波动习题课（课堂PPT）

1、1SUMMARY简谐波表达式简谐波表达式(波函数波函数)沿沿+x方向传播方向传播)2cos(0 xtAy)cos(0kxtA)(cos0uxtA)(2cos0 xTtA2简谐波的动力学简谐波的动力学其中其中2kkTu沿沿-x方向传播方向传播)2cos(0 xtAy质元的能量质元的能量3kpEE 0kpEEAy.max0kpEEy),( xtfEEkp波的强度波的强度(平均能流密度平均能流密度)2221AuuwI波动方程波动方程222221tyuxy43.惠更斯原理惠更斯原理4.半波损失半波损失叠加原理：叠加原理：iiyy相干条件：相干条件： 频率相同频率相同振动方向相同振动方向相同相位差恒定相

2、位差恒定5.简谐波的干涉简谐波的干涉从波疏到波密，垂直入射，反射时相位突从波疏到波密，垂直入射，反射时相位突变变 .5合振幅：合振幅：cos2212221AAAAA若若=2k (k=0, 1, 2, )则则A=A1 +A2若若=(2k+1) (k=0, 1, 2, )则则A= A1 -A2 66.驻波驻波形成条件形成条件特点：特点：各点振幅不同各点振幅不同波节：波节：A=0, x= /2波腹：波腹：A=2a, x= /2相邻波节之间同相，波节两侧反相相邻波节之间同相，波节两侧反相无能量的单向传播无能量的单向传播77.多普勒效应多普勒效应RSSvRvSSRRfvuvuf8EXERCISES平面简

3、谐波沿平面简谐波沿OX轴的负方向传播，波长为轴的负方向传播，波长为 ，P处质点的振动规律如图所示。处质点的振动规律如图所示。求求P处处质点的振动方程；质点的振动方程；求此波的波动方程；求此波的波动方程；若图中若图中d= /2，求坐标原点，求坐标原点O处质点的振动方处质点的振动方程。程。解：解：Ot(s)yP(m)-A1XOPd由由yt图知，振幅为图知，振幅为A9旋矢图：旋矢图：OXA可知：可知： 0= 又由又由 = t+ , 将将t=1s, =3 /2代入，得代入，得 = /2 (s-1)所以所以P处质点的振动方程为处质点的振动方程为)()2cos(SItAyP因该波沿因该波沿OX轴的负方向传

4、播，所以波动方轴的负方向传播，所以波动方程为程为)()(22cos(SIdxtAy10将将d= /2, x=0代入波动方程，得代入波动方程，得O处质点振处质点振动方程为动方程为)()2cos(SItAyO思考思考 若若P点在点在O点的左侧，结果？点的左侧，结果？11解：解：图示一平面简谐波在图示一平面简谐波在t=0时刻的波形图，求时刻的波形图，求该波的波动方程；该波的波动方程；P处质点的振动方程。处质点的振动方程。首先求首先求x=0处的振动方程处的振动方程oPX(m)Y(m)-0.040.20u=0.08m/s由波形图知：由波形图知：A=0.04 m, =0.40 m旋矢图：旋矢图：OXA可知

5、：可知： 0=- /212另外，另外， =2=2 u/ =0.4 (s-1)故振动方程为故振动方程为)()5 . 04 . 0cos(04. 0SIty据此可写出波动方程：据此可写出波动方程：)5 . 024 . 0cos(04. 0 xty)()5 . 054 . 0cos(04. 0SIxt将将x=0.20 m代入，得代入，得P点振动方程为点振动方程为)()5 . 14 . 0cos(04. 0SIty思考思考 若该波反向传播，结果？若该波反向传播，结果？13一平面简谐波振幅为一平面简谐波振幅为A，频率为，频率为 ，波沿，波沿X轴正方向传播。设轴正方向传播。设t=t0时刻波形如图所示，时刻

6、波形如图所示，则则x=0处质点振动方程为处质点振动方程为)(2cos)(210ttAyA)(2cos)(210ttAyB)(2cos)(210ttAyC)(2cos)(0ttAyDoXYu14解：解： 由波形图知：由波形图知：t=t0时刻，时刻，x=0处振动的相处振动的相位为位为 = /2, 故答案应为故答案应为(B).思考思考 该波的波函数？该波的波函数？15解：解：波速：令波速：令Bt-Cx=const. u=dx/dt=B/C若一平面简谐波的波动方程为若一平面简谐波的波动方程为y=Acos(Bt-Cx)，式中，式中A、B、C为正值恒量，则为正值恒量，则(A)波速为波速为C(B)周期为周期

7、为1/B(C)波长为波长为2 /C(D) 圆频率为圆频率为2 /B周期：周期：B=2 /T T= 2 /B波长：波长：C=2 / = 2 /C答案：答案：(C)思考思考 =? 0=? 波的传播方向波的传播方向?16一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中质元从最大位移处回到平衡位置的过程中(A)它的势能转换成动能它的势能转换成动能.(B)它的动能转换成势能它的动能转换成势能.(C)它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加量逐渐增加.(D)它把自己的能量传给相邻的一段媒质质元，它把自己的

8、能量传给相邻的一段媒质质元，其能量逐渐减小其能量逐渐减小.答案：答案：C思考思考在质元从平衡位置向外移动的过程中，在质元从平衡位置向外移动的过程中，结果结果?176.如图，两列波长为如图，两列波长为 的相干波在的相干波在P点相遇，点相遇，S1点的初位相是点的初位相是 1，S1到到P点的距离是点的距离是r1，S2点的初位相是点的初位相是 2，S2到到P点的距离是点的距离是r2，以以k代表零或正、负整数，则代表零或正、负整数，则P点是干涉极大点是干涉极大的条件为的条件为(A) r2-r1=k (B) 2- 1=2k (C) 2- 1+2 (r2-r1)/ =2k (D) 2- 1+2 (r1-r2

9、)/ =2k pS1S2r1r2解：解： 在在P点处，两列波引起的振动的相分别为点处，两列波引起的振动的相分别为 1 = t+ 1-2 r1/ 2 = t+ 2-2 r2/ 18P点是干涉极大的条件为点是干涉极大的条件为 2 - 1 = 2- 1+2 (r1-r2)/ =2k 答案：答案：D思考思考 (A)(B)(C)错在哪里错在哪里?P点是干涉极小的条件点是干涉极小的条件?197.7.一平面简谐波沿一平面简谐波沿X X轴正向传播轴正向传播, ,波动方程为波动方程为Y=Acos2Y=Acos2(t-x/u)+11(t-x/u)+11 /6,/6,在在x=3x=3 /4/4处有反射处有反射面如图

10、面如图, ,则考虑半波损失时则考虑半波损失时, ,反射波在反射点的振反射波在反射点的振动方程为动方程为 (A) y=A (A) y=Acos(2cos(2t+4t+4 /3)/3) (B) y=A (B) y=Acos(2cos(2t+t+ /3)/3) (C) y=A (C) y=Acos(2cos(2t-t- /3)/3) (D) y=A (D) y=Acos(2cos(2t+2t+2 /3)/3)疏疏密密O Ox x3 3 /4/4反射波的波动方程为反射波的波动方程为 (A) y=A (A) y=Acos2cos2(t+x/u)(t+x/u) (B) y=A (B) y=Acos2cos

11、2(t-x/u)+ (t-x/u)+ /6/6 (C) y=A (C) y=Acos2cos2(t+x/u)- (t+x/u)- /6/6 (D) y=A (D) y=Acos2cos2(t+x/u)+(t+x/u)+ (A)(A)(C)(C)208.8.波源波源s s1 1和和s s2 2的振动表达式分别为的振动表达式分别为y y1 1=0.1=0.1cos2cos2 tcmtcm和和y y2 2=0.1=0.1cos(2cos(2 t+t+ )cm,)cm,它们在它们在P P点处相遇而叠加点处相遇而叠加, ,若若s s1 1p=40cm,sp=40cm,s2 2p=50cm,p=50cm,

12、波速波速u=20cm/s,u=20cm/s,则则s s1 1和和s s2 2的的波动方程分别为波动方程分别为: : (A) y=0.1 (A) y=0.1cos(2cos(2 t+t+ r)cmr)cm (B) y=0.1 (B) y=0.1cos(2cos(2 t- t- r/10)cm r/10)cm (C) y=0.1 (C) y=0.1cos(2cos(2 t- t- r/10+r/10+ )cm )cm (D) y=0.1 (D) y=0.1cos(2cos(2 t- t- r/20)cm r/20)cm s s2 2s s1 1P Pr r两波传到两波传到P P处的振动位相差为处的

13、振动位相差为 (A) (A) (B) 0 (B) 0 (C) 4(C) 4 (D)3 (D)3 (B) (B) (B) (B) (C)(C)219.9.如图如图, ,两列平面简谐相干横波两列平面简谐相干横波, ,在两种不同的媒在两种不同的媒质中传播质中传播, ,在分界面上的在分界面上的P P点相遇点相遇, ,频率频率 =100Hz,=100Hz,振振幅幅A A1 1=A=A2 2=1.00=1.00 1010-3-3m, sm, s1 1的位相比的位相比s s2 2的位相超前的位相超前 /2,/2,在媒质一中的波速在媒质一中的波速u u1 1=400m/s,=400m/s,在媒质二中的波速在媒

14、质二中的波速u u2 2=500m/s ,s=500m/s ,s1 1P=rP=r1 1=4.00m, =4.00m, s s2 2P=rP=r2 2=3.75m,=3.75m,则则P P点的点的合振幅为合振幅为_._.x xs s1 1s s2 2r r2 2r r1 12 21 1A=2.00A=2.00 1010-3-3m m2210.10.有一平面余弦横波有一平面余弦横波, ,其质点振动的振幅和圆频其质点振动的振幅和圆频率分别为率分别为A A和和 , ,波沿波沿x x轴正方向传播轴正方向传播, ,波速为波速为u,u,设设某一瞬时的波形某一瞬时的波形如图如图( (以图示瞬时开始计时以图示

15、瞬时开始计时) ) (1) (1)分别以分别以o o、p p点为坐标原点写出波动方程；点为坐标原点写出波动方程； （2 2）t=0t=0时，距时，距O O点为点为 /8/8处质点振动的速度和处质点振动的速度和加速度。加速度。oyx /8/8pu解：解：(1) y=A(1) y=Acoscos (t-x/u)+(t-x/u)+ /2O/2O为原点为原点y=Ay=Acoscos (t-x/u)+(t-x/u)+ PP为原点为原点v= v= - - 2/22/2A A (2) v=-A(2) v=-A sinsin (t-x/u)+(t-x/u)+ /2/2 a= a=-A-A 2 2coscos

16、(t-x/u)+(t-x/u)+ /2/2a= a= - - 2/22/2A A 2 22311.设入射波的方程式为设入射波的方程式为)(2cos1TtxAy在在x=0处发生反射，反射点为一固定端，设处发生反射，反射点为一固定端，设反射时无能量损失，求：反射时无能量损失，求：反射波的方程式；反射波的方程式；合成的驻波的方程式；合成的驻波的方程式；波腹和波节的位波腹和波节的位置。置。解：解：因反射点为固定端，故反射波有半波因反射点为固定端，故反射波有半波损失。损失。在在x=0处，入射波引起的振动为处，入射波引起的振动为TtAy2cos1024反射波引起的振动为反射波引起的振动为)2cos(20T

17、tAy反射波是沿反射波是沿+x方向传播，故其方程为方向传播，故其方程为)(2cos2xTtAy驻波方程式为驻波方程式为)22cos()22cos(221TtxAyyy)22cos()2sin(2TtxA25波腹位置：令波腹位置：令1)2sin(x2) 12(2kx)(4/) 12(为整数kkx波节位置：令波节位置：令0)2sin(xkx2)(2/为整数kkx26思考思考 若反射点为自由端，则波腹、波节位若反射点为自由端，则波腹、波节位置置?2712.12.同一媒质中有两个平面简谐波，波源作同方向、同一媒质中有两个平面简谐波，波源作同方向、同频率、同振幅的振动，两波相向传播，波长同频率、同振幅的

18、振动，两波相向传播，波长8 8米，米，波线上波线上a a、b b两点相距两点相距2020米，其中一波在米，其中一波在a a处为波峰处为波峰时，另一波在时，另一波在b b处位相为处位相为- - /2/2，求，求abab连线内因干涉连线内因干涉而静止的各点位置。而静止的各点位置。解解: :设在设在a a处为波峰的波沿正向传播处为波峰的波沿正向传播, ,表达式为表达式为: :y y1 1=A=Acos(cos( t-2t-2 x/x/ ) ) y y2 2=A=Acos(cos( t+2t+2 (x-d)/(x-d)/ - - /2)/2)则另一波沿反向传播则另一波沿反向传播, ,表达式为表达式为: :x x0 0a ab bx xo o合振幅合振幅 A = (A12+A22 +2A1A2cos )1/2 =2 A12(1+ cos ) 1/228cos =-1满足干涉为零的点须满足满足干涉为零的点须满足:相位差相位差: = 2- 1 = -