2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版(含答案)--共9套

1、2018-2020年上海四校自招数学试卷汇编版（含答案）-共9套目录2018交附自招数学答案2018上中自招数学2018上中自招数学答案2019复附自招数学答案2019交附自招数学2020上中、交附、七宝自招上海中学自招试题上海中学自招真题解析2018上海市上海中学自招部分真题1、因式分解：6xJ-1 lr + x + 4 = 【答案】(x-1X3 x-4)(2 x+1)【解析】试根法易得x=l时，上式值为0. 利用长除法可得原式=(x- 1X6 X2- 5 X- 4)= (x- 1X3 x- 4)(2 x+ 1)2、Klo > b>0 t a2 + b2= 4<ib，则 a

2、 + - a垂b【答案】s【解析】令a + Z> = x，a-b=y则x>y> 0 a2+ b2 = 4aba2+ b: - lab = lab/=l(x:-y2)2a-b3、若 x: + x-l = 0 i 则 xW+3= 【答案】4【解析】降次法r=l-x所以原式=x(l-x) + 2(l-x) + 34、Cftl _(5-r)* = (a-6)(e-o) Ila * 0 « 则 & f = 4a【答案】2【解Hf】2(Z>-c)' = (fl-d)(c-o)4(c-bY = 4(a-b)(c-a) (c-«7)+ (7-fe)J

3、 =4(c-a)(a-d)所以 c -fl = a 5 &+r = 2a 即&422 a5、一个袋子里装有两个红球和一个白球(仅颜色不冋)，笫一次从屮取出一 个球.记下颜色后放卜1，摇匀，第二次从屮取出一个球，则两次都是红球的槪 率是 【答案】J9【解析】pj3 396, 、线/: y=-5/3x + >/3与j、>轴交于点J、B 9 关于直线.达对称 得到么ACB，则点C的坐标足 【答案】?4 2【解析】如右W所示易得 ZG4Z) = Z5JO=60° 过C作CD丄X轴于点D 在JCD中JC=1易解得 -1D = 1> CD = L 2 2即 二,

4、7、一张矩形纸片ABCD. -W = 9. .45 = 12.将纸片折僉.使.4、点甫 合，折痕的长是 【答案】！4AD【解析】如右图所示 鉍得 JC=>/92+ 12: = 15所以ac = 2L2 6 °A（ZX?F< ABC所以艺=苎 moF=4L£F=4L.IB BC848、任给一个正整数如果。是偶数，就将它减半（即1），如果。是命 2数，则将它乘以3再加1 （即3。+ 1），不断盥父这样的运算，现在W你研究：如 果对于正稂数。（汽项）按照上述规则实施变换（注：iuf以多次出现）后的第 八项为1，Wlb所有可能取值为 【答案】128/2/16/20/3/

5、21【解析】9、iH六边形ABCDEF的而积足6平方歴米，联结CE、EA、BD、DF、FB,求阴影部分小正六边形的而积 【答案】2【解析】将小六边形的相对顶点联结后易得：小正六边形的面积是大正六边形面积的3即面积为210. tl>1 = 2x: + (4-W»)x + (4-m)与门=则在X取任S实数时.至少有一个 足正数，则m的取值范闹为 【答案】m<4【解析】(1)当0<m 时，0< x y 2= mx > 0 » 且 时，y20 xO 时 yt> 0故 4-m>O.-.Wlix.O4!/扣厶<0解得一4<7

6、1;<4 / 0<m<4(2) 当m<0时，同理解得W<0(3) 当m = 0时，.Vl>0恒成立 综上所述，7M < 411、己知<7、b、C是互不相等的实数.X是任惫实数， (x-by(x-c)'ru imj :十十= (a-b)(a-c) (c-b)a-b) (c-a)(c-b)【答案】1 (<7-d)(d -c)(c-fl) 【解析】原式J"-咐叫(叫(a - b)(b - c)(c - a)12、己知实数a、b 满足 tf2 +（ib + Zr = l， t ab tr > 则r的取值范围是 【答案】-3&

7、#171; -23【解析】由a2+b22ab9 o2+i>2> -2ab阳-ab2ab 解ab-lab3/ = ad （1 一 ab） = lab 一 1所以-3«-13、（1）求边长是1的正五边形的对角线长3（2）求sinl8o【答絮】（1） £1? <2）广12 2【解析】（1）正五边形的一个内角大小为： （5-2）xl80°* 5=108°所以.45E和 J CD Ji與& £角形在 ABE 中 £= 其中 J£ = 1 解得 BE = BE 22（2）在ZUCD中过d作.iF垂直CD于点F

8、易得 ZFJD=18O1所以sml8°=5-1 AD VJ + 1214、(1) /( x)=? + ar+ + c, 0</(-1)=/(-2)=/(-3)<3,求 r 的取值范闸 (2) /(x) = Y4+a? + bx- + o + rf. /(1) = 10, /(2) = 20, /(3) = 30,求/+剌【答案】(1) 6<c9 (2) 8104【請于】(1)令/(-1)=/(-2)=/(-3)=倉，g(x) =/( x)=k. 0<3 则 g(x)=(x+l)(x + 2)(x + 3) 呼f 以 /(llr+6 + A-t&c =

9、6 + k t X0 < < 3 所以6<c9(2) /(l) =10，/(2)= 20 ./(3)= 30令 S ( x) - f( x) 10x=x4 + axi+ bx2 + (c- 10) x + tZ Og(l)=g(2)=(3)=0 令 H*)=0 的第四个根是 m则 S(x)=(x 0( x-2)(x-3)(x-m)所以 g (10)+玄(-6)= 9x8x 7x(10-«r) + (一 7)x (-8)x (-9)(-6 -m) = 8064 即 /(IO) +/(-6)=g(10)+ g(-6)+40 = 810415、我们学过良线与Ml的位贾关系

10、，报据W料完成问题(1(2) 背岽知识：平而a : .ti + By + Cz +d =0 : 球：(*-+(>»-Z»)2+| z-<r)2=/?:;点(a，b，c)到平Iftja的距离公式：d=VT+Tc7球心到平而的距离为</，当时.球与平而相交.当时，球与 平面相I刀，当/>/?时.球与平面相离：问题(1):若实数m、n、k满足m + n + k = l,求 AM 的最小值： 问题(2)：解方程l=i【解析】（1）没点（W，.fr）则该点在平而Y + y+Z=l上Iflj所求即为该点刊原点距离的平方原点列1'lflf V+.|+Z=l

11、的距离为:所以+=；|= _-V ” 3(2)配方法x + y+z -2>/x + 2fy-l += 0Jx -1)- + («7>._1_1) +("z-2-”2 = O 1=1fx=l则= i 解得2 Tz2=1I交大附中自主招生试卷201803第一部分1.己知丄+x=-3，求x3 +人+1000. XX)X+1X+= XX+1=二有-求所有_之和.3. AB/7CD* AB=15> CD = 10，AD = 3，CB = 4,求4. y=x-4x+6, ?Ta <x<b时，其屮x的R小ff为a，W人ffi为b,求a+b.5. y=2(x-

12、2)2 + m. ?7抛物线与x轴交点与顶点组成正三用形，求m的伉.6 DE为SC的切线.il:方形ABCD边K;为200, BC以BC为P柃的半阀，求DE的K.7.迮 n 角坐标系屮，iEAABC, B(2.0) , C(.O)过点O 作 H 线 DMN, OM=MN.求M的横坐标.8四圆HIWOB 4OC f-径相同，OA过OD圆心.OA的乍径为9,求GB的节径.9横纵世标均为裕数的点为怡点，（i<m<a），y = nK+a （l<x<100，不经过 点，求a可取到的最大ffi.10 G力虫心，DE过®心，S=l.求5的记侦，并证明结论.第二部分（科学素养

13、）1. 己知角三角形三边长为栌数，打一篆边长为85,求W叫边长出10组）.2. 阅读材料，报据凸函数的定义和性质解三道小题.共屮第（3）小题为不等式证明 fbx, + （1 + b） < bf （x,） +1 bf （x）（1）b = i： （2） b = -.（注：选（1做对得10分，选（2）做对得20分） 433. 请用最优美的讲言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4附加题（25分）(2 points) solve the following system of equations forw 2j(4 points)Compute oc JnyJn+2 >/n + l+Vn +

14、 2(6 points) Solve the equationanswer as a reduced fraction with the numerator wntten in their prime factonzationThe gauss fiinction x denotes the greatest less than or equal to xA> (3 points) Compute2018!+2015!2017!+2016!B ) < 4points) Let real numbers Xp， be the solutions of the equation X2

15、- 3X 4 = 0， find the value of xf + X； + +<C)< 6 points)Find all ordered tnples (a,b.c) of positive real that satisfy： abc = 3 abc = 4， and abc = 52018.03交大附中自主招生试卷【解W】 982, x3 +钌増根，求所打吋能的f之和.3. AB / CD , AS = 15, CD = IO. AD = 3, C及=4,求 5*.第一郁分1. 己知丄 + 文=-3,求r' + Jy + lOOO.r = -18,故x3+1 +

16、1000 = 982xx + 1 x(x + l)【解析】3,代入x = 0,= 代入x = -l, / = 2:故所fl可能的/之和力3【解扒】m = -|. y = 2(x-2):的棟点为(2，m) CD =|ni ( m <0),6. DE liC 的 W线，止方形 ABCD 边K为 200. &以 BC 的 tM,求/)£ 的K.4. y = xJ-4x + 6,其屮* 的沄小俏为g 大 tff 为/>,求 <i+Z>.【解折】5. a、/> 力 y，一5x + /> = 0 的則 a+/> = 55. y = 2(x-2)2

17、+/n.若抛物线与x轴交点与顶卢组成止三角形求m的值.【解析】250设DE于点G. CD=DG . EG = BEX设5£ = x. W|200J + (200-x)2 = (200+x)2 =>x = 50 EXitt 0 = 200 + 50 = 250WL c7.在ft角坐标系中，正M5C，5(2.0) . C(.0)i±点0 作ft线ZXWiV，OM = MN , 求、W的横坐标.a【解析】8A作MH / AC. MG 1BH/K.切O月勺（DC半径相HJ. 0 j过0DIMI心，04的半径为9,求C尺的半径.【解机】KAD£屮有DB: = DE2

18、+ BE2， HU (l8-x)2=/+x2 MBE= AE2 + BE2.U|J(9 + x)? = Cv+9)2+x? 则a = 8.则心=89. ffi纵华杯均为®数的点为»点./ = m + u （llOO） , +经过S 点.求a叫取刊的ft人（H.【測】-，过重心.= h求的R值，并证明结论. _1._4i =7*=己知S、4M = 1，15AD = mAB , AW = tiAC ,IO. G为重心，【湖S.做由FG为AAffC的逭心易知一 + = 3 m n= AD AEsinA = niAB nAC sin A = mu 当i+i4时.X故1-则晰大值；而

19、无论D' £如动，_勹-m，闪此，Sir>rmn = 2 *第_部分：科学素界）1. 12知rtffl三坧形三边松为»数，有一条边拉为85,求另两边K （写出10组）.3. 讲用W优关的iff言折关仰呷班（肋卞左右）（17分）4. 附加题（25分! 2 points) solve the following system of equations for m，.2k+x+v + z = 1 k+2x + j + z = 2 »v+x + 2j + z = 2»v + x + y + 2z = l【解析】w = -j(4 pointsComp

20、ute / + >,4S( Jn + 2 V/i + l + V/i + 2【畎析 1 WH-2V2 + I9(6 points) Solve the equation16x + 小"卞如:'' x + 3 -a/x = 1 .Express youranswer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.I 2017!+2016!The gauss function ,v denotes the givuicsl less tliaii or eq

21、ual (o x A)(3pointS)Compuler20,8!+2°，5!'1B) (4points) Lei real numbers xpx2,-,x4 be the solutions of the equation x3 3|x)-4 = 0 find the value of+ + <C )< 6 points )Find all ordered triples (a，h，c) of positive real that satisfy： ahc = 3，ahc = 4 and abc = 5【解析】A） 2017： B） 15： C）201S031

22、 繁：6xrlli+J + 4 =2, Bl a >6> 0 , += 4z?6 s。+ 7 =alb3. s'+71 = 0,涅 J- + 2X/3"4nJMll(6 c)】=G7li)(c-a)- _a*0, D5. 二><函&4<s> - filF 建CLGssh s. -莒荖兑苕冷 fT 实B»*6 iiJS/:J = -$x+AA<lIrx- Ji«4-.> B. sk2 -7 lst.8 - .& = 9 .45 = 12.兹淥其s f：部1十=-.雉雄？ ls. (Kl-n>

23、; .巨艺二卜玲薄，涅荼r:-卷 苦一 SP3H + 1) -HSM 賦 R冻 3KW- sssQ-»sjE 規 »n <M*)窈薄± 疾堪 W_1 系 ff 冷漭(it: 1 WU3 次 cf 莽 sviir9 1EA&法Bcb£FITssl6Tzf-£:;K.荣砵 JC,cnl, EA、CXJD，DF , Fa、ss10.njff>一 2XW + (4 m)x+(41 m)Jry= Bmxsffi鲰將球乎h11, b.s. (7毛 + (7是 + (v 久"(a 16)(r71 r) 91 s(a b (r I

24、 bi2nJ杏*»?»%+ao-+t = r tm 广 R_Jr3s1a 我£*13. (1>求边长为1的正五边形对角线长:(2)求sinl8°14 (1) f(x) = xax2 + bx + c 9 0</(-l) = /(-2) = /(-3)S3 ,求e的取tfiffiLH：(2) /(x) = x4 + a?+6x2+cx + <y . /(I) = 10, /(2) = 20, /(3) = 30，求/(10) + /(-6).15.我们学过直线与囲的位S关系,根据材料完成问题(1> (2) 类似拾出背S知iH:平面a

25、: JA+Bv + Cz + a = 0 :球：(x-fl):+(v-6): + (z-c):=/?2：点(a，b，c)到平而a : Ax + By+ Cz + d = 0的距离公式:Aa + Bb + Cc + D球心到甲面的许.离为a, 'd<R时，球1j平面扣交，ld = R时，球U平面扣切，ld>R 时.球与平而相离：问狴(1) : S实数th、介满足，” + n + k = l,求m2+n2+k2的小值:问题(2):解方程7+/7+j(:r + y + z).参考答案L (x-l)(3x-4)(2x + l) 2. V3 3 44 2V3TB. 128、1、16.

26、 20' S. 214<114. (1) 6<cS9; (2)8104上海中学自主招生试题1、因式分解：6xJ -1 lx2 + x+4 = 【答案】(x-l)(3x-4)(2x+l).【解析】容易发现x=l是方程6x3-llx: + x+4 = 0的解，因此原式可以捉出因式(x-1), 得到(x-1X6x2-5x-4), Xt(6x2-5x-4)用十字相乘可以得到原式等于 (x-lX3x-4X2x+l).2k ® a >b >0 , a: +b: =4ab r 则 a + b = . a-b【答案】VJ.【解析】由条件可w(a + b): = 6ab

27、, (a-b): = 2ab. W此=由于a+b>0, (a-b* 2aba -b>0 .所以 3= 4 3' 若 x:+x-l = 0,则x3 + 2?r +3= . 【答案】4.【解析】对多项式川带余除法nrftfx, + 2x2 + 3 = (x: + x-l)(x + l) + 4,曲山条件 (x: + x-l)(x+l) = 0.因此原式的值铕于4.4、己知(b-c)2 = 4(a -b)(c-a), Ila *0» 则= a【答案】2.【解析】令a -b = m. c-a = n» 则c-b = m+n» 代 A(b-c)'

28、 =4(a-b)(c-a)中得(m+n)- = 4um. .(m-n)2 =0. /.m= n ,即 a_b = c- a，即 2a=b + c，/.= 2 .a5、一个袋子里装有W个红球和一个白球(汉颜色不同.第一次从中取出一个球.记下颜色 后放回，摇匀，第二次从屮取出一个球，则两次邢是红球的概率是 .【答案】I'【解析】第一次取出红球的槪率为j, fl无论第一次収出什么球.奶二次取出红球的槪 ?7 7 4率仍为二，因此两次部足红球的槪率足二xS = l.33 3 96、直线ky =-力x+W与x、y轴交于点A、B，AAOB关于直线AB对称得到AACB， 则点C的坐标足 .答案】.2

29、 2【解析】根据函败解析式可以算出A、B的坐鉍分别为A（1，O）, B（O、V?r由J'ACBEaA0B关于£找站对称衍到的.所以AC=AO. BC = BO.没C（m.n，则叫列方组(m - l): + n2 = 1 m2 +(n-V3)2 =3解得，m=22另一解与04合,舍去.因此C（曇冷）7、一张矩形纸片ABCD，AD = 9, AB = 12将纸片折S，使A、C两点重合，折痕长足 番【答案】4【解析汕题息知折痕足线段AC的中垂线.没它与AB,CD分別交于M,N.SMB = x, 则由MC = MA珂列方程x: +9'=（12-x）2，解得义=.|“j珅有DN

30、 = .作ME丄CD , 8 8垂足为E，则四边形MECB足矩形，闪此ME=BC = 9, CE = BM =.可知8 NE = CD-DN-CE = y .而 MN = 7mE2+NE2 = 92+（）:= .因此折痕长为f .8、任给一个正S数n,如果nSffl数.就将它减半一得到如果nS奇数，则将它乘 以3加1得到3n + l.不断亟fi这样的运算，如果对正幣数n （视为苜项）按照上述 规则实施变換后（有些朽可能？次出现）的第8项为1,則n的所有可能取值为 . 【答案128, 21, 20, 3, 16. 2.【解析】设某一项为k,则它的前一项应该为2k戎 其中1必为奇数.即k = 4（

31、mod6）,按照上述方法从1幵始反向操作7次即埘.9、lE六边形ABCDED的|fn积足6平方埘米，联结AC . CE、EA，RD，DF、FB .求阴影部分小正六边形的面积为 . 【？?案】2cm:.【解析】右阁中，阴彭部分足正六边形，且与正六边形 ABCDEF的相似比为I.礼 因此而积比为1:3.因为 ABCDEF的面积是6cm:，所以阴彭部分的曲积为6-3 = 2(cm:) 10、己知yi =2x2 +(4-m)x+(4-m)与y2 = nw在x取任实数吋 y2至少有一个足正数，m的取值范. 【答案1 m<4.【解妇r】収X = 0，则yj = 4 - m，y2 = 0 »

32、 . 4-m> 0，m<4 >此时函数为的对称轴x = - <0,4则对任怠0总有yi>0，只S考虑x<0;若0幺m< 4，此时y, < 0, 则对任怠x<0，yt > 0 ».A = (4-m)2-8(4-m)<0,解衍0Sm<4:?7 m< 0，此时 y2 > 0 对 x< 0 fti成立；综上，m<4.11、己知a, b, c坫互不相等的丈数，x坫任怠丈数，化ffl:(x a)2 十 |xb)2 十(XC)2 (a -b)(a -c) (c -b)(a -b) (c- a)(c-b|

33、【r?案】i.【解析】令f(x) =(X-a>2, (x-吖，(x-cf(a -b)(a -c)(c-b>(a -b) (c-a)(c-b)=nix'+ nx+k 1.f(a)= f(b)= f(c) = h 即ma: + na + k = 1mb2 + nb + k = 1, .。，即 f(x)憑 1me* + nc +12、己知实数a, b满足a2 + ab + b2=b t = ab-a2-b则t的取仉范闹足 【答案】-3<t<-i.3【解析】方法一：考虑荜木不等式a2+b2|ab|.则 a: +b2 = l-ab>2|ab|,又./t = ab-a

34、: -b: =2ab-l，S 3!1屮3 = 1，b = 1 时，t = 3成立：a =b=4时，t=-上成立.33方法二:逆用书达定理.ab = , (a + b)： = 0.2 1 7 2 At>-3, a+b = ±/p故a,b是方程x2 ±= 0的两个根.13、（1）求边长为1的lE五边形对角线长;（2）求sinl8°.【答案】（1）今1.【解析】（1）没正五边形ABCDE，联结AC,BE. fl没它们交于点Nf .可以计算得到ZABN1 = ZABC = 36° ,因此可待 AB: = AM . AC .同时. ZBMC = ZCBXI

35、= 72° ,所以BC = .若正五边形边长为1,则AB = BC=CM=1» 没AC = x,则由AB2 = ANf-AC可列方程lxU-l）,解得（另一负银舍 去）.山对称性，该五边形ft对角线长均为（2）根据诱导公式，sml8° = cos72°.在（1）的五边形屮， BM = AN! = AC -CM =-.作CH丄BX1,垂足为H,则等膾三角形BMC屮BH = HM=1bM = 221.因为 ZCBM = 72° .所以 sinl8° = cos72°= =.24BC 414、(1) f(x)=xJ + ax2+b

36、x+c. 0< f(-l)= f(-2)= f(-3)<3.求 c 的取值范围:(2) f(x) = x4+axJ+bx:+cx+d. f = 10, f = 20, f = 30,求 f (D )+). 【笞案】(1) 6<c<9 : (2) 8104.【解析】(1) .0< f(-l)= f(-2)= f(-3)<3.f(x)-k = 0有三个实根x = -K-3，/. f(x)-k = (x+l)(x+ 2)(x+3)i 展开得c = k + 6 .6<c9 ；(2)方ffif(x)-10x = 0jH个实根x = l，2.3，记第 4 个银为

37、x=P，则 f(x)-10x«(x-p)(x-l)(x-2)(x-3), f(x) = (x- p)(x-l)(x-2)(x-3) + 10x,f(10)+ f(-6)= (10-p)x9x8x7 + 100 + (-6- p)x(-7)x(-8)x(-9)-60= 8104 15、我们学过直线与圆的位置关系，根裾材料完成问题(1)(2) 类f以给出竹景知识：平曲 cr : Ax+By+Cz+D = 0;Aa + Bb + Cc + D| VS + B'+C球：(x- a)2 +(y-b)2 +(z-c)* = R;；点(a，b、c)到平曲a Ax+ By + Cz+D =

38、0的距离公式:球心到平面的距离为d，当d<R吋，球与平面相交，当d = R时，球与平面相切,当d>R 时，球与平面相离:问题<1)：若实数m、n、k满足m+n+k = l.求m2+n2+k2的小值；问题(2): I?/j'frVx + Vy-T+Vz-2" = -(x+ y+z).【答案】(1) 1; <2)y=2.3z = 3【解析】(1)条件可转化为点(mak)在平面x+y+z-l =。上,rfinr+n2+k2的诳小值 W该点到除点距离卞:方的般小ffl.这个距織小为晚点到Tlftix+y+z-l = 0的距3$，ifu似点到平曲的距离山M料公式

39、汁算W到：d = ll2<0lx0lx0-1l = t因此 Vl2 + l2+l23m +n2 +lr的最小值为d:=-，等号在m=n=k=i时取到.33（2）移项配>i»>frj,fij 1（7x-1）2 + i（7y-i-1）2+1（7z-2 -i）2 = o. w此必0Vx-l = o /FT_i=o,于珐解拊>fz2-l = Q上海中学自招试题1% 因式分解：6xJ-llx2 + x+4 = 2、® a >b > 0 > a2+b2 = 4ab， 3% if x2 + x-l = Oi 则x; + 2x:+3 = 4、己知(

40、b-c)2=4(a-b)(c-a)，且a*0,则= 5、一个袋7里装有两个红球和一个白球（仅领色不同X第一次从中取出一个球.记下颜色后放1-】，摇匀，第二次从屮取出一个球，则两次那S红球的概苹足 .6、rttKl：y = -V3x+V3 与 x、y 轴交于点 A、B. AAOB 关于 FI 线 AB 对称 W 到 AACB， 则点C的坐标是 .7、张绝形纸片ABCD, AD = 9, AB = 12,将纸片折叠，使A、C两点|（介，折枪Mi S、仃给一个正S数!1，如泶n足偶数，就将它减半一一得到如果u足奇数，则将它乘 以3加1W到允+ 1,不断承4Z这样的运算，如果对正稱数n （视为这项）按

41、照上述 规则实施变換G（订叫B可能？次出现）的第s项为1，则11的所苻吋能取值为 . 阴影部分小正六边形的面积为 9、六边形ABCDED的lf!j枳足6平方W米.联结AC、CE、EA、BD、DF、FB，求10、己知= 2x: +（4-m）x+（4-m）与y2 =n«在x取任意实数时，yP y:至少好一个是正数，m的取倂范围 11、己知a, b, cS互不扣呀的实数，xS任总实数，化简:(x-a)2(a-b)(a-c)I (x_b)2,(x-c): (c-b)(a -b) (c- a)(c-b|12、己知实数a，b满足a:+ ab + b2 =1，t = ab-a: -b: 则t的取值

42、范|詞珐 13、（1）求边长为1的正五边形对角线长;（2）求sml8°.14、(1) f(x)=x,+ax2+bx + c. 0< f(-l)= f(-2)= f(-3)<3,求 c 的取伯范|礼(2) f(x) = x4 + ax3+bx:+cx+d, f(l)=10, f(2) = 20, f(3) = 3O，求 f (D )+f 卜).15、我们学过H线与阀的位K关系，根拖M料完成问题(1)(2) 芡似给出背景知识：平面 : Ax+By+Cz+D = 0; 球：|x-a)2+(y-b)2+(z-c): = R:;点(a,b,c)到平面 a: Ax+ By+Cz+ D

43、 = 0 的妒离公式：d = lA + + Cc + Dl .Va2 + b:+c2球心到平面的拒离为d,当d<R时，球与平面ffl交，d = R时，球与平面相切，3d>R 时，球与平面相离：问题(1): ?!实数m，n、k满足m+n + k = l，求m:+n:+k2的51小们： M题(2):解方程4 + y/y-l + y/z-2 = (x+ y+z).2019年交大附中自招数学试卷一、填空題1、求值：cos30°-sin45°-tan60= = 2. 反比例函数y =-与二次函数y = -x2 + 4x-3的图像的交点个数为 .x3，巳知x2-x-l =

44、0，则a3-2x2+3 =. 4. ft 方程(.v + l)(x + ll) + ( + ll)(x + 21)+(.v + l)(x + 21) = 0 的两根为七.V,.则( + 1)(2 + 1)= 5. 直线v = x+k (A-<0)上依次有A、B，C、D四点，它们分别是直线与x轴.双曲线y = -. v轴x 的交点，若AB = BC = CD,则分= .6. 交大附中文化体行设施齐全.学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发 展.某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多 五分之一.樟球小组男女生人数相等；一ft

45、时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生 从掸球小组转到蓝球小沮.这样篮球小沮的男女生人数相等，棑球小组女生人数比男生人教少四分之 一，问英才班有 人.1'已知a，b，c,”是互不栢等的正整敷旦丄+丄也是整敗，则n的最大值是. a b c n8. 如图，是边长为丨的正五边形.则它的内切圆与外捿圆所围圆环的面积为 .9, 若关于x的方程(x-4)(x2-6.v + 7») = 0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m= .10. 设ABC的三边a.bx均为正整数.且（7 + b + c = 40，当*积a加最大时，的面积 为 11. 如困，在直角坐标系中.将A

46、O践呢点旋转到OCD.其中-4（-34）, B（4,3），点D在x轴 正半轴上，则点C的坐标为 .少赢H OD二.解答題12. 如图，数抽上从左到右依次有A，B、C，D四个点，它们对g的实数分别为a.b'c，d，如果存在实數/i.St足：对线段bCl）上的任意A1曹，其对应的数为X.实敷4对应的点AT仍然在线»AB或CD X二.则称（a,6，c.rf,又）为“完美数组例（12,3.6.6）就是一沮“完美教组”.己知| = 1, |灰7 = 5|, |CD| = 4,求此时所有的“完美数组”，写出你的结论和推算过程。.4 B参考答案u手2、33、24. 2005、9326. 3

47、61、428. 9. 10、14->/304912, (23,8.12,24), (-4,-3,2,6,12), (-4,-3,2,6,12)2019年复旦附中自招数学试卷（一）1. 两个非零实数a、b满= u-b，求+ - c/A的俏.b a2. iJ.知|2m-l 丨丨=丨/w 3| + |/n-8|，求"？的取偾沿ffl.3. 若关子x的不等式0S（w + 2019幺M18的幣数解为丨、2、3、2018,求a的范I均.4.己知么ABC、'«?'边松均4 2,点D5.已知x、.1，为实数，求5x2+4v2 -8.n +2.V + 4的最小tt.6.

48、 tEABCZ5 = 2ZC , .4D为乙4的角平分线，AB BD求 tan ZC 的 tfi.（二）I. 等腰梯形 JflCD 屮.AB = CD = 3. AD = 6, BC = 6. CELAB.（1求C£的K; （2）求aBC£|切豳的卑径.4D /；li2. 定义v = 时，y =.v0 则称(va.v0)4j点（I fr r= X+,fl 3个+动点6.6）、（-6,-6） 求 八 /的依： .V + P（2若v =省关于Ki点对称的不动点，求fl、A满足的条ft.A+&3. 己知5（”）力，的各位数卞之和，5（2019） = 2 + 0 + 1 +

49、 9 = 12.（1）*pi 1950 / 2019 吋，找出所柯满足S5（w» = 4 的/':（2）与为正格尥吋，找;I!所介满hL/ + S（；O + SS（/i） = 2019的".（三）1. 平行四边形两条邻边为7和8,两条对角线为n,求w2+/r的侦.2. 己知正 fi 数 Y. y；ft2rv+r+v = 127.求 r+y 的值.3. 斐波那契数列为久=1丄2.3,5义,记数列久为人中毎一项除以4的余数,问汝J屮 第2019次出现I时的序数（即第几个数）参考答案(iha1 2 3 + h' (a-hY lah =2aha b a h2. 结合

50、绝对值惫义成挥图®，a<-X20189()193. #0<-1<1 . 2018<-<20194.4. AD + CD = AD + A'D >= 4,即 W小饥力 45. 配方 4(x-y)- I) a = 36 f A = 5 ： (2) a 0 IIn 25 » b - 5+(x + l)2+3>3> 即小泊为 36.求出 BDAti I+V2. tl止弦定埋.M一'BD sin Z. BAD倍粕公式、化切，可求得tan| = V2-l.由二倍佗公式可求tanC = l上中自招1、打足够多的红球和脐球.取

51、其中10个球排成一列，要求:毎个红球至少与一个红球相邻,至少科多少种It法?解析：红红蓝L蓝X 蓝b红红+a0 + l(w4)”-，()+ «-3 (w 5) aQ = La1 = l，fl2 = 2， =4，a4 = 7,n5 = 12 參o6 = 21，a7 = 37，as = 65.9 = 114，a10 = 2002、繁板上有2020个数，分别足1，W"-，一?一，每次操作，选两个数a和d.计算得到ad + a + d,再把a和办 2 32020擦掉.把计算的数写上，这样操作2019次最后得到的数足多少？W析：记这2020个数为aPa2，a2Q2Q.则易知.操作前后

52、n(«, + l)/£不变黾则最后一个fi2x-xlx - x-1_i = 20202 320203. isttuw心出一个叉r®数的等代2,个5.给定一个边的If:力形.灯边的W形.没计把这叫|H方形今放到人lE方形内.iwifim体ft 法,并用语a典体描述解析：W礼 边长为1的放入人II:/形的A:卜肩，边的紧貼在边1的心边，边长为；，7的雌叩巾标记形区域内:边长为一，一的放在阁屮标记“一”的矩形区域内：8158边长为的放在阁中标记“1”的矩形区域内: 631166、定义：»金梯形足指一条对角线能将门己分为网个等雅三相形的等腰悌形.则與金悌形的上下

53、底（上底小尸卜_底）比为多少？解析：等肢梯形内接 H 山托勒密定理得：a2ab = b2七宝自招1，芟形 OABC 屮，OB、ACM 交y = -fct 点 3八 C. 2x04,求 g形 OABC 的面积 M 人 tfi解析：i*线的dV斜率为丛，由菱形对角线互相牟H可得：.4C的斜率为一xo）0所以.'。'、o .2y0 = x0.y0< = 2y02=> y0 = -x01、二次函数y = av2 + hA+c,其图 M(£x轴及其上方，&t = a + 2b+i2c ,则/的il值为？少? a3 W析：由己知a0 fe2-4fle<0

54、=>(j -<02b 12c、， 2b(b if 2、2= l+ 之 1 + +3 =3 + - + a aaa) a 3) 3 3当且仅= 时，等y成立，令无穷满足糸件，此时妇于无穷，故'无W大Wa 3 a 36综上：r_= j，无最大值3. 对于各数互不相同的数列apa2，a3，<n<k.an<am,则(a，aw )称为一个逆序，数列中逆序的 总数称为该数列的逆序数，如3,2，1中2 <3,则称p，2)为一个逆r?.HFE(3,l),(2,也为逆序，逆序数为2 + 1 = 3. fliYj-fr数互不的数列,(7100 .逆序数AAr.则该数列赪

55、例后得到的a似，.斗逆印数力多少？ 解析：V/#和(jj)中恰宵-个逆序所以 apa2，ap，a100 与 al00，a，巧.共ft C；w = 4950 个逆序所以a，的逆序数为4950-k4、己知实数/，使fg/=1./2 = 2,r3=3,-.r"J = » 8IW求正整数/»的ft人位解析：依题怠得：1/<2.2/2<3=>>/2 </<.3</3 <4=>一般仏对/ = 1.2,3.，成立，题U®求找到W人的也 H大个S的时候，前伽的不等式组会产屯矛，换句话说.brpi存ft两个数"“k，HfjKk.满足此时"-I 就足最大的如果w = 2,考lSV2</m=>2(A- + l)这个不等式左边足ffi数羽，右边足二次切，所以在允大F 某个数时，必定成立口f以估一下Ar = 6即口r.所以此时w=5.表哦石t<忑、.再与卜去后公产在?/w = 3.貶使相/5之/1=>30 + 1>5.这个不等式在k = 5 时S成、>:的，即沢作，所以n = 4.验证一下即4所以铖大fft足W = 4交附自招1. ttmjnjn.in. k中心乂