二次型及其标准形的概念

1、称称为为复复二二次次型型；是是复复数数时时当当faij, faij.,称称为为实实二二次次型型是是实实数数时时当当定义定义8 8 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 称为二次型称为二次型. .的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有nxxxn, 21例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都为都为二次型；二次型； 23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形. . 323121321,xxxxxxxxxf 称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）.

2、 .若若 只在只在1 1，1 1，0 0三个数中取值，即三个数中取值，即只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf nkkk,21,.221221rppyyyyf 则称上式为二次型的规范形则称上式为二次型的规范形.1 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1, 13113211222222211121222 , 对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 222

3、11nnnnnnnxaxxaxxa 2 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(., 为为对对称称矩矩阵阵其其中中则则二二次次型型可可记记作作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记记 nnnnnnnnxxxaaaa

4、aaaaaxxx2121222211121121),(在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系; 的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA; 的的二二次次型型叫叫做做对对称称矩矩阵阵Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113

5、 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩阵阵写写出出二二次次型型xxxxxxxf 例例 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cCij 记记记作记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可Cyx AxxfT 有有将将其其代代入入, AxxfT . yACCyTT CyACyT 定义定义9 9 设设A和和B是是n阶矩阵阶矩阵，若有可逆矩

6、阵若有可逆矩阵C, ,使使B=CTAC,则称矩阵则称矩阵A与与B合同合同.证明证明于于是是即即有有为为对对称称矩矩阵阵,TAAA TTTACCB CACTT ,BACCT ,ACCBT ,ARACRBR , 11 BCCAT又又 .1BRBCRAR .BRAR 即即 为对称矩阵为对称矩阵.B .,ARBRBAACCBC T 且且也也为为对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵为为对对称称如如果果令令任任给给可可逆逆矩矩阵阵由第三章的定理由第三章的定理8知知命题命题说明说明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型, 2 Cyx

7、f. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换有有型型把把此此结结论论应应用用于于二二次次即即使使总总有有正正交交矩矩阵阵阵阵由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩,., 1 APPAPPPAT,2222211nnyyyf .)(,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型fPyxaaxxaf jiijnjijiij,),(1, 定理定

8、理8 8推论推论 任给任给n元二次型元二次型f(x)=xTAx(AT=A),总有可总有可逆变换逆变换x=Cz，使，使f(Cz)为规范形为规范形. 设二次型设二次型 f 的秩为的秩为r,则特征值则特征值 i中恰有中恰有r个不为个不为0,无妨设无妨设 不等于不等于0 , ,令令r ,101 nr 证证 按定理按定理8,有有 ririkii其中其中,1,1 ,21 nkkkK2211)(nnTyyyyPyf 则则K可逆可逆,变换变换y=Kz把把f(Py)化为化为f(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKT Kz而而,0 , 0 ,11 rrTdiagKK 记记C=PK,即知可逆变换即知可逆变换x=C

9、z把把f化成规范形化成规范形22111)(rrrzzCzf 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征向量征向量求出对应于特征值的特求出对应于特征值的特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量.,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 .)(,. 622111nnnzzCKzffKzy 的的规规范范形形则则得得作作正正交交变变换换解解1

10、 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例从而得特征值从而得特征值.18, 9321 得得基基础础解解系系代代入入将将, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21

11、(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且且有有解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它的

12、特征多项式为它的特征多项式为例例1414.22 2222 , 434232413121化化为为标标准准形形把把二二次次型型求求一一个个正正交交变变换换xxxxxxxxxxxxfPyx .111111111111 EA有有四四列列都都加加到到第第一一列列上上三三把把二二计计算算特特征征多多项项式式,:,1111111111111)1( EA有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,1000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1)(3()32()1(322 . 1, 34321 的的特特征征值值为为于于是是A, 0)3(,31 xEA解解方方程程时时当当 ,111

13、11 得基础解系得基础解系.1111211 p单单位位化化即即得得, 0)(,1432 xEA解解方方程程时时当当 ,1111,1100,0011 432 可可得得正正交交的的基基础础解解系系单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于于是是正正交交变变换换为为 432143212121021212102121021212102121yyyyxxxx.324232221yyyyf 且且有有如果再将二次型如果再将二次型f化为规范形化为规范形则令则令 4433221131zyzyzyzy 11131K再作变换再作变换Kzy 即即24232221zzzzf 得得f

14、的规范形为的规范形为 432143211111zzzzzzzzf1.实二次型的化简问题，在理论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二表示何种二次曲面次曲面. 1,321 xxxf 323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf 求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型,333351315 A二二次次型型的的矩矩阵阵为为解解),9)(4()det( EA可可求求得得, 9, 4, 0321 的的特特征征值值为为于于是是A.111,011,211 321 ppp对应特