平面向量、数系的扩充复数的引入章末大盘点

1、2021/4/212021/4/222021/4/23一、数形结合思想一、数形结合思想向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景，向量的加、减、数乘等线性运算有着丰富的几何背景，同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能同时，向量的坐标表示又为向量运算的代数化提供了可能.因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的因此，向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份双重身份”，自然处于中学数学知识的重要交汇点，自然处于中学数学知识的重要交汇点.显然，显然，形成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问形成并自觉运用数形结合的思想方法是解决向量与其他问题的关键题的关

2、键.2021/4/24【示例示例1】已知向量已知向量a2b21，且，且ab求求(1)|ab|；(2)a与与(ba)的夹角的夹角.2021/4/25解解法一：法一：(数形结合法数形结合法)作作以以为邻边作为邻边作 ABCD，如图所示，如图所示.由由a2b21及及ab得得又又BAD0，180，BAD120.所以四边形所以四边形ABCD为边长为为边长为1且一个内角为且一个内角为120的菱形，易的菱形，易得得(1)|ab|(2)a与与(ba)的夹角为的夹角为150.2021/4/26法二：法二：(数量积运算法数量积运算法)由于由于0180，150.所以所以a与与(ba)的夹角为的夹角为150.（2）设

3、）设a与与b（a-b）r的夹角为的夹角为2211,1.2a ba bab由于由于2021/4/27领悟领悟法一充分利用向量加法的平行四边形法则转化法一充分利用向量加法的平行四边形法则转化为平面几何求解是直观形象，法二利用向量的数量积运为平面几何求解是直观形象，法二利用向量的数量积运算及其变形公式更是简洁明快算及其变形公式更是简洁明快.2021/4/28二、等价转化的思想二、等价转化的思想等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将复等价转化的实质是将难解的问题化为易解的问题，将复杂问题化为简单的问题来处理杂问题化为简单的问题来处理.在本章中，可利用向量的坐在本章中，可利用向量的坐标运算法则，

4、把向量的运算转化为实数的运算，即将向量的标运算法则，把向量的运算转化为实数的运算，即将向量的加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实数的加、加、减、实数与向量的积和数量积的运算，转化为实数的加、减、乘的运算减、乘的运算.把一些几何问题的证明转化为向量的代数运把一些几何问题的证明转化为向量的代数运算，无不体现了等价转化思想算，无不体现了等价转化思想.2021/4/29【示例示例2】已知正方形已知正方形ABCD，E、F分别是分别是CD、AD的中点，的中点，BE、CF交于点交于点P.求证：求证：(1)BECF；(2)APAB.2021/4/210证明证明如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xA

5、y，其中，其中A为原点，为原点，不妨设不妨设AB2，则则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0，1).(2，1)，1(2)2(1)0，即即BECF.2021/4/211(2)设设P(x，y)，则，则-X=-2(y-1)，即，即x=2y-2同理由同理由得得y2x4，代入，代入x2y2.解得解得2021/4/212领悟领悟本题为平面几何问题，证明过程中以直角坐标系本题为平面几何问题，证明过程中以直角坐标系为平台，以向量为工具，较容易地完成了证明为平台，以向量为工具，较容易地完成了证明.显然，向量显然，向量共线与向量垂直的坐标运算，运用得既巧妙而又必不可少，共线与向量垂直的坐

6、标运算，运用得既巧妙而又必不可少，突出重点的同时更突破了难点突出重点的同时更突破了难点.2021/4/213三、函数与方程的思想三、函数与方程的思想向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的向量作为一种运算工具，与函数和方程是密切相关的.例如，向量例如，向量a，b的坐标中含有参数的坐标中含有参数t时，计算时，计算ab时，即把时，即把ab视为关于视为关于t的函数；解决共线向量时，则常常借助的函数；解决共线向量时，则常常借助ba来确定来确定，求，求的方法即利用向量相等的充要条件列出方程的方法即利用向量相等的充要条件列出方程(组组)来求解来求解.2021/4/214【示例示例3】已知已知a是以点

7、是以点A(3，1)为起点，且与向量为起点，且与向量b(3,4)平行的单位向量，则向量平行的单位向量，则向量a的终点坐标是的终点坐标是.2021/4/215解析解析设向量设向量a的终点坐标是的终点坐标是(x，y)，则，则a(x3，y1)，由题意可知由题意可知答案答案或或 解得解得 故故 或填或填 或或2021/4/216领悟领悟利用方程的思想解决问题时关键是寻找等量关系，利用方程的思想解决问题时关键是寻找等量关系，建立方程建立方程.2021/4/2172021/4/2181.(2009辽宁高考辽宁高考)已知复数已知复数z12i，那么，那么()答案：答案：D解析：解析：由由2021/4/2192.

8、(2009北京高考北京高考)已知向量已知向量a、b不共线，不共线，ckab(kR)，dab.如果如果cd，那么，那么()A.k1且且c与与d同向同向B.k1且且c与与d反向反向C.k1且且c与与d同向同向D.k1且且c与与d反向反向2021/4/220解析：解析：不妨设不妨设a(1,0)，b(0,1).依题意依题意dab(1，1)，又，又ckab(k,1)，cd，12(1)k0，k1，又又k1时，时，c(1,1)d，c与与d反向反向.答案：答案：D2021/4/2213.(2009湖北高考湖北高考)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m和和n，则复数，则复

9、数(mni)(nmi)为实数的概率为为实数的概率为()2021/4/222解析：解析：(mni)(nmi)2mn(n2m2)i，它为实数的，它为实数的等价条件是等价条件是m2n2，又，又m，n均为正整数，均为正整数，mn.故问故问题事件所含基本事件有题事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)六个，基本事件空间中含有六个，基本事件空间中含有36个基本事件，所以个基本事件，所以答案：答案：C2021/4/2234.(2009全国卷全国卷)设非零向量设非零向量a、b、c满足满足|a|b|c|，a bc，则，则a，b()A.150B.120C.60D.3

10、02021/4/224解析：解析：abc，|c|2|ab|2a22abb2.又又|a|b|c|，2abb2，即即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，ba，b120.答案：答案：B2021/4/2255.(2010杭州质检杭州质检)设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为，定义，定义a与与b的的“向向量积量积”：ab是一个向量，它的模是一个向量，它的模|ab|a|b|sin，若若a(，1)，b(1，)，则，则|ab|()A.B.2C.2D.42021/4/226答案：答案：B解析：解析：2021/4/2276.(2009福建高考福建高考)若若abi(i为虚数单位，为虚数单位，a，bR)，则，

11、则 ab.答案：答案：2即即1iabi，a1，b1，ab2.解析：解析：2021/4/2287.(2009湖南高考湖南高考)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若起，若则则x，y.2021/4/229解析：解析：2021/4/230设设则由题意：则由题意：又又BED60，显然显然的夹角为的夹角为45.由由得：得：1cos45(x1)12.x同理，在同理，在两边与两边与取数量积可得取数量积可得y答案：答案：2021/4/2318.(2010常州模拟常州模拟)给出以下四个命题：给出以下四个命题：对任意两个向量对任意两个向量a，b都有都有|ab|a|b|；

12、若若a，b是两个不共线的向量，且是两个不共线的向量，且a2b(1，2R)，则，则A、B、C共线共线121；若向量若向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，则，则ab 与与ab的夹角为的夹角为90；若向量若向量a、b满足满足|a|3，|b|4，|ab|则则a，b 的夹角为的夹角为60.其中错误命题的序号是其中错误命题的序号是.2021/4/232解析：解析：命题左边命题左边|ab|a|b|cos(为为a、b夹角夹角)，当，当cos1时，时，|ab|a|b|故错误；故错误；命题若命题若A、B、C共线，共线，若若121，22021/4/233A、B、C共线，则正确共线，则正确.易知正确，易知

13、正确，命题命题|ab|两边平方两边平方|ab|13，即即a2b22ab13，2ab13|a|2|b|212，ab60，a与与b夹角为钝角夹角为钝角.答案答案:2021/4/2349.(2009浙江高考浙江高考)在在ABC中，角中，角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a， b，c，且满足，且满足(1)求求ABC的面积；的面积；(2)若若c1，求，求a的值的值.2021/4/235解：解：(1)因为因为所以所以又由又由得得bccosA3，所以，所以bc5.因此因此SABCbcsinA2.(2)由由(1)知，知，bc5.又又c1，所以，所以b5，由余弦定理，得由余弦定理，得a2b2c22bccosA20，所以所以122021/4/23610.(2010淮安模拟淮安模拟)已知：已知：A(5,0)，B(0,5)，C(cos，sin)， (0，).(1)若若，求，求sin2；(2)若若求求的夹角的夹角.2021/4/2372(1)(cos5,sin),(cos,sin5).,cos (cos5)(sin5)0,1sincos,51(sincos),2524sin2;25 ACBCACBCA