椭圆的几何性质2教案

1、椭圆的几何性质 南昌十七中 数学教师 何东华一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等二、教材分析1重点：椭圆的几何性质及初步运用(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结)2难点：椭圆离心率的概念的理解(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形

2、状的影响)三、施教对象普通中学中等程度学生四、教学手段提问、讲解、阅读后重点讲解、智力小游戏、再讲解、动画演示、例题讲解、学生演板、讲解后归纳、小结（运用几何画板）五、活动材料准备小黑板、多媒体演示平台、几何画板软件、MathFun数学画图软件六、教学过程(一)复习提问1椭圆的定义是什么？2椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一.本节课就根据椭圆的标准方程（a > b > 0）来研究椭圆的几何性质说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变1范围引导学

3、生从椭圆的标准方程得出不等式，即|x|a，|y|b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图)注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点另外，再把标准方程分成和两个函数式，让学生从函数的定义域和值域来认识椭圆中x与y的范围。2对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称类似

4、可以证明其他两个命题向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1 (x，-y)必在曲线上又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P 2 (-x，y)必在曲线上因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心向学生介绍一个有趣的小游戏：有一张标准的椭圆形的桌子及足够多的一元硬币，两位同学利用上述道具进行一场游戏。规则为：两人轮流在桌上放

5、硬币（硬币不能重叠累放），轮到在桌上没有空地放硬币的一方即为输。如果你来参加这个游戏，你会选择由你开始放还是由对方开始放硬币，而且有没有一种方法可以使自己不败？此时课堂气氛会很活跃，注意控制和引导。下面是答案：利用椭圆的对称性，中心对称，轴对称。先由特殊情形，若椭圆桌子很小，小到只能放下一枚一元硬币，显然先放的同学获胜，当椭圆桌和我们平时常见的一样，则还是先放的获胜，方法为：先放的同学最初一枚硬币放在椭圆桌中心，然后对方放好后只须找到对方所放位置的中心对称点即可。当然该题还可以利用轴对称性，如图：甲同学先放在中心位置后，乙同学任意放一处，如点P，则甲可以P关于x轴的P位置放，亦可获胜，当然找P

6、关于y轴的对称点一样。 向学生指出：做题之前先考虑特殊情况是一种良好的思维方式，实际在做选择题时，我们所用的一种“特殊值法”即为该思维方式。3顶点引导学生从椭圆的标准方程（ a > b > 0）分析它与x轴、y轴的交点.只须令x = 0，得y = ±b，(也就是椭圆在y轴上的截距)点B 1(0，-b)、B 2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y = 0，得x=±a ，（也就是椭圆在x轴上的截距）点A1(-a，0)、A 2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A 2(a，0)、B 1(0，-b)、B 2(0，b)教师还需指出：

7、(1)线段A 1A 2、线段B 1B 2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结一下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形4离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：椭圆的焦距与长轴的比 记忆方法：a b c d e 倒过来读 e 等于（d）c 比（b）a等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义先分析椭圆的离心率e的取值范围：ac0， 0e1再结合多媒体演示分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(1) 当e接近0时，c越接近a , 从而越小，因此椭圆越扁；(2

8、)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e = 0时，c =0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为，图形就是圆了(三)讲解例题为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题：例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成后一部分作图由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：（1）列表，将变形为，根据在第一象限及y轴的范围内算出几个点的坐标(x , y)x012345y43.93.73.22.40(2)描点作图先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性

9、就可以画出整个椭圆要强调：利用对称性可以使计算量大大减少此时再利用几何画板（或名为MathFun的一个数学画图软件）画出椭圆的图形，又快又标准。巩固顶点坐标、离心率的概念，给出如下例题：例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点；（2）长轴的长等于20 ，离心率等于0.6.本例题第（1）小题，注意启发学生观察P、Q两点的特殊性（即为椭圆的顶点）从而得a=3、b=2，再观察长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为.向学生指出：一般情况下求椭圆的标准方程关键就是求出a、b、c中的任意两个.本例题第（2）小题，可以让一位学生回答，教师书写，列出关于a、c的方程组是关键，解出a=10、c=6，再利用

10、得，最后的答案为或.向学生指出：不能判断长轴在x或y轴上时答案会有两种情况。（四）学生练习102页练习题4、54、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上；（答案：）（2）焦点在y轴上.（答案：）教师提问：把这两小题的后一段“焦点在x、y轴上”去掉，结果会怎样？5、下列每组椭圆中哪一个更接近圆？（1）与；(答案：第二个)（2）与.(答案：第二个)(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质布置学生最后小结下列表格：（课前用小黑板画好） 标准方程（ a > b > 0）（ a > b > 0）图象范围对称性顶点长轴短轴焦点坐标离心率（六） 布置作业103页 习题8.2 第1、2、3、4题七、教学反思 1、这堂课在讲解对称性质时，还可以引入奇函数、偶函数的图形特征及它们的解析式特征。如：y=f(x)=f(-x) 为偶函数即点（x , y）与（-x , y）都符合函数解析式（即为点（x , y）与（-x , y）都是方程表示的曲线上）图形关于y轴对