点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

1、点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚(邮政编码530007)圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。22定理在双曲线2r11(a>0,b&

2、gt;0)中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点abP(Xo,yo)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN ,则k|MNVoXob2证明：设M、N两点的坐标分别为(xi, yi)、诲芈),则有2 Xi -2" a2 X2 -2 a2 yi 声2 V2 b21,1.(2)2222IXiX2ViV2(2),得i2220.ab.2y2yiy2yib-2.X2XiX2XiakMNyyiyiy2yoyox2Xi'Xix22x0x0yXob222同理可证，在双曲线 y- x- a2 b2i(a>0,b>0)中，若直线l与双曲线相交于M、N两点,2点P(Xo,yo)

3、是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN比ayXob典题妙解2例i已知双曲线C:y2i,过点P(2,i)作直线l交双曲线C于A、B两点.3(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程.解：(1)a21,b23,焦点在y轴上.设点M的坐标为(x,y),由kAB整理得：x23y22x3y0.0.2_2_所求的轨迹方程为x3y2x3y(2)P恰为弦AB的中点, V。 由kABb2得：kAB1二，即 kAB 3直线l的方程为y 1 2(x 2),即2x 3y 1 0. 3例2已知双曲线C ： 2x2 y2 2与点P(1,2).(1)斜率为k且过点P的直线l

4、与C有两个公共点，求 k的取值范围;(2)是否存在过点 P的弦AB,使得AB的中点为P(3)试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.解：(1)直线l的方程为y 2 k(x 1),即y kx 2 k.y kx 2222x yk, 2得(k22.2)x2 2(k22k)x k2 4k 6 0.直线l与C有两个公共点,/日k220,22224(k2k)4(k2)(k4k6)0.解之得：卜3且卜衣.2k的取值范围是(，。2)(J2,2)(J2,9).22(2)双曲线的标准方程为x21,a21,b22.2vb22, k 1.设存在过点P的弦AB,使得AB的中点为P,则由kAB弛彳得：k2x°a

5、由(1)可知，k1时，直线l与C有两个公共点，存在这1¥的弦.这时直线l的方程为yx1.（3）设以Q（1,1）为中点的弦存在，则由kAB-y0b2得：k12,k2.X0a由（1）可知，k2时，直线l与C没有两个公共点，设以Q（1,1）为中点的弦不存在.22.例3过点M（2,0）作直线l父双曲线C:xy1于A、B两点，已知OPOAOB（O为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.解：在双曲线C:x2y21中，a2b21,焦点在x轴上.设弦AB的中点为Q.OPOAOB,由平行四边形法则知：OP2OQ,即Q是线段OP的中点.设点P的坐标为（x,y）,则点Q的坐标为人,上22y由

6、 kAB 2x2y2b2得：Al工21ax2xx4x2整理得：x2y24x0.22配方得：(x2)-y-1.44点P的轨迹方程是(x 2)241 ,它是中心为 （2,0）,对称轴分别为x轴和直线x20的双曲线例4.设双曲线C的中心在原点，以抛物线y223x4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线.（I）试求双曲线C的方程;（n）设直线l:y2x1与双曲线C交于A,B两点，求AB；（出）对于直线l:ykx1,是否存在这样的实数k,使直线l与双曲线C的交点A,B关于直'线l:yax4（a为常数）对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.解：（I）由y22&4得y2

7、2<3（x与）,32、321pJ3,抛物线的顶点是(一尸,0),准线是x.323232c3,13212在双曲线C中，2.a,b1.a213c2.3.、22双曲线C的方程为3xy1.y2x1,9(n)由22得：x24x20.3x2y21.设A(x1，y1),B(x2，y2),则xx24,xx22.|AB|.(1k2)(x1x2)24x1x2,(122)(4)2422.10.(m)假设存在这样的实数、.,.k,使直线l与双曲线C的交点A,B关于直线l对称，则l是线段AB1的垂直平分线.因而a ,从而l : y k1-x 4.设线段AB的中点为P(x0,y0). k0.2由kAB典与得：k也3

8、,ky03x0.x0aXo由y0x04得：kyoXo4k.k由、得：x0k,y03.由y0kx01得：3k21,kJ2.3y221又由3y1,得：(k23)x22kx2ykx1.直线l与双曲线C相交于A、B两点，4k28(k23)>0,即k2<6,且k23.符合题意的k的值存在，kJ2.金指点睛1.(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(J7,0),直线yx1与其相交于M、N两点,MN的中点的横坐标为2,则此双曲线的方程为()32 x A.32 x B.42 x C. 52 x D. 22. (02江苏)设A、B是双曲线2y21上两点，点N(1,2)是线段AB的中点.(1)

9、求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么23.已知双曲线x21,过点P(L当作直线l交双曲线于A、B两点.322(1)求弦AB的中点M的轨迹；(2)若点P恰好是弦AB的中点，求直线l的方程和弦AB的长.2 x4、双曲线C的中心在原点，并以椭圆252y 1的焦点为焦点，以抛物线 y22，3x的准线为13右准线.(1)求双曲线C的方程;(2)设直线l : y kx 3(k 0)与双曲线C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线.,一，i一人.，一l : y mx 6( m 0)对称，求k的值.参考答案1.解：在直线y2口“” y

10、5y.田 kMN3x0b25323b2b25又由 a22得 a22,b2 5.222a b c 7故答案选D.2.解：（1） a21,b22 ,焦点在x上.由kAB为Xobl2得:2,kAB1.所求的直线AB方程为y 2 1 (x 1),即x y 10.(2)设直线CD的方程为x ym 0,点N(1,2)在直线CD上,12m0,m3.直线CD的方程为xy30.IN又设弦CD的中点为M(x,y),由kCD2by得：1且2,即y2x.xax上xy30,/口由信x3,y6.y2x.点M的坐标为(3,6).xy10,又由2v2得A(1,0),B(3,4).x工1.2由两点间的距离公式可知：|MA|MB

11、|MC|MD|2.10.故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.2一一23.解：(1)a1,b3,焦点在x上.设点M的坐标为(x,y).x轴，这时直线l与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l的的斜若直线l的的斜率不存在，则l率存在.32y由kABy与得：T1xa1xx2整理，得：6x22y23x3y0.2一2一一点M的轨迹万程为6x2y3x3y3.yb2o.(2)由kAB2得：kAB33,kAB1.XoaJ2 3所求的直线l方程为y - 21rr,1 (x )，即 y x 1.222y_1由xW"1,得x2x20,yx1.解之得：x12,x21.|AB|.1k2|x2x1|.2332.4.解：(1)在椭圆251321中，a5,bV13,cVa2b22V3,焦点为Fi（2、,3,0）,F2（2,3,0）.2在抛物线y2j3x 中，p准线为x2在双曲线中， c31.从而a23.x2所求双曲线c的方程为一32y9(2)直线l是弦AB的垂直平分线，m1 ,一 ,1、，一,从而l : y - x 6 .设弦AB的中点为 kkP（x0,y（o）.由kAB'