 轴的椭圆。直线与椭圆相交所得弦的中点横坐标已知是建立含待定系数a,b 的一个方程， 另一个是 a 2b 2(52) 2 解方程组便可。另外也可以先设出直线与椭圆相交结的端点P1 , P2 的坐标，由于P1, P2 两点在椭圆上，故而坐标满足椭圆方程，然后两式相减，若P1 ( x1 , y1 )P2 (x2 , y2 ) 则：x1x2227y1y2x1x22 （直线的斜率）也可求出待定系数的值。22 解法一：设所求

6、的椭圆为： yx1a 2b 2y2x1b2 y2a 2 x 2a 2b 2代入化简为：( a 24b 2 ) x24b 2 xb 2a 2 b 20c5 2c2a 2b 2a2b 250a 2b 250代入上式中得(5b 250) x24b 2xb 249b 20直线与椭圆交于两点设该方程两根为4b 2x1 , x2x1x2又x124b25b250x2274b225a 2755b2507y2x 2则所求的椭圆方程是17525解法二：设直线与椭圆相义于两点P1 ( x1 , y1 )P2 (x2 , y2 )22又设椭圆方程为 yx1a 2b2即b2 y 2a2 x 2a2 b 2P1 P2点在

7、椭圆上1b2 y 2a 2x 2a 2b212212b2 y 2a 2x 2a2 b2两式相减得21b 2 ( y 2y2 )a 2 ( x 2x2 )01b 2 ( yx1y2 )( y1x427y2 )a 2 ( xx2 )( x1x2 )01y1y22( x1x2)22(4 )2677又y1y2x1x22( x1x2 )将本式代入上式中得12 b 274 a27a 23b20即c 2(52 )2a 2b2解得 b 225a 275y 2x2椭圆方程为17525说明： 本题解法一是规 X 的待定系数法的解法。x21222解法二是利用曲线与方程的关系，化简得到2x 2 ,2y 2 这样两个“

8、平方差”其中一个平方差(x1x 2 )为例分析12(x1x2 )( x1x2 )这两个因式2xx表示的分别是弦P1P2 的中点横坐标的 2 倍，又因直线 y2x1 中斜率为 2，因而2直线与椭圆交点P1 (x1,y1 ),P2 (x2 , y2 ) 中，x1x2 ，为些用x1x2 去除等式1b 2 ( y 2y2 )a 2 ( x 2x2)y120 的两边时，便得到x1y2 的式子，而这正是直线x21l 的斜率是已知的，为此较容易的得到a,b 的一个方程，此法涉及到直线与圆锥曲线相交弦的中点有关问题时 （若直线斜率未知也可以用此法求点） 使用较简捷。例 4：双曲线的中心在坐标原点O,焦点在 x

9、 轴上，过双曲线右焦点且斜率为155的直线交于双曲线 P，Q 两点，若 OPOQ,PQ4 ，求双曲线方程。2分析：要求双曲线方程由于题设中焦点在x 轴，因而方程为 xa 2右焦点为 F(c,o)，需建立起 a,b 为未知的两个方程，一个2y1 类型，其b 2可利用 OPOQ,的条件，另一个利用 PQ4 通过图形关系完成向方程的转化。22解：设所求的双曲线方程为 xay1 ,右焦点为 F(c,0)22b由题设过 F 点的直线 l 方程为： y15 ( xc) 5P, Q两点坐标满足yb2 x215 (x5a 2 y 2c)a 2b 2c 2a2b2整理消去 y 化为：(5b 23a 2 )x 2

10、6a 2 cx(3a 2 c 25a 2 b 2 )0 ()y21现分析5b 23a 2 的取值若 5b 23a 2 =0，则有 ba3 这显然与已知直线 l 的斜率相等而已知直线l 平行5于双曲线的渐近线，则直线 l 与双曲线只能交于一点与题设矛盾， 5b 23a 202xx6a c(1)因此若（）方程两个根为12x1, x2 则有：xx5b2(3a3a 22 c 25a 2b 2 )(2)则： P( x1 , y1 )Q(x2 , y2 )125b 23a 2y1其中：y215 (xc)15215 (xc)5OPOQy1y21即x1x215 (x15c)15 5( x2c)x1x2即 3c

11、(x1x2 )8x1x23c 20将(1)2 式及c2a 2b 2 代入该式中得(a 23b2 )( 3a 2b 2 )0a23b203a 2b 20将该式代入(1)( 2)式中整理得 :x1x2x1x2a9 a 2124代入 PQ4中得 :PQ(1k 2 )( xx )24 x1x2 有 1(3 )2 (5a) 29 a 2 4解得a 21b 23y 2所求双曲线方程为x 213例 5：求下列抛物线的方程（1） ）顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上点（ 3，a）到焦点的距离是 5；（2） ）顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线 y2x4 所得的弦长为 35 。分析：（ 1）由题设抛物线

12、焦点在 y 轴上，但开口方向并不明确，仍有两种情况：x22 py和x22 py( p0) 其焦点分别为：( 0,p ), (0,2p) ，准线方程分别为2yp , y xp 由抛物线定义得到2| a |p 25 ，再由点（ 3，a）在抛物线上得到p,a 的另一方程，消去 a 求得 P .(2）由于焦点在 x 轴上，但不明确抛物线的开口方向， 故而可设抛物线方程：y2mx(m0) 通过题设条件，求得 m 值，便于确定方程。2 解：（ 1） 设所求抛物线为 x2 py( p0)则准线方程是 y由抛物线定义得p2p x| a |5(1)又 (3, a)点在抛物线上有 92 pa(2)由（ 2）得a9

13、 代入 (1)式中得2 pP 210P90解得 P1或P9所求的抛物线方程为x 22 yx2x 218 yx22 y18 y（ 2）设所求的抛物线方程为 y 2mx( m0)y2 x4y 2mx消去y得4 x 2(16m) x160当(16m) 2256m 232m0即 m0或m32时12设弦 AB的端点为A( x1 , y1 ), B(x2,y2 )则 | AB |(1k 2 )( xx )24 x2x2 由方程得到x1x2x2x216m44又直线斜率 k2有(1164) (4m) 216(35 )2即 16m20m4或m36均在 m取值范围内所求的抛物线方程为 y 24 x或y236x小结

14、： 本题给出求抛物线方程的常用方法，主要是当题设只给出焦点所在的轴， 而不明确开口方向时作为待定系数法的第一步：“假设方程”时的两类不同设。例 6：如图，在面积为 1 的PMN 中, M1 , tgN22求出以 M，N 为交点且过点 P 的椭圆方程。2分析： 从图中和题设知所求椭圆的焦点在x 轴上，而椭圆2方程为 xa 2y1(ab b 20) 形状，建立 a,b 的方程组，求出 a,b由题意可设 M (c,0), N (c,0), ( c0)| MN |2c,又S PMN1, 故而将PMN 的高表示成c的关系式,若P( x,y)一种是P点为直线MP , NP的交点通过求两直线交点方法求出P(

15、 x, y)点的坐标(用c表示)利用PMN 的面积已知求出c, 另一种是将PMN 中边 MN 的高线作出 PHx轴交于H点再设法求出 c值2又 P 为椭圆上的点，由椭圆定义有 | PM |PN2a2解法一：设所求的椭圆方程为xa 2y1(ab0) b 2焦点 M (c,0),N (c,0)(c0)1tgM,2tgPNXtg(PNM )tgN2直线 PM :y直线 PN :y 11 (xc) 22( xc)5xcy( xc)32解出P(5c , 4c )y2(xc)y4 c333S PMN114c4c2又S PMNMN23324c1c 2334c3则P( 5233 , 23 )633M (,10

16、)2N (,0)2M , N为椭圆焦点 ,P点在椭圆上PM即 2aPN2a53 2(3)6222(3 )3533 2()6222(3 )153a152b2a 2c2153344x 2y 2椭圆方程为15314解法二：同解法一得 c3p( 53 , 23 )P 点在椭圆上263(53) 26a 23( 23 ) 231b 225即12a 2a 2343b 21b 2a 2b 244化简得3b48b230b23或b 2a 21541 (舍去)3x2y 2椭圆方程为 15314 解法三：作 PHx轴于H点, 设 NHt(t0)由解法一知 tgPNX2 则PHt tgPNX2t又已知： tgM=1 ,

17、 MH4t2则MN3t在Rt在RtPMN中PMPMN中PN(2t) 2(2t ) 2( 4t )22 5tt 25tS PMN3t 21 MN21t 2PH1 3t 2t 21t33t 2于是PM3PN2a32 5t5t3 5t15MN3t3a152b2a 2c2154MN2cc3 2334x 2y 2所求椭圆方程为 15314 解法四：PNX PPMPNXMPNMMtgPtg(PNMM )tg(PNM )tgMtgPNMtgM1tg(212PNM )3tgM1tgPNMtgM1(2)142又P为锐角cos P45sin P35S PMNPM1 PM2PNPN sin P 1033 PN PN

18、1 10又PMPN2aMN2c由余弦定理得：( 2c) 222PMPN2 PMPN cos P( PMPN )22 PMPN (1cos P)即： 4c210424a2(1)3522ca3又tgM12b2tgN PM32sin M1 5PNMNsin N25PMPNMN由正弦定理有sin Nsin Msin P即sin Msin Nsin P即 2a2c335522aa3即 a5ca 2c2322a15b35因而所求的椭圆方程为4x2y211534小结： 本题比较新颖，题目在开始便给出“如图”这无疑给出了坐标系，否则若去掉“如图”这个词。则在解题开始便应该先建立适当的坐标系，难度显然加大 了，

19、解法也会随之发生变化。在以此显然将M，N 两定点所在直线为 x 轴，线段MN 的垂直平分线为 y 轴建立的坐标系。如果改变坐标系的建立，如以M，N 所在直线为 y 轴，线段 MN 的垂直平分线为 x 轴，那么又如何求 P 点所在的椭圆方程呢？可以自己试试。这里提供四种解法， 解法一， 解法二是单纯的典型的待定系数法通过解方程组求出两直线的交点，椭圆定义；弦长公式三角形面积公式等求出待定系数a,b 的值来。解法规 X，也是常用方法。解法三，是数形结合的使用，充分使用平面几何的处理方法， 由三角形面积公式， 启发作出 PHx 轴于 H 点，多次使用解直角三角形的方法， 得到MN2c 与 PMPN2

20、c 的数值， 由椭圆定义写出方程， 此法比前两种解法简捷。 解法四是三角知识在解析法中的应用， 主要因为题设给出的是内角的三角形数的值， 由此容易联想到解中的正弦定理、 余弦定理。 来出求 PMN 的边MN , PMPN 的点来。以上是用待定系数法求曲线方程的 （标准方程） 简介， 下一讲是用轨迹法求曲方程。【综合练习】：1. 求下列椭圆的标准方程（1） ）与椭圆x24 y 216 有相同的焦点，过点P(5 ,6 )（2） ）一个焦点为（ 0,1）长轴和短轴的长度之比为 t.（3） ）椭圆过点P(4,12 ), 一条准线方程是 3 x250 。52. 求下列双曲线的标准方程（1） ）一个焦点是

21、（ 4， 0），一条渐近线是 2 x3y0 。（2） ） (16 ,12 ) 是渐近线与准线的交点。55（3） ）焦点在 x 轴上的等轴双曲线截直线x2 y0得弦长 25 。3. 求过直线 y22x和圆 x2y10x0 的交点， 关于坐标轴对称的抛物线方程。2224. 过椭圆 xay1( a bb0) 的一个焦点作垂直于 x 轴的直线，交椭圆于 M,N2两点， A,B 是长轴的两个端点，若 MN1 。 AMBarctg8 , 求椭圆方程。35. 已知双曲线的离心率为 2，点 F1F2 为左、右焦点， P 为双曲线上的点，F1 PF2, 又 PF1F 2的面积是 1233 ，求双曲线的标准方程。 【答案及提示】1（ 1） a 220, b 2t 228椭圆方程为1x 2