“分类讨论”在等腰三角形中的应用

1、解等腰三角形时需注意山东石少玉等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解下面就常见题型举例说明如下一、角不确定时需分类讨论例1若等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角分别是析解：若40°的角为顶角，则每一个底角是；若40°的角为底角，则另一个底角也是40°，其顶角为100°故答案为70°，70°；或40°，100°请思考：若等腰三角

2、形的一个角为100°，求其它两个角时，还会有两解吗？为什么？（一解，40°，40°）二、边不确定时需分类讨论例2等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是（）A26cmB22cmC16cmD22cm或26cm析解：当10cm的边为腰，6cm的边为底时，其周长为10106=26cm；当10cm的边为底，6cm的边为腰时，其周长为1066=22cm因此，该等腰三角形的周长是22cm或26cm应选D请思考：若等腰三角形的两边长分别为9cm和4cm，求其周长时，还会有两解吗？为什么？（一解，22cm）例3已知等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，则其

3、它两边长分别是析解：若长为8cm的边是腰，则另一腰也是8cm，底边为4cm；若长为8cm的边是底边，则每一条腰长=（208）=6cm故答案为8cm，4cm；或6cm，6cm请思考：若等腰三角形周长为20cm，一边长为4cm，求其它两边长时，还会有两解吗？为什么？（一解，8cm，8cm）三、高不确定时需分类讨论例4等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A60°B120°C60°或150°D60°或120°析解：本题应分以下两种情况求解：当腰上的高在三角形内部时，如图1，由AB=AC，BDAC，ABD=3

4、0°，从而A=60°；当腰上的高在三角形外部时，如图2，由AB=AC，BDAC，ABD=30°，从而可得BAD=60°故BAC=120°应选D请思考：若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为多少？（75°或15°）四、其它例5等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长析解：如图3，腰AC上的中线BD把ABC的周长分成为12cm和15cm 的两部分如果设AB=xcm，则AD=DC=xcm以下分两种情况讨论：若ABAD=12cm，则x+x=12，x=8，AB=AC=8cm，

5、DC=4cm，BC=154=11cm，此时ABAC BC，符合题意；若ABAD=15cm，则x+x=15，x=10，AB=AC=10cm，DC=5cm，BC=125=7cm，此时ABACBC，符合题意所以三角形三边长分别为8cm，8cm，11cm；或10cm，10cm，7cm请思考：等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm的两部分，求这个三角形的三边长时，会有两解吗？为什么？（一解，14cm，14cm，5cm）从以上的例子可以看出：有关等腰三角形的题目，很多条件下都会有两解，但要注意，解出的两解必须都满足“三角形的内角和等于180°”和“三角形两边的和大于第三边”

6、 这两个条件，否则只有一解同学们可对以上的思考题具体求解一下，看看解的情况如何！“分类讨论”在等腰三角形中的应用河北 欧阳庆红 李华青 当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”“分而治之，各个击破”下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，当顶角是锐角时，如图1， ABD=30°，ADB=90°，A=60

7、6;当顶角是钝角时，如图2， ABD=30°，ADB=90°，BAD=60°， BAC=120°所以顶角度数为60°或120°，所以选DABCD图1AB图2CD例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( )A、7 B、3 C、5或3 D、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; 若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5故选C说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰例3 已知点A和点B，以点A和点B为其

8、中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )图3ABA、2个 B、4个 C、6个 D、8个分析:如图3，以线段AB为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形例4 如图4，在等边ABC所在的平面内求一点P，使PAB、PBC、PAC都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置分析：如图4，ABC三条边的垂直平分线的交点满足条件，分别以点A、点B为圆心，AB为半径画圆弧，交AC的垂直平分线于、两点，则也是等腰三角形，同样可以在AB、BC

9、的垂直平分线上再找到4个点P，使PAB、PBC、PAC是等腰三角形所以共有7A图4BCP1P2P3个点画出的图形如图4说明：此题乍一看只能确定在ABC内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边 分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！分类讨论学好等腰三角形湖北 田道元在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（ ） A. 12 B 17 C 19

10、 D 17或19 分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论 解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为 5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时， 此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为 7+7+5=19综上知选D例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x2，4x3，62x，求等腰三角形的周长分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析解：（1）当3x24x3时，即x1，则三边为1，1，4，由于114，所以不成立； （2）当3x262x时， 即，则三边长为，由

11、于，所以成立；（3）当4x362x时，即x1.5， 则三边为2.5，3，3，由于2.533，所以成立由上可知等腰三角形周长为9或8.5. 说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差解：不妨设腰长为x cm，底边长为ycm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有 ，解得 ； （2）当腰长小于底边

12、时，有 ，解得 ； 因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为cm或6cm说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是，即为40°

13、说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高，求BAC的度数分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，ABC为等腰直角三角形BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在ABC内部时，B=30°，所以BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在ABC的外部时，DBA=30°；所以BAC=15°综上所述BAC的度数可以为15°、75°、90°说明：由

14、于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是Cm2、在平面直角坐标系中，已知点为A（2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说： “其余两角是30°和120°”；王华

15、同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)等腰三角形中的两解问题湖北 刘黎明有的几何问题，由于没有给出确定的图形或是已知条件不具体或是没有指出明确的对应关系，因此导致结果的多样性下面举例讲解等腰三角形中的两解问题，望同学们解题时分类讨论，思维严谨，不要漏解和多解一、角度有两解例1 等腰三角形中，一个角是另一个角的两倍，求它各角的度数分析：条件“一角是另一个角的两倍”不具体，应分两种情况具体分析解：（1）当底角是顶角的两倍时，若设顶角为，

16、则两底角均为，于是由三角形的内角和定理得：，解得，即三内角为36°、72°、72°；（2）当顶角是底角的两倍时，同理可求得三内角为90°、45°、45°例2 等腰三角形的一个外角等于110°，则顶角的度数为分析：110°是顶角的外角还是底角的外角，没有明确说明，因此分两种情形解：若顶角的外角是110°，则顶角为70°；若底角的外角是110°，则底角为70°，顶角为故顶角为70°或40°二、边长有两解例3 等腰三角形的周长为28，其中一边长为12，则腰长为（

17、 ） A8 B12C14D8或12分析：哪一边长为12，题目没有明确指出，应分两种情况进行分析解：若12为腰长，则底边长可能为2812×24，且12、12、4可构成三角形，故此时腰长为12；若12为底边长，则腰长可能为（2812）÷28，且8、8、12也可构成三角形，故此时腰长为8综上可知，应选D注：在求解三角形的边长问题时，除了分类讨论外，还要检验所求得的三条线段的长能否构成三角形因此有时所谓的两解其实只有一解，因为另一解不能构成三角形例4 等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成18和21两部分，求三边的长分析：周长被中线分成两部分，一部分是腰长与腰长一半的和，另一部分是底边与腰长一半的和，这两部分究竟怎样与18、21