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1、介绍几个优美的三角形不等式安徽省太和县李兴小学 任迪慧邮编 236635定理1。设ABC的三边长为a,b,c,R和r分别为外接圆半径和内切圆半径, 则有 其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.证明: 在ABC中，有1 2 3 由、和可推得定理1。其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立。注: 定理1含有2、3、4、5连续自然数，是一个优美的三角形不等式。由定理1与欧拉不等式的加强相联系可得许多新三角形不等式，仅供几例，请读者自练。1. 2. 3. 4. 定理2。设ABC的三边长为a,b,c,R和r分别为外接圆半径和内切圆半径, 则有其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.证明: 在ABC中，有

2、4 由和可证得定理2. 其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.定理3。设ABC的三边长为a,b,c,R和r分别为外接圆半径和内切圆半径, 则有其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.证明：在ABC中，有5 ，由和可证得定理3. 其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.定理4。设ABC的三边长为a,b,c,R和r分别为外接圆半径和内切圆半径, 则有其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.证明: 在ABC中，有6 ，由和可证定理4. 其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.注: 由定理4与外森比克不等式加强相联系又可得许多新三角形不等式。下面供出几例，供读者练习。5. 6. 7. 8. 定理5。

3、设ABC的三边长为a,b,c,R和r分别为外接圆半径和内切圆半径, 则有其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.证明：由和可证定理5。其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.定理6。设ABC的三边长为a,b,c,R和r分别为外接圆半径和内切圆半径, 则有 其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.证明：在ABC中，有7 ，由定理1和可证定理6. 其中等号当且仅当ABC为正三角形时成立.继续研究还可得许多优美的三角形不等式，仅供几例，供读者练习。1）2）3）4）5）6）7) 8) 限于篇幅，其它诸例不再祥述。参考文献1 任迪慧 数学通报问题征解1804.2 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集M

4、 p2583 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集M p2634 任迪慧 关于常见三角形不等式结论的更新j <<数学教学研究>>2002 2:395 任迪慧 关于常见三角形不等式结论的更新j <<数学教学研究>>2002 2:416任迪慧 全国第八届初等数学研究学述交流会论文集M P917 任迪慧 全国第五届不等式学术年会论文集M p265.作者简介： 任迪慧，男，生于1965年5月4日 ，毕业于安徽省教育学院数学系，本科学历，小学高级教师，从教于安徽省太和县李兴小学。县教坛新星，省级骨干教师，阜阳市首批学科带头人。曾在中学数学教学、安徽教育、数学教学研究、素质教育、教育学文摘等刊物发表论文几十篇，论文<<由一个三角形不等式联想到的>>获全国基础教育改革论文一等奖。曾聘为中国科学院学术委员会特约研究员，素质教育杂

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