八年级数学寒假专题5勾股定理华东师大版

1、1 / 10初二数学初二数学寒假专题寒假专题勾股定理勾股定理华东师大版华东师大版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题勾股定理1. 勾股定理及其逆定理的概念；2. 勾股定理及其逆定理的实际应用；3. 解有关勾股定理的题型时常用的辅助线和数学思想方法.二. 重点、难点： 1. 重点： 勾股定理及其逆定理的概念; 勾股定理及其逆定理的实际应用. 2. 难点：勾股定理与勾股定理逆定理的了解与区别;解有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法.三. 知识梳理： 1. 勾股定理及其逆定理的概念 勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.例如：如图所示，在等腰ABC

2、中，若 ABAC13，BC10，求底边上的高. A B H C 如图所示，在ABC 中，ACB90，AC4，CB3，求斜边 AB 上的高. C A H B 解：解：作 AHBCABAC13，AHBC12513AH5HCBH22AC4，BC3543AB225HC34512HC 勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.2 / 10例如：如图所示，在ABC 中，三条边之比为 9：12：15，那么此三角形为何三角形？如图所示，在ABC 中，若22a4c ，22a3b ，那么此三角形为何三角形？解：解：15:12:9c:b:a

3、设，k12bk9a k15c 2222)k12()k9(ba222k225ck225，222cba此三角形是 Rt.证：2222a3ba4c，222cba此三角形是 Rt.注：勾股定理与勾股定理逆定理的了解与区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理;了解：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.2. 勾股定理的证明方法介绍勾股定理曾引起很多人的兴趣，几千年来，人们已经发现了 400 多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达芬奇和美国总统詹姆士阿加菲尔 德.以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.（1）赵爽的拼图法）赵爽的拼图法我国古

4、代著名数学家赵爽在勾股圆方图一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美.如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等的直角三角形，已知它们的直角边为a、b利用这个图，即可证明勾股定理.理由如下：因为正方形边长为c，所以正方形的面积为2c.又因为正方形的面积22214()2ababab，所以有222abc.（2）旋转面积法）旋转面积法3 / 10如图，设矩形 ABCD 为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至 ABCD 的位置，D 点不动.若设 ABa，BCb，DBc，则梯形A B BC的面积211()()()22ab abab，又因为其面积还等于三个

5、三角形面积的和，即为： 2111222A B DDB BBCDSSSabcab.所以有：21()2ab2111222abcab.化简为：22222ababcab，即222abc.（3）美国第）美国第 20 任总统的拼图面积法任总统的拼图面积法加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为 90.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设ACBEb，BCDEa，ABDBc.因为222111()()()(2)222ACEDSab abababab梯形，21()2ABCDBEABDSSScabab.即221(2)2abab21()2cabab即222

6、abc.3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法 解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形. 解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和数形结合思想.4. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.【典型例题典型例题】例例 1. 若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积.分析：分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解. 解：解：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：4

7、 / 10（3x）2（4x）2202化简得 x216；直角三角形的面积213x4x6x296例例 2. 如图，在长方形 ABCD 中，DC5cm，在 DC 上存在一点 E，沿直线 AE 把AED 折叠，使点 D 恰好落在 BC 边上，设此点为 F，若 ABF 的面积为 30cm2，那么折叠的 AED 的面积为_.分析：分析： 注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.解：解：由已知条件可得 BF12，则在 RtABF 中，AB5，BF12 根据勾股定理可知AF13，再由折叠的性质可知 ADAF13，所以 FC1，可设 DEEFx，则EC5x，则在 RtEFC 中，可得方程：

8、12(5x)2x2.解这个方程，得 x135.所以SAED121351316.9(cm2).例例 3. 直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积.分析：分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.解：解：设此直角三角形两直角边分别是 x，y，根据题意得：)2(5) 1 (125222yxyx由（1）得：xy7，（xy）249，x22xyy249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面积是21xy21126（cm2）例例 4. 等边三角形的边长为 2，求它的面积.分析：分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的

9、高.解：解：如图，等边ABC，作 ADBC 于 D则：BD21BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）5 / 10ABACBC2（等边三角形各边都相等）BD1在直角三角形 ABD 中 AB2AD2BD2，即：AD2AB2BD2413AD3SABC21BCAD3注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为43a2.例例 5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离小明头顶 5000 米，问：飞机飞行了多少千米？分析：分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米

10、，要求出飞机这时飞行多少千米，就要知道飞机在 20 秒时间里飞行的路程，也就是图中的 BC 长，在这个问题中，斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出 BC 的长解：解： 根据题意可得示意图：(如图)在ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米，根据勾股定理可得：BC22ABAC22500040003000(千米）所以：飞机飞行了 3000 千米.例例 6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A、8，15，17B、4，5，6 C、5，8，10D、8，39，40分析：分析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2a2b2的变形：b2

11、c2a2（ca） （ca）来判断.例如：对于选择项 D，82（4039）（4039） ，以 8，39，40 为边长不能组成直角三角形.解：解： 因为 17282152，所答案为：A.例例 7. 如图所示的一块地，AD12m，CD9m，ADC90，AB39m，BC36m，求这块地的面积 分析：分析： 在求面积时一般要把不规则图形分割为规则图形，若连接 BD，则无法求出由于题中含有直角ADC，故可考虑连结 AC，应用勾股定理解：解：连结 AC，6 / 10在 RtADC 中，AC2CD2AD292122225，所以 AC15m 在 RtABC 中，AB21521，AC2BC21523621521，

12、 所以AB2AC2BC2，所以ACB90所以 SABCSACD12ACBC12ADCD1215361212927054216（m2） 答：这块地的面积是 216m2例例 8. 如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的最短路径长为 ( )A. 221 B. 2214 C. 421 D. 224 分析：分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中.化归思想即转化思想，它是我们初中阶段数学解题方法的灵魂，是指当有些问题如果直接解决则难以入手，于是换一个角

13、度来考虑，从而使问题清晰明朗.运用转化思想来解题常用的策略有：化复杂为简单;化陌生为熟悉;换一种方式来表达等等.解：解：求几何体的表面的最短距离，可了解我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面” ，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的 AB 长为 2，BS 为 2，根据勾股定理，在 RtABS 中，得 AS221所以，动点 P 从 A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的最短路径长为 221.故选 A.例例 9. 在锐角ABC 中，已知其两边 a1，b3，求第三边的变化范围.分析：分析：显然第三边 bacba，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一

14、个锐角三角形，为此，先求ABC 为直角三角形时第三边的值.7 / 10解：解：设第三边为 c，并设ABC 是直角三角形(1)当第三边是斜边时，c2b2a2，c10(2)当第三边不是斜边时，则斜边一定是 b，b2a2c2，c22（即8）ABC 为锐角三角形所以点 A 应当绕着点 B 旋转，使ABC 成为锐角（如图） ，但当移动到点 A位置时ACB 成为直角.故点 A 应当在 A 和 A间移动，此时 22AC10注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑.例例 10. 四边形 ABCD 中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，求四边形ABCD 的

15、面积.分析：分析：先根据勾股定理求出 AC 的长，再由勾股定理的逆定理得到 ADC 是直角三角形，将四边形 ABCD 分成两个直角三角形.本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题.解：解：连结 ACB90，AB3，BC4AC2AB2BC225（勾股定理）AC5AC2CD2169，AD2169AC2CD2AD2ACD90（勾股定理逆定理）S四边形 ABCDSABCSACD21ABBC21ACCD36例例 11. 若x、y为正实数，且4xy，则2214xy 的最小值是多少?试求之.解析：解析：此题是竞赛题，不知从何下手，若仔细观察分析，从 x21 和 y24 入手，结8 / 10合勾股定理的形式

16、可为我们提供解题的思路.可以看出，21x 、24y 分别是以x、1，y、2 为直角边的直角三角形的斜边长，这时，上述问题就变成了求两条线段之和的最值问题.构造如图所示的图形：线段 AB4，P 为 AB 上任意一点.设PAx，PBy.CAAB 于 A，DBAB 于 B，且 CA1，BD2，则 PCPD2214xy .要求2214xy 的最小值就是求 PCPD 最小，很明显，当点P、C、D 在同一直线上时，PCPD 的最小值.再过 C 作 CEDB 交 DB 的延长线于点 E，构造 RtDCE，在 RtDCE 中，CEAB4，ED123，所以 PCPDDC22345.所以2214xy 的最小值是

17、5.例例 12. (2006 年山西中考题)如图，分别以直角 ABC 的三边 AB，BC，CA 为直径向外作半圆.设直线 AB 左边阴影部分的面积为 S1，右边阴影部分的面积和为 S2，则（ ）A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 无法确定分析：分析：将阴影部分的面积表示出来，再观察所列代数式与直角三角形三边长的关系可得答案.解：解：直线 AB 左边阴影部分的面积为： 2()22AB218AB，直线 AB 右边阴影部分的面积为： 22()()2222ACBC221()8ACBC.ABC 是直角三角形，根据勾股定理有：222ABACBC.故选 A.【模拟试题模拟试题】 （答题时间：40

18、 分钟）一、填空题：一、填空题： 1. 设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_. 2. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了 520m，则该河流的宽度为_m. 9 / 10二、选择题：二、选择题：3. 直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）.A. 6cm B. 8.5cm C. 3013cm D. 6013cm4. 有四个三角形： ABC 的三边之比为 3：4：5； ABC的三边之比为 5：12：13； ABC的三个内角之比为 1：2：3； CDE 的三个内角之比为 1：1：2. 其中是直角三角形的有（ ）. A. B. C. D. 三、解答题：三、解答题：5. 在ABC 中，AC21cm，BC28cm，AB35cm，求ABC 的面积.6. 如图，ABC 的三边分别为 AC5，BC12，AB13，将ABC 沿 AD 折叠，使AC落在 AB 上，求 DC 的长.7. 如图，一只鸭子要从边长分别为 16m 和 6m 的长方形水池一角 M游到水池另一边中点 N，那么这只鸭子游的最短路程应为多少米？8. 如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄，DA垂直 AB 于 A，CB 垂直AB 于 B，已知 AD15km，BC10km，