最优控制小论文

1、 飞行器的翻转最优滑模控制及平移和姿势动力学日期：2015年11月3日摘 要：该论文提出了一种强健的最优翻转控制策略，实现了飞行器在外部干扰的情况下平移和姿势动态控制。该最优控制是基于桑塔格公式和控制李雅普诺夫函数实现的，然后把二阶积分滑模和已经得到的最优控制律结合实现最优积分滑模控制，所提出的控制律可使系统全局渐进稳定的证明可由李雅普诺夫函数实现。该论文首先介绍了一些初步的结果并进行了讨论，第二部分介绍了飞行器的动力学方程和运动学方程。第三部分提出了问题也给出了相应的控制目标。最后，把没有干扰的最优控制律和二阶积分滑模得到的控制结合，达到最终的目的。关键字：平移和姿势控制；最优控制；控制李雅

2、普诺夫函数；二阶积分滑模控制；积分滑模控制Abstract：This paper proposes two robust inverse optimal control schemes for spacecraft with coupled translation and attitude dynamics in the presence of external disturbances. For the first controller, an inverse optimal control law is designed based on Sontag-type formula and t

3、he control Lyapunov function. Then a robust inverse optimal position and attitude controller is designed by using a new second-order integral sliding mode control method to combine a sliding mode control with the derived inverse optimal control. The global asymptotic stability of the proposed contro

4、l law is proved by using the second method of Lyapunov. This paper is organised as follows. Section 2 introduces some preliminary results, which are required for the following discussion. In Section 3, the dynamics and kinematics of spacecraft with coupled translation and attitude dynamics (Sidi, 19

5、97; Wertz, 1978) are described. The problem statement and control objective are also given. Section 4 provides an inverse optimal control design to achieve the asymptotic convergence of error system states to zero. In Section 5, a new ISOSMC law is applied to merge the derived inverse optimal contro

6、l with SMC.Keywords: position and attitude control; inverse optimal control; control Lyapunov function; second-order sliding mode control; integral sliding mode1. 引言飞行器的位置和姿势对其完成相应的任务非常重要，例如飞行器的交会和对接、捕捉一些无效力的飞行器、编队飞行等。这些太空任务需要飞行器执行一些角度较大的旋转和复杂的平移运动。翻转最优控制策略用来处理要求精确的飞行器的位置和姿势运动，平移和旋转的运动方程是高度非线性的。所以几乎

7、没有实验成功的最优控制率来解决这个问题。这里提出了一个基于翻转最优控制和积分二阶滑模控制的强健的最优控制策略，这种策略用来处理位置和姿势的控制问题，并且优于单纯的最优滑模控制。滑模控制对匹配的参数不确定性和外部干扰具有良好的鲁棒性，且具有快速的动态响应能力。采用积分滑模的概念可以将控制器与滑模方法结合，保证系统的鲁棒性。2. 翻转最优控制方法我们考虑如下仿射非线性动态系统：其中，f和g分别表示向量和矩阵值函数，x和u分别表示状态和控制向量。对于上述非线性系统，一个与控制器u(x)有关的控制李雅普诺夫函数是连续可微的正定函数V(x)，须满足： 如果存在x0且那么V(x)为一个控制李雅普诺夫函数。

8、 一个控制律如下： 其中，R是一个正定矩阵函数，如果V(x)是一个正定仿射无界的李雅普诺夫函数并且使（1）系统稳定，那么如下的控制律是最优的与之有关的泛函为 (3)是一个连续可微的半正定矩阵函数，使非线性系统（1）稳定的控制律u可以通过使性能指标(2)最小化来获得。在所提出的翻转最优控制方法中，首先设计一个可使系统稳定的闭环反馈控制律，然后表明该反馈控制律要找到l(x)0和R(x)0从而使u(x)达到最优，该问题是倒置的，因为l(x)和R(x)是凭借一些先验知识使系统稳定得到的，而不是事先由设计者给出的。3. 飞行器的非线性模型及公式 3.1 飞行器的位置和姿势动力学方程 飞行器完成平移和旋转

9、任务的动力学模型如下所示 其中M是飞行器的质心，v是飞行器的平移速度向量，是飞行器的旋转角速度向量，f是控制力，df是有界外部干扰输入，（5）中的J是3×3正定的惯性矩阵，代表从飞行器质心到施力点的距离，×是的一个分量且是一个斜对称矩阵，是控制力矩向量，d是有界的干扰力矩输入。 3.2 飞行器的位置和姿势的运动学方程r代表飞行器的位置向量，Q是一个单位四元素，它决定了飞行器的姿势方向,T(Q)=q×+q0I3其中,e是一个单位向量，规定了欧拉轴线和，代表了欧拉轴线旋转的量级，且受到下式的约束： 3.3 基于误差的飞行器运动方程： r表示飞行器的实际位置，rd表示飞

10、行器的期望位置，re表示位置误差。我们通过单位四元素来定义飞行器的期望位置。也可以通过单位四元素规定平移和姿势误差。 我们把上式代入(4)-(7)，我们可以得到相对运动方程如下： 通过上述转换，追踪控制问题就被简化为规制问题，通过设计控力制向量f和力矩向量来达到控制效果。rd, vd, qd 和d是假定有界的。因此，需要设计一个控制律，迫使当t趋于无穷时，闭合回路系统(4)-(7)趋近于0，在外界干扰的条件下，可以表示为：4. 翻转最优控制器设计 4.1 逐步退焊法 改变2.3中的相对运动方程为 其中 那么相对运动方程可以简化为由(9)、(10)两个运动方程描述了一个级联系统，它暗含了这两个运

11、动方程可以间接分别通过平移速度向量和角速度向量e来控制。所以，为了使该级联系统稳定这两个量被看做是虚拟的控制输入。定理1 考虑(9)、(10)式分别含有虚拟输入的动态系统，控制律分别为这里，K1，K2分别为3阶正定矩阵，可使(9)、(10)两系统在初始点全局渐进稳定。可以通过下式V的李导数正定来证明该定理定义期望误差如下：经过上面式子的代换计算可以得到新的系统通过定理1，可以证明得到对于系统方程(9)、(10)，如果存在一个控制力和控制力矩对于任意的初始点re(0)、qe(0)满足那么便可实现这就意味着通过方程(11)、(12)也可以在(13)的条件下得到 4.2 翻转最优位置和姿势设计令Z=

12、z1 z2，基于误差的飞行器运动方程可以重新写为其中动态系统控制律如下其中可以通过使下式指标泛函最小化来达到飞行器姿势控制系统方程(9)、(10)、(14)最优的任务由李导数和对R(x)和l(x)的定义，可以得到R(x)是一个正定矩阵以及l(x)是一个半正定矩阵，因此La对于飞行器的位置和姿势是一个很有意义的目标函数，把l(x)代入La，我们可以得到最优目标La*=4V2(0)。5. 二阶积分滑模控制根据由(9)、(10)、(14)组成的系统，定义最优翻转滑模控制器为u*是上节当中的最优控制率，us是保持系统在滑模面上且确保在不确定外部干扰下的鲁棒性的滑模控制。滑行函数定义为这里的积分项定义为

13、这里(0)的确定是基于必要条件S(0)=0，这就意味着滑动模态从最初的时间就已经存在了。二阶积分滑模设计为对于aR6， (0, 1)，函数sign (a)、sign(a)被定义为对滑行函数求导得把以上的（14）、（17）式代入（19）可以得到然后再把（18）式代入（20）可得我们定义 那么（21）式可以写成标量的形式显然的，如果可以保证系统（22）在有限时间稳定，那么就可以推断出闭环系统在控制律为（15）的情况下是稳定的。现在假设不确定干扰干扰项量 满足 , 其中L是一个正的常数。定理2 考虑含有外部全部干扰的向量 ，控制器增益1i>0,2i>0,3i>0，系统（22）的轨迹

14、收敛于系统原始位置的附近的条件为其中=|1i|sign(1i) |1i|1/2 2iT，>0是一个选择增益函数(关于1i，2i，3i)。 由上述定理可得误差系统（22）是在有限时间是稳定的，因此滑模变量和其导数在有限时间都收敛于原始点的周围，然而运动方程的闭环系统在控制律u*下是渐进稳定的，因此系统的状态是渐进收敛于平衡点的。小结 针对一个要求严格的飞行器，讨论了一种最优的控制方案，用李雅普诺夫函数的概念得到一个位置和姿势跟踪的最优控制律，并与积分滑模相结合得到最优的滑模控制，最后通过李雅普诺夫函数证明得到闭环系统是渐进稳定的。本文针对存在参数不确定性和外部干扰的飞行器跟踪控制问题，在设

15、计控制器的基础上，引入积分滑模，构造了一种最优二阶积分滑模控制器。提出的控制方法不仅能够实现最优性能指标，而且对于系统的不确定性和外部干扰具有鲁棒性。参考文献1 Aganovic, Z., & Gajic, Z. (1995a). Linear optimal control of bilinear systems with applications to singularly perturbation and weak coupling. London: Springer-Verlag.2 Aganovic, Z.,&Gajic, Z. (1995b). Successive

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