《微分几何》教学大纲09

1、微分几何课程教学大纲课程名称微分几何Differential geometry课程编码10011500210课程类型专业选修课课程性质专业主干课适用范围数学与应用数学（教师教育）专业学分数3先修课程数学分析、线性代数、空间解析几何、常微分方程学时数54实验/实践学时无课外学时无考核方式考试一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务微分几何是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。（二）课程教

2、学的目的和要求：微分几何是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式 ，直纹曲面和可展曲面 ，曲面论的基本定理。 理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法

3、。（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，  微分几何 (第三版)， 高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、 梅向明、黄敬之，微分几何，人民教育出版社2、吴大任，微分几何讲义3、陈维桓等，微分几何讲义2006年6月二、 课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。教学重点与难点

4、：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。第一章 曲线论第一节 向量函数1、 教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。2、教学目的及要求1)、理解向量函数的基本概念以及向量函数与实函数之间的关系；几种具有特殊性质的向量函数的性质及几何意义；几种具有特殊性质的向量函数的性质的证明方法；2)、熟练掌握有关向量函数的各种微分、积分运算；泰勒公式向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。3、教学重点与难点向量函数的微积分学，基本运算及其性质。 第二节 曲线的概念1、教学内容曲线的基本

5、概念、切线和法面的求法，曲线的弧长，自然参数的引进。2、教学目的及要求1)、理解有关曲线的基本概念；理解弧长参数的几何意义2)、掌握曲线方程的各种表达形式；曲线的切线和法面的求法；曲线的弧长的计算方法。3、教学重点与难点基本概念及其几何意义，切线、法面、弧长的计算。第三节 空间曲线1、 教学内容曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率、Frenet公式，曲线的局部结构和基本定理。2、教学目的及要求1）、理解有关曲线的密切面、单位切向量、主法向量、副法向量的概念、几何意义以及它们之间的关系和计算方法；曲线的基本三棱形；空间曲线在一点邻近的结构的几何意义及表达形式；空间曲线的曲率和挠率的概念及几何意义

6、；空间曲线论基本定理的实质含义和证明方法；2）、熟练掌握有关曲线的切线、主法线、副法线、密切面、从切面、法面、单位切向量、主法向量、副法向量的表达形式；熟练掌握空间曲线的曲率和挠率的计算公式；柱面螺线的几个特殊性质的证明方法及几何意义。  熟练掌握空间曲线论的基本公式。3、教学重点与难点密切面、曲率、挠率的计算，Frenet公式的运用，曲线的局部结构和基本定理的理解。 第二章 曲面论第一节 曲面的概念1、教学内容简单曲面的参数表示，曲面的法线、切面，曲面的曲线（族）网。2、教学目的及要求1）理解曲面的切平面及法线的概念并掌握其各种表达形式；曲面的参数变换及定向；2）掌握曲面方程及曲面

7、上的曲线的各种表达形式；曲面上的曲线族和曲线网的概念。3、教学重点与难点简单曲面及其上面曲线族（网）的特征，曲面的法线、切面的求法等。 第二节 曲面的第一基本形式1、 教学内容曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角、曲面域面积的计算，等距（角）变换等。2、教学目的及要求1）理解曲面的第一基本量和第一基本形式的概念及表达形式；曲面上正交曲线网的概念及表达形式；解曲面间的映射的概念；曲面的内蕴量及内蕴性。2）掌握曲面上曲线的弧长、夹角、曲面域的面积的计算方法；曲面间等距映射和等角映射的的充要条件及几何意义。3、教学重点与难点曲面第一基本形式及相关量的计算，第一基本形式几何意义的理解

8、等。 第三节 曲面的第二基本形式1、 教学内容曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等。2、教学目的及要求1）理解曲面第二基本形式的概念及几何意义；法曲率的概念、几何意义以及和法截线曲率的关系；杜邦指标线的概念及几何意义；主曲率的几何意义、主曲率和法曲率之间的关系；渐近曲线网、共轭曲线网、曲率线网的概念、几何意义并掌握它们的表达形式及计算方法；渐近曲线、曲率线的概念及几何意义并掌握它们的表达形式及计算方法；曲面在一点邻近的结构及其研究方法；高斯映射的几何意义及表达形式；2）掌握曲面第二基本形式的各种

9、表达形式、第二基本量的计算方法；法曲率的几种表达形式；渐近方向、共轭方向、 主方向的各种表达形式及计算方法，并理解它们的几何意义及相互关系；主曲率、高斯曲率、平均曲率的计算方法及它们之间的相互关系；第三基本形式的表达方法以及它与第一基本形式、第二基本形式的关系。3、教学重点与难点理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等意义，会进行它们的计算。 第四节 直纹面与可展曲面1、 教学内容直纹面、可展曲面。2、教学目的及要求。1）掌握直纹面的方程及性质；可展曲面的分类；有关可展曲面的几个重要定理；2）理解可展曲面可作为单

10、平面组参数的包络面的几何意义。3、教学重点与难点直纹面和可展曲面的定义与基本特征及判定定理，包络线（面）的求法。 第五节 曲面论的基本定理1、 教学内容曲面论的基本定理及相关概念。2、教学目的及要求1）理解本节中所采用的几种符号的表示方法；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的实质意义及推倒过程；2）掌握Gauss公式和Weingarten公式两组基本公式；Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程的独立形式；3）了解高斯曲率的另外两种表达形式，记住当F=0时，高斯曲率的计算公式及高斯曲率是内蕴量的性质；基本定理的意义及证明。3、教学重点与难点曲面的第一、二类基本量满

11、足的方程，曲率张量等符号的记法与特点，曲面论的基本定理的内容等。 第六节 曲面上的测地线1、教学内容曲面上曲线的测地曲率与测地线，测地线的特征，半测地坐标网，Gauss-Bonnet公式，极小曲面等。2、教学目的及要求1）理解曲面上曲线的测地曲率的概念和几何意义；曲面上测地线的概念、几何意义及短程性；半测地坐标网及几种特殊形式；曲面上向量场的概念和向量场绝对微分的概念及绝对微分的表达形式；平行移动的概念及其与普通平移的关系；2）掌握曲面上曲线的测地曲率的计算公式，记住F=0时的Liouville公式测地线的微分方程；Gauss-Bonnet公式及特殊情况平行向量场的充要条件和存在唯一性定理，并

12、理解其几何意义；3）了解极小曲面的概念、性质及几何特征。3、教学重点与难点地曲率和测地线、半测地坐标网的定义及其几何意义， Gauss-Bonnet公式及曲面上向量的平行移动，极小曲面的特征等。 第七节 常Gauss曲率的曲面1、 教学内容常Gauss曲率曲面，伪球面，罗巴切夫斯基几何简介。2、教学目的及要求1）了解几种常高斯曲率曲面的概念及其性质；2）了解伪球面的概念及其性质。三、 建议学时分配：教学内容各教学环节学时分配采用何种多媒体教学手段章节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计第一章§1向量函数3   3§2曲线的概念6   6§3空间曲线7 2 9第二章§1曲面的