正弦函数、余弦函数、及函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质复习人教版

1、正弦函数、余弦函数、及函数y=Asin(x+)的图象和性质 复习 复习重点 会用“五点作图法”画出正弦函数、余弦函数及y=Asin(x+)的图象；掌握正弦常数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间、最小正周期；清楚y=sinx与y=Asin(x+)图象间的变换过程，了解振幅、频率、相位、初相的定义. 复习难点 准确理解周期函数的定义，灵活应用正弦函数、余弦函数的性质，求解以三角式确定的函数的性质. 内容 一、三角函数的图象和性质 sinx= Cosx= tgx= Ctgx= 定义域 xR xR x|xk+,kZ x|xk,kZ 值域 -1，1 -1，1 (-，+) (-，+) 图象 奇偶性

2、 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 单调增区间2k-,2k+kZ 单调减区间2k+,2k+kZ 单调增区间 2k-,2kkZ 单调减区间 2k,2k+kZ 单调增区间 (k-,k+), kZ 单调减区间 (k,k+)kZ 周期性 T=2 T=2 T= T= 对称性 对称中心: (k,0) kZ 对称轴: x=k+,kZ 对称中心: (k+,0)kZ 对称轴:x=k, kZ 对称中心:(,0) 对称中心: (,0) 最值 x=2k+时，y取最大值1； x=2k+时，y取最小值-1； kZ x=2k时，y取最大值1； x=2k+时，y取最小值-1； kZ 无 无 二、函数y=Asin(x+)

3、的图象和性质(A>0, >0) 1图象 函数y=Asin(x+)(A>0, >0)xR的图象可由y=sinx图象按下列顺序变换得到: 相位变换:把y=sinx图象上所有点向左(>0)或向右(<0)平行移动|个单位 周期变换:把所有各点的横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)到原来的倍（纵坐标不变） 振幅变换:把所有各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍（横坐标不变）； 研究正弦函数的目的，是为了揭示各种正弦函数图象的内在联系，但在作y=Asin(x+)的简图时，仍常常用“五点法”，这五点的取法是:设x=x

4、+，由x取0，2来求出对应的x的值 2性质 定义域:xR,值域:y-A,A. 奇偶性:=k+时为偶函数； =k时为奇函数，kZ. 单调性:单调增区间: kZ 单调减区间: kZ 周期性:T= 对称性:对称中心(,0)kZ 对称轴x=kZ 最值:x=时，y取最大值A x=时，y取最小值-A(kZ) 例题分析与解答 例1求函数的定义域. 分析与解答:要使函数运算有意义，必有 在数轴上标出不等式组中各不等式的解集. 显然不等式解集的交集合也具有周期性. 原函数的定义域，(kZ). 说明:利用正、余弦函数图象及周期性，是求解不等式sin(x+)m或sin(x+)<m以及nsin(x+)m的常见方

5、法（其中|m|1, |n|1). 例2求下列函数的值域. xRy=sinx+cosx+2sinxcosxxR 分析与解答:三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域. (1) 由x0,， .由正弦函数图象可知，即时， ymax=2, , 即x=时，ymin=-1. 所以函数值域为-1，2. (2) xR，去分母， 3y+ysinx=2-cosx, 移项整理 ysinx+cosx=2-3y, 由辅助角公式得 ,xR, , 即.平方整理得:8y2-12y+30, 解出， 所

6、以函数值域为. （3）由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 2sinxcosx=(sinx+cosx)2-1 y=sinx+cosx+2sinxcosx=(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)-1 令 xR, . 则y=t2+t-1, 当时， 当时，.所以函数值域为. 例3已知方程. （1）若方程在0，上有实根，求实数m的取值范围； （2）若方程在0，上有两个相异实根，求实数m的取值范围. 分析与解答:求解三角方程是个较困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解. （1）由 整理为 若要方程在0，上有实根，等价于以0，为定义域而求解函数值

7、y的取值范围.由x0，, , 当即x=0时，m有最大值1. 当，即时，m有最小值-2. m-2,1. （2）由，若在0，上有两个相异实根，即函数在0，上与函数y=m的图象有两个不同的交点，如图. 当-2<m-1时，方程有两个相异实根. 例4已知函数， xR. （1）当x取何值时，y取得最大值并求最大值； （2）求函数的最小正周期、单调递增区间； （3）求函数图象的对称中心坐标，对称轴方程.要使函数成为偶函数，向左平移最少单位是多少； （4）求函数在上的图象与的围成的封闭图形的面积； （5）函数图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移、伸缩变换而得到. 分析与解答:先将函数化为y=Asin

8、(x+)+C的形式，根据其图象及性质求解各个问题. （1） 当，即时 (kZ) ，. （2）最小正周期.由 ， 单调增区间是. （3）函数图象的对称中心，是图象与平衡位置所在直线y=1的交点；函数图象的对称轴，是经过图象上表示最大、最小值的点且与x轴垂直的直线.如图. 令y=1, , , ，对称中心坐标为， 当y取得最大，最小值时， ， ，为对称轴方程. 当k=0时，是y轴右侧离y轴最近的对称轴，所以将原函数图象向左平移最少为时，图象满足关于y轴对称，成为偶函数. （4）如图，在矩形ABFE中，M是图象的一个对称中心，所以A点与F点间的图象将矩形ABFE的面积平分，同理，F、D间的图象将矩形E

9、FCD的面积平分，故函数在上图象与围成封闭图形面积是矩形ABCD面积的，所求面积为. （5）先将y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数的图象；将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象；再将图象 上每个点的纵坐标变为原来的倍，而横坐标不变，得到函数的图象；最后将的图象向上平移1个单位，得到函数+1的图象. 课外练习 1下列函数中不是周期函数的是（ ）. A、y=|sinx|B、y=sin|x| C、y=|cosx|D、y=cos|x| 2函数的单调增区间是（ ）. A、B、 C、 D、（以上kZ）. 3y=Asin(x+)+m的最大值是4，最小值是0，最小正周期为是图象对称轴，则下面满足条件的解析式是（ ）. A、 B、C、D、 4函数为奇函数的充要条件是（ ）. A、B、=kC、D、（以上kZ）. 5函数f(x)=asinx+bco