《数学分析》课程教学大纲

1、数学分析课程教学大纲课程名称数学分析/Mathematical Analysis课程编码10000300110课程类型学科基础课课程性质专业基础课适用范围数学与应用数学专业、信息与计算科学专业学分数16先修课程初等数学学时数288 实验/实践学时无课外学时无考核方式考试 一、教学大纲说明 （一）课程的性质、地位、作用和任务数学分析是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程，以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识

2、和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。（二）教学目的和要求本课程教学目的是通过系统的学习，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建

3、立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。1、掌握能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论较进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类积分、级数和函数项级数的敛散性、幂级数的概念、性质、计算及应用。2、理解能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理的内容、证明及应用、一般有理函数的不定积分及万能变换

4、、欧拉变換、隐函数定理的证明、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数的概念、性质、计算与应用、斯托克斯公式。3、了解要求能应用基本理论，不要求掌握证明方法；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧。包括各类近似计算问题、上、下极限问题、可积性理论及积分在物理中的应用、数项级数的拉贝判别法，傅里叶级数的收敛定理的证明、n重积分与反常二重积分、复变量的指数函数与欧拉公式、场论初步，流形上的微积分。（注：课文中打*号的章节均为选讲内容）。（三）课程教学方法与手段本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分主要是*号部分由学生自学提高。由

5、于本课程具有强烈的几何背景，结合培养目标，教学过程可恰当地使用现代教育技术手段，把传统的板书与现代化手段相结合，重要的定理、图表、图像制成多媒体，利用黑板进行问题分析与推理。另外由于本课程与数学应用联系密切，课程的教学中可适当介绍数学实验以及数学建模的基础内容，提高学生应用数学建模方法来解决各种实际问题的能力。（四）课程与其它课程的联系数学分析是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。因此要学习本课程，需先修初等数学，而本课程的多元微积分部分需运用空间平面、直线等有关知识，故需先修空间解析几何知识。而后继课程包括：常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、

6、点集拓扑、概率论与数理统计、物理学及其他应用数学相关课程。（五）教材与教学参考书教材：华东师范大学数学系，数学分析（第三版）（上、下册），高等教育出版社，2001年教学参考书：1、陈纪修，数学分析（第二版）（上、下册），高等教育出版社，2004年2、邓东皋、尹小玲，数学分析简明教程（第2版）（上、下册），高等教育出版社，2006年3、菲赫金哥尔茨，微积分学教程（第1卷）（第8版）、微积分学教程（第2卷）（第8 版）、微积分学教程（第3卷）（第8版），高等教育出版社，2006年4、吴良森、毛羽辉等，数学分析学习指导书（上、下册），高等教育出版社，2006年5、裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（

7、第2版），高等教育出版社，2006年二、课程的教学内容、重点和难点第一章 实数集与函数教学内容：实数集的有关概念及性质，确界原理，函数有关概念与基本性质。重点：三角形不等式，邻域、有界集，确界概念、确界原理，基本初等函数与初等函数，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性。难点：上、下确界概念及确界原理。第二章 数列极限教学内容：数列极限的概念与性质，数列极限存在条件。重点：数列极限的定义与几何意义，收敛、发散数列与无穷小数列，收敛数列性质，单调数列概念、单调有界定理，柯西收敛准则，收敛与发散数列的证明，数列极限的求法，重要极限：。难点：利用-定义和柯西收敛准则证明数列的敛散性，子列的概念。第三章

8、 函数极限教学内容：各类函数极限的概念与性质、函数极限的存在性，两个重要极限，无穷小量及阶的比较，无穷大量，曲线的渐近线。重点：二十八种函数极限（含数列极限及无穷大）的概念与关系，六种类型（x、）函数极限定义和相应的性质，归结原则及柯西准则，两个重要极限及函数极限的求法，等价无穷小与高阶无穷小。难点：利用定义或柯西准则证明函数极限的存在性，归结原则的运用。第四章 函数的连续性 教学内容：函数的连续与间断的定义，函数间断点的分类，连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的基本性质，初等函数的连续性。重点：函数在一点连续与左、右连续概念，间断点及分类，函数在区间上一致连续的概念，闭区间上连续函数的最值

9、性、有界性、介值性、根的存在性与一致连续性定理，初等函数的连续性及在求极限中应用。难点：间断点的分类，一致连续性概念与运用。第五章 导数和微分教学内容：导数与高阶导数的概念，求导法则与公式、各类型函数的求导（含高阶导数）法，函数极值的概念与费马定理、达布定理，微分与高价微分概念、性质及应用。重点：导数的概念与几何意义，求导法则、公式及各种求导法，函数极值与费马定理，微分概念与性质，可导、可微与连续的关系。难点：极值与最值的联系与区别，微分的概念。第六章 微分中值定理及其应用教学内容：三个微分中值定理，不定式极限、泰勒公式，利用导数研究函数的单调性、函数的极值与最值以及函数的凹凸性，利用导数进行

10、函数作图。重点：三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论1、2，函数单调性与凹凸性的判定，利用中值定理以及导数证明不等式与恆等式，不定式极限求法，函数的极值与最值的求法及应用，函数作图。难点：导数极限定理与泰勒公式。第七章 实数的完备性、教学内容：区间套、点集聚点与开覆盖的概念与性质，实数完备性，七个基本定理及应用。重点：区间套、点集聚点与开覆盖概念的概念，实数完备性七个基本定理的內容及证明（除确界原理），闭区间上连续函数性质的证明。难点：开覆盖的概念，有限覆盖定理，用区间套定理证明柯西收敛准则，用确界原理证明根的存在性定理以及用有限覆盖定理证明其它定理。第八章 不定积分教学内容：原函数

11、与不定积分的概念与性质，不定积分的求法、重点：原函数与不定积分的概念，利用換元积分法与分部积分法求不定积分，常用的简单的有理函数、三角函数与某些无理根式的不定积分。难点：有理函数的部分分式分解，某些无理根式的不定积分。第九章 定积分教学内容：定积分的概念与性质，可积条件，变限积分的概念，微积分学基本定理与牛顿莱布尼茨公式，定积分的換元积分法与分部积分法。重点：定积分的概念、几何意义与主要性质，可积性与有界性的关系，三类可积函数，变限积分的概念、性质以及应用，微积分学基本定理与牛顿莱布尼茨公式，定积分的计算，換元积分法的应用。难点：可积条件。第十章 定积分的应用教学内容：定积分在几何与物理方面的

12、应用。（注：其中平面曲线弧长与曲率，旋转曲面面积及定积分在物理中的某些应用可选讲）重点：用定积分计算各种形式平面图形面积，已知截面面积函数求立体体积和旋转体的体积。第十一章 反常积分教学内容：无穷积分与瑕积分敛散性的概念、关系、性质与判别，绝对收敛性与条件收敛性，混合型反常积分敛散的判别。（注：其中狄利克雷判别法与阿贝尔判别法仅需掌握定理內容）重点：无穷积分敛散性的概念，几个常用的无穷积分的敛散性，无穷积分的比较判别法与柯西判别法。难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分条件收敛。第十二章 数项级数教学内容：级数敛散性的概念与性质，正项级数敛散性的判别，一般级数的绝对收敛与条件收敛的

13、概念与判别。（注：级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法仅需掌握定理內容，绝对收敛级数的两亇重要性质可选讲）重点：级数敛散性概念，级数收敛的必要条件，常见级数的敛散性，正项级数敛散的比较判别法、比式与根式判别法，p级数的敛散性，交错级数与莱布尼茨判别法。难点：狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。第十三章 函数列与函数项级数教学内容：函数列与函数项级数一致收敛性的概念、判别与性质。（其中函数项级数一致收敛的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法仅需掌握定理內容）重点：函数列与函数项级数一致收敛性的概念（注：对于不以实变函数为后继课程的非师范类学生可作为一般內容），函数项级数一致收敛的M判别法，一致收敛的函数列的极限

14、函数与函数项级数的和函数的连续性、可积性与可导性。难点：一致收敛性的概念，判别函数项级数一致收敛的的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法。第十四章 幂级数教学内容：幂级数的收敛半径、收敛域与和函数，幂级数的性质，函数在x处的幂级数展开。重点：幂级数的收敛半径与收敛域的求法，幂级数的主要性质，利用逐项积分与逐项求导求某些幂级数的和函数，几个重要函数：，的幂级数展开式，用间接方法将其它函数展开成幂级数。难点：幂级数的收敛区间端点处的性质，初等函数幂级数展开式收敛性的证明。第十五章 傅里叶级数教学内容：正交函数系与三角级数，函数展开成各类型的傅里叶级数及其收敛性、一致收敛性。（注：收敛性定理的证明可作选讲）

15、重点：函数在区间上展开成傅里叶级数与在上展开成正、余弦级数及其收敛情况。难点：收敛性定理及其证明。第十六章 多元函数的极限与连续教学内容：R空间的拓扑结构与完备性，二元函数与多元函数，二重极限与累次极限，二元函数的连续性与有界闭区域上连续函数的性质。重点：邻域与区域的概念，二元函数的定义域，二元函数的极限求法，二元函数极限存在性的证明，重极限与累次极限的关系。难点：R空间的拓扑结构，二元函数的极限概念与求法。第十七章 多元函数微分学教学内容：多元函数的可微性与全微分，偏导数与高阶偏导数，多元复合函数求偏导数的链式法则，方向导数与梯度，二元函数的中值公式与中值定理，泰勒公式，二元函数的极值问题，

16、多元函数的最值问题。重点：二元函数的可微性、全微分概念，一阶全微分形式不变性，二元函数的偏导数及高阶偏导数的概念及求法（特别是利用链式法则求复合函数的偏导数），方向导数的概念与求法，梯度的概念及意义，二元函数的极值与判定，曲面的切平面与法线。难点：全微分概念与可微性判定，利用链式法则求复合函数的偏导数，泰勒公式。第十八章 隐函数定理及应用教学内容：隐函数、隐函数组、反函数组的概念，存在性与求（偏）导法，平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，条件极值问题。重点：隐函数、隐函数组、反函数组的存在条件与求（偏）导法，雅可比行列式，平面曲线的切线与法线，曲面的切平面与法线，

17、用拉格朗日乘数法解条件极值问题。难点：隐函数、隐函数组、反函数组的概念，反函数组与坐标变換的关系，条件极值的概念。第十九章 含参量积分教学内容：含参量正常积分、含参量反常积分的概念，含参量正常积分的性质，一致收敛性的判别及含参量反常积分的性质，欧拉积分。重点：含参量正常积分的概念与性质，累次积分概念，含参量反常积分的一致收敛性概念（注：对于不以实变函数为后继课程的非师范类学生可作为一般內容）与M判别法，含参量反常积分的性质，函数概念及主要性质（定义域、可导性、递推公式、（），B函数的概念及定义域，函数与B函数关系，利用B函数计算三角函数的积分。难点：含参量反常积分的一致收敛性概念，狄利克雷判别

18、法与阿贝尔判别法，两个无穷限累次积分的次序交换。第二十章 曲线积分教学内容：第一型曲线积分概念、性质与计算，第二型曲线积分概念、性质与计算。重点：第二型曲线积分的方向性，两型曲线积分的计算。难点：第二型曲线积分的概念。第二十一章 重积分教学内容：二重积分、三重积分的概念、性质以及计算，格林公式，曲线积分与路线无关性，重积分的应用。重点：二重积分的几何意义，直角坐标系下二重积分的计算，二重积分的变量变换（主要为线性变换，（广义）极坐标变换），格林公式，曲线积分与路线无关性，全微分式及其原函数，三重积分化为累次积分计算，三重积分換元法（主要为：线性变换，（广义）柱面变换，（广义）球坐标变换）。难点：三重积分的计算，格林公式用于奇点的研究。第二十二章 曲面积分教学内容：第一型曲面积分、第二型曲面积分的概念、性质以及计算，高斯公式与斯托克斯公式。重点：第二型曲面积分的方向性，型积分的计算，高