奥本信号课件

1、与主 讲 教 师： 赵 仕 良第2章线性时不变系统Linear Time-Invariant Systems系统信号信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良本章主要内容：信号的时域分解用d (n)表示离散时间信号；用 d (t) 表示连续时间信号。LTI系统的时域分析卷积与卷积和。LTI系统的微分方程及差分方程表示。LTI系统的框图结构表示。奇异函数。信号与系主讲教由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。师： 赵 仕 良基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号的响应，就可以利用系统

2、的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。统2.0 引言 ( Introduction )信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良问题的实质：（1）.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组任意信号；（2）. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。要求：（1）.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（）尽可能广泛的其它信号；（2）.LTI系统对这种信号的响应易于求得。信号与系统如果解决了信号分解的问题，即：若有主 讲 教 师： 赵 仕 良x(t) = å a x (t)xi (t) ®

3、; yi (t)ii¯iy(t) = å ai yi (t)则i分析方法：将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、频域分析法或变换域分析法。信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良（Discrete-Time LTI Systems:The ConvolutionSum）一.用脉冲表示离散时间信号离散时间信号中,最简单的是d (n ),可以由它的线u (n)，即：性组合¥u(n) = åd (n - k)k =0对任何离散时间信号 x(n) ,如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点

4、都可以表示为不同、不同位置的脉冲。2.1离散时间LTI系统：卷积和信号与主 讲 教 师： 赵 仕 良系统信号与系统¥x(n) = å x(k)d (n - k)于是有：主 讲 教 师： 赵 仕 良k =-¥表明：任何信号x(n)都可以被分解成移位位脉冲信号的线性组合。的单卷积和（Convolution sum）二.1.数学上卷积和（卷和）的定义：（Theconvolution sum）¥¥f1n* f2 n = å f1k f2n - k = å f2 k f1n - k k =-¥f1n 和k =-¥的

5、卷积和（卷和）将上式称为f2n信号与系统h(n)( impulse response2.脉冲响应)主 讲 教 师： 赵 仕 良离散LTI系统对 d (n)的响应称为脉冲响应。3.如果一个线性系统对 d (n - k) 的响应为 hk (n)，x(n)的响应为由线性特性就有系统对任何输入y(n) = å x(k )hk (n)k =-¥若系统具有时不变性，即：¥d (n - k ) ® h(n - k )若 d (n) ® h(n) ，则¥因此，y(n) = å x(k)h(n - k) = x(n) * h(n)k =-&#

6、165;信号与系统三.卷积和的计算主 讲 教 师： 赵 仕 良计算方法：有图解法、列表法、法（包括数值解法）、用公式和性质来计算卷和、利用Z变换来计算卷和有限序列相卷用列表的方法。运算过程：将一个信号 x(k)不动，另一个信号经反转后成为 h(-k ),再随参变量 n 移位。在每个 n值的情况h(n - k)对应点相乘，再把乘积的下，将 x(k) 与各点值累加，即得到 n 时刻的y(n)。h(n) = u(n)例1： x(n) = a nu(n)0 < a < 1信号与y(n) = x(n) * h(n)主 讲 教 师： 赵 仕 良¥¥= å x(k)

7、h(n - k) = å a k u(n - k)u(k)k =-¥k=-¥= 1-a n+1u(n)n= åk =0a k1-ax(k ) = a ku (k )1h(n - k ) = u (n - k )kn00系统1.k信号与系统0 £ n £ 4otherwisex(n) = ì1主 讲 教 师： 赵 仕 良例2：íî0a > 1, 0 £ n £ 6otherwiseìa nh(n) = íî 0h(n - k ) = a n-kx(k

8、)knn - 60401k信号与系统n < 0y(n) = 0y(n) = åa n-k时，主 讲 教 师： 赵 仕 良nn= a n åa - k0 £ n £ 4时，k =0k =01- a -(n +1)1- a n +1= a×n=1- a -11- a4 £ n £ 61- a -54时，y(n) = åan -k= a×1- a -1nk =0= a n- 4 - a n+11- aa n-4-a 746 £ n £ 10 时，å a n- ky(n) =1

9、 -ak =n -6y(n) = 0n > 10时，信号与系统通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。主 讲 教 师： 赵 仕 良例3.列表法（或借助于数学的乘法）分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：x(n)与 h(n)的所有各点都要遍乘一次；¥å x(k )h(n - k ) ，在遍乘后，各点相加时，根据k =-¥x(k) 与 h(n - k)的宗量之参与相加的各点都具有和为 n的特点。信号与系统x(0)1x(1)0x(2)2x(3)1主 讲 教 师： 赵 仕 良h(n)x(n)h(-1)h(0)h

10、(1)h(2)h(3)12031y(4)00002406120312031y(-1)y(0)y(1)y(2)y(3)021y(5)y(6)优点：计算非常简单。缺点：只适用于两个有限长序列的卷积和；一般情况下，无法写出 y(n)的封闭表达式。信号与系统四、卷积和常用公式主 讲 教 师： 赵 仕 良n n+1 -n n+1n nu(n) *n nu(n) = 12u(n)2n -n112n nu(n) *n nu(n) = (n +1)n nu(n)五、h(n) 的计算方法利用Z变换来计算用算符法来计算信号与系统连续时间LTI系统：卷2.2主 讲 教 师： 赵 仕 良一.用冲激信号表示连续时间信号

11、与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位的冲激信号的线性组合。至少t阶跃与冲激之间有这¥òt )dt = ò0d (t - t )dtd (u (t ) =种关系：-¥对一般信号 x(t)，可以将其分成很多D 宽度的区x(t)。当 D®0段，用一个阶梯信号xD (t) 近似表示xD (t ) ® x(t )时，有（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral ）信号与系统x(t)主 讲 教 师： 赵 仕 良x(kD)xD (t)tDkD(k +1)

12、D0(t) = ì1/ D0 < t < Dotherwise，即：dd(t)íDD0î0 < t < Dotherwise(t) = ì1则有： Ddí0Dî信号与系统第k个矩形可表示为：x(kD)dD (t - kD) ×D主 讲 教 师： 赵 仕 良这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号xD (t)，¥即： x (t) = å x(kD)d (t - kD) × DDDk =-¥D ® dtå® òD ® 0kD

13、 ® t当时，dD (t - kD) ®d (t -t )xD (t) ®x(t)¥òx(t)d(t -t)dtx(t) =于是：-¥表明：任何连续时间信号 x(t )都可以被分解成移位的冲激信号的线性组合（连续分解）。信号与系统*二.卷积（The convolution integral）主 讲 教 师： 赵 仕 良与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对d (t -t )的响应为 h (t)，则该系统对x(t)的响应可t¥òx(t )h (t )dt表示为：(=y t)t-¥若系统是时不变的，即：

14、若 d (t) ® h(t)，则有:d (t -t ) ® h(t -t )于是系统对任意输入x(t)的响应¥可表示为： y(t) = ò-¥ x(t )h(t - t )dt = x(t) * h(t)冲激响应h(t)表明:LTI系统可以完全由它的来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积（The convolution integral）。信号与系统三.卷积的计算主 讲 教 师： 赵 仕 良卷积的计算与卷积和很类似，也有图解法、法和数值解法、利用公式和性质、利用FT和LT来计算、微分冲击法。运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不

15、动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一个 tx(t )和h(t -t )对应相乘，再计算相的值，将乘后曲线所包围的面积。通过图形帮助确定用的。区间和上下限是很有信号与系统x(t) = e-atu(t) ,a > 0h(t) = u(t)例1:主 讲 教 师： 赵 仕 良¥y(t) = x(t) * h(t) = ò-¥ x(t )h(t -t )¥= ò-¥ e-atu(t )u(t -t )dt1atò-at-att =(1 - eed)u(t)0u(t -t )ttt0011x(t )信号与系统例2 :主 讲

16、教 师： 赵 仕 良0 < t < 2Totherwise0 < t < Totherwiseì1ìth(t) = íx(t) = í0î0î¥y(t) = x(t) * h(t) = ò-¥ x(t )h(t -t )dt= ò-¥ x(t -t )h(t )dt¥x(t -t )h(t )t - T002T2Tt1tt信号与系统y(t) = 0当 t < 0时，主 讲 教 师： 赵 仕 良t1y(t) =t dt =t2ò当 0 &

17、lt; t < T时时，201t当T < t < 2T 时，y(t) = òt dt = Tt -T22t -T2T- 1 (t - T )22Tòt dt =y(t) =2当 2T <t <3T 时，2t -Ty(t) = 0当 t > 3T时，3212t0T2T3TT 2T 2y(t)信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良四、常用卷积的公式el1t - el2tl1 - l2el1tu(t)* el2tu(t) =u(t)eltu(t)*eltu(t) = teltu(t)五、h(t)计算方法利用算符法来计算利用傅立叶变换和拉氏变换来

18、信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良一.卷积与卷积和的性质1. 交换律：y (n ) = x (n ) * h (n ) =¥åx (k )h (n - k )k = -¥¥åk = -¥=x (n - k )h (k ) = h( n) * x( n)¥òx (t )h (t - t )dty (t ) = x (t ) * h (t ) =-¥¥= ò-¥x(t - t )h (t )dt= h (t ) * x (t )2.3线性时不变系统的性质（ Propertie

19、s of Linear Time-Invariant Systems ）信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良h(n)x(n)h(t)y(t)x(t)y(t)Þx(n)y(n)h(n)y(n)结论：一个冲激响应是h(t)的LTI系统对输入信号x(t)所产生的响应，与一个冲激响应是x(t)的LTI系统对输入信号h(t)所产生的响应相同。x(t)h(t)信号与系统2. 分配律：主 讲 教 师： 赵 仕 良x(n) *h (n) + h (n) = x(n)* h (n)+ x(n)* h (n)1212x(t) *h (t) + h (t) = x(t) * h (t) + x(t) *

20、 h (t)1212y(n) = x(n) *h (n) + h (n)x(n)12x(t )y(t) = x(t) *h (t) + h (t)12h1(t) + h2(t)Þh (t)x(n)*h1(n)1x(n)y(n)Åy(t)x(t)x(n)*h (n)h2 (t)2h2 (n)h1(n)h1(n) + h2(n)信号与系统结论：两个LTI系统并联，其总的脉冲(冲激)响主 讲 教 师： 赵 仕 良应等于各子系统脉冲(冲激)响应之和。3.结合律:x(n) * h1(n)* h2 (n) = x(n) *h1(n) * h2 (n)x(t) * h1(t)* h2 (

21、t ) = x(t ) *h1 (t ) * h2 (t )x(t) *h1(t)y(t) =x(t)*h1(t)*h2(t)y(n) =x(n)*h1(n)*h2 (n)x(t)x(n)h (n)h (n)12h2 (t)h1(t)信号与系统Þx(t)主 讲 教 师： 赵 仕 良y(t) = x(t) *h1 (t) * h2 (t)y(n) = x(n) *h1 (n) * h2 (n)x(n)h (n) * h (n)12结论：两个LTI系统级联时，系统总的冲激(脉冲)响应等于各子系统 由于卷积运算满次序可以调换。冲激(脉冲)响应的卷积。换律，因此，系统级联的先后h1(t )

22、* h2 (t)信号与系统x(n) * h1 (n) * h2 (n) = x(n)* h2 (n)* h1 (n)主 讲 教 师： 赵 仕 良x(t) * h (t) * h (t) = x(t) * h (t) * h (t)1x(n)221y (n)x(t )y (t )h (t )h (t)12x(n)y(n)=x(t)y(t )h2 (t )h1 (t )产生以上结论的前提条件：系统必须是LTI系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。h1 (n)h2 (n)h2 (n)h1 (n)信号与系统y(t) = 2x2 (t)如： x(t)主 讲 教 师： 赵 仕 良若交换级联次序，即成为：y(

23、t) = 4x2(t)x(t)显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。h1(n) = d (n) - d (n -1),h2 (n) = u( n)又如：若，虽然系统都是LTI系统。当x(n) = 1时，如果交换级联次序，则由于 x(n) * u(n)不收敛，因而也是不x(n) = 1y (n) = 0的。0h2 (n )h1 (n )平方乘2乘2平方信号与系统4. 卷积运算还有如下性质：主 讲 教 师： 赵 仕 良卷积满足微分、及时移特性：若 x(t) * h(t) = y(t) ，则x¢(t) * h(t) = x(t) * h¢(t) = y¢(t)t

24、ttòòòt )dt * h(t ) = x(t) *t )dt = t )dt x(h(y(-¥-¥-¥推广情况若 x(t)*h(t) = y(t) ，则x(t -t0)*h(t) =x(t)*h(t -t0) = y(t -t0)推广情况信号与系统卷积和满足差分、求和及时移特性：主 讲 教 师： 赵 仕 良若x(n) * h(n) = y(n)，则x(n) - x(n - 1)* h(n) = y(n) - y (n - 1)nnn å x(k) * h(n) = x(n) * å h(k) = å

25、y(k)k =-¥k =-¥k =-¥若x(n) * h(n) = y(n)，则x(n - n0 ) * h(n) = x(n)* h(n - n0 ) = y(n - n0 )推广情况恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：信号与系统例如：2.2 中的例2微分冲击法主 讲 教 师： 赵 仕 良x¢(t) = d (t) - d (t - T )将x(t)微分一次有:h(t)x¢(t)(1)T*t0(-1)02T根据微分特性有:y¢(t ) = x¢(t ) *h(t ) = h(t ) *d (t ) - d (t -T

26、)= h(t ) - h(t -T )2Tt信号与系统y¢(t)主 讲 教 师： 赵 仕 良2TTt2T0T3T-T-2T32利用特性即可得:tòy¢(t )dty(t ) =12-¥t03TT2TT 2T 2y(t)信号与系统计算：主 讲 教 师： 赵 仕 良e-t+1u(t +1) * e-2tu(t - 3) = 2-n+1u(n +1) *3n u(n -1) = Pt (t)* Pt (t) =微分冲击法的条件：（1） 相卷信号的几次微分出现冲击和冲击的微分信号（2） 相卷信号的几次微分出现和原来信号相似的波形信号与系统二.LTI系统的性质和冲

27、击（脉冲）响应的主 讲 教 师： 赵 仕 良冲激响应是系统本质的一种描述，现在研究系统某种特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）所对应的冲激/脉冲响应的体现。1. 记忆性：¥根据 y(n) = å x(k )h(n - k )，如果系统是无记忆的，k =-¥则在任何时刻 n ， y(n) 都只能和 n时刻的输入有关，和式中只能有k = n 时的一项为非零，因此必须有：h(n - k ) = 0,k ¹ n 即：h(n) = 0,n ¹ 0信号与系统脉冲/冲激响应为：所以，无记忆系统的主 讲 教 师： 赵 仕 良此时，x(n) * h(n) =

28、kx(n)x(t)* h(t) = kx(t)当k = 1时系统是恒等系统。如果LTI系统的冲激/脉冲响应不满足上述要求，则系统是记忆的。2. 可逆性：如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是LTI系统，它们级联起来统。一个恒等系h(n) = kd (n)h(t) = kd (t)信号与系统x(t)x(t)g(t )h(t)主 讲 教 师： 赵 仕 良因此有：h(t) * g(t) = d (t)h(n) * g( n) = d( n)例如：延时器是可逆的LTI系统， h(t) = d (t - t0 )其逆系统是 g(t) = d (t + t0 )，显然有：h(t) * g

29、 (t) = d (t - t0 )*d (t + t0 ) = d (t ) 累加器是可逆的LTI系统，其 h(n) = u(n) ，其逆系统是g(n) = d (n) - d (n -1) ，显然也有：，h(n) * g(n) = u(n) *d (n) - d (n -1)= u(n) - u(n -1) = d (n)信号与系统但差分器是不可逆的。主 讲 教 师： 赵 仕 良3. 因果性：¥åy (n) =x(k )h(n - k ) ，当LTI系统是因果系统由k =-¥时，在任何时刻 n ， y(n)都只能取决于n 时刻及其以前的输入，即和式中所有k &

30、gt; n 的项都必须为零，h(n - k) = 0,k > n即：或:对连续时间系统有:这是LTI系统具有因果性的充分必要条件。h(t) = 0,t < 0h(n) = 0,n < 0信号与系统4. 稳定性：根据稳定性的定义，由主 讲 教 师： 赵 仕 良¥y(n) = å h(k )x(n - k)，k =-¥若系统稳定，则要若 x(n) 有界，则 x(n - k)£ A求 y(n) 必有界，由¥¥¥å h(k) x(n - k) £ åx(n - k) £ A

31、åk =-¥y(n) =h(k)h(k)k =-¥k =-¥可知，必须有:¥-¥òh(t ) dt < ¥对连续时间系统，相应有:这是LTI系统稳定的充分必要条件。¥å h( n) < ¥n = -¥信号与系统5. LTI系统的阶跃响应：主 讲 教 师： 赵 仕 良在工程实际中，也常用阶跃响应来描述LTI阶跃响应就是系统对 u(t)或 u(n)所产生系统。的响应。因此有:s(t) = u(t) * h(t)s(n) = u(n) * h(n)LTI系统的特性也可以

32、用它的阶跃响应来描述。ns(n) = å h(k )h(n) = s(n) - s(n -1)k =-¥tds(t) = ò-¥ h(t )dth(t) = dt s(t )信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良( Causal LTI Systems Described by Difference Equations )Differential and在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。一.线性常系数微分方程（Linear Const

33、ant-Coefficient DifferentialEquation）dk y(t) =dk x(t)NMåakk =0åbkk =0a, b,均为常数kkdt kdt k2.4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统信号与系统通常是求出通解 yh (t)和一个特主 讲 教 师： 赵 仕 良经(t)，则 y(t) = y(t) + y (t)解y。特解 y(t)是与输pphp同类型的函数，通解 yh (t) 是齐次方程的x(t)入d k y(t)N解，即 åak= 0的解。欲求得齐次解，可根dtkk =0N据齐次方程建立一个特征方程：åa l= 0k求

34、出kk = 0其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解l的形式为：称为系统的特征根或极点kNåk =1l t(t ) =yC e,其中C 是待定的常数。khkk信号与系统要确定系数 Ck ，需要有一组条件，称为附加条件。主 讲 教 师： 赵 仕 良的C角度来看，这一组附加条仅仅从确定待定系数k件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。零输入零状态法当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系统零输入零输出的特性。x(t) = 0时， y(t) = 0。也就是系统在没有输入，即此时，微分方程就蜕变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零，这

35、就要求所有的Ck都为零。信号与系统也就是要求确定待定系数所需的一组附加条件的主 讲 教 师： 赵 仕 良值必须全部为零，即：LCCDE具有一组零附加条件时，才能描述线性系统。可以证明：当这组零附加条件在信号加入的时刻给出时，LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不变的。在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始条件。信号与系统结论：LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述一个LTI因果系统。这组条件是：主 讲 教 师： 赵 仕 良y(0) = 0,y¢(0) = 0,y( N -1) (0) = 0LL如果一个因果的LTI系统由LCCDE描述，且方程具有零初始条件，就称

36、该系统初始是静止的或最初是松弛的。如果LCCDE具有一组不全为零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是增量线性的。信号与系统二. 线性常系数差分方程:(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)一般的线性常系数差分方程可表示为：åak y(n - k ) = åbk x(n - k )主 讲 教 师： 赵 仕 良NMk =0k =0与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特解yp (n) 和通解，即齐次解 yh (n)来进行，其过程与解微分方程类似。要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加条件。同样地，当LCCDE具

37、有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。信号与系统对于差分方程，可以将其改写为：主 讲 教 师： 赵 仕 良éù1MNêåbk x(n - k) - å ak y(n - k )úy(n) =a0ë k =0ûk =1可以看出：要求出 y(0) ，不仅要知道所有的 x(n)，还要知道 y(-1), y(-2),L L, y (- N ) ，这就是一组初始条件，由此可以得出 y(0) 。进一步，又可以通过y(0)y(-1), y(-2),L L , y(-N +1) ，求得y(1)和，依次类推

38、可求出所有n ³ 0时的解。若将差分方程改写为：信号与系统1 éN -1ùMêåbk x(n - k ) - å ak y(n - k )úy(n - N ) =主 讲 教 师： 赵 仕 良aNë k = 0ûk = 0则可由y(1), y(2),L L , y( N )求得y(0) ，进而由y(0), y( N - 1) 可求得 y(-1)，依次可推出y(1), y(2),L Ln £ 0 时的解。由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程（recursive equation）。当

39、ak = 0, k ¹ 0 时，差分方程变为：My(n) = åk =0bkx(n - k)a0信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良此时,求解方程不再需要迭代运算，因而称为非递归方程（nonrecursive equation）显然，此时方程就是一个卷积和的形式，相当于h(n) = bn ,0 £ n £ Ma0脉冲响应 h(n)此时，系统是有限长的,因而把这种方程描述的LTI系统称为FIR（FiniteImpulse Response）系统。将递归方程描述的系统称为IIR（Infinite Impulse Response）系统,此时系统的脉冲响应是

40、一个无限长的序列。信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良FIR系统与IIR系统是离散时间LTI系统中两类很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有与输入相同的函数形式，即特解是由输入信号完全决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为受迫响应或强迫响应。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应。信号与系统增量线性系统的响应分为零状态响应和零输入响应。零输入响应由于与输入信号无关，因此它属于自然响应。零状态响应既与输入信号有 关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。主 讲 教 师： 赵 仕 良三.

41、由微分和差分方程描述的LTI系统的方框图表示（Block-Diagram Respresentation of the LTIdescribed by LCCDE）System信号与系统由LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的主 讲 教 师： 赵 仕 良运算关系，就会更加形象直观；另一方面,分析系统很重要的目的是为了设计或实现一个系统,用图、硬形表示系统的数学模型,将对系统的特性件或软件实现具有重要意义。不同的结构也会在设计和实现一个系统时带来不同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难度等方面都会有差异。信号与系统1. 由差分方程描述的LTI

42、系统的方框图表示：主 讲 教 师： 赵 仕 良éa y(n - k)ù1MNêå kå ky(n) =b x(n - k) -由可看出：úaëk =0ûk =10方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）。可用以下符号表示：aax(n -1)x(n)a + bÅDbM若令 w(n) = åbk x(n - k )k =0,则信号与系统éù1Ny(n) =êw(n) - åak y(n - k )úa主 讲 教 师： 赵 仕 良ë

43、ûk =10据此可得方框图：w(n)y(n)1/ ax(n)w(n)bÅ0Å0Db1ÅÅDb2ÅÅM -aMMMbÅN -1M -1Å直接型DD-abMN-a1D-a2D信号与系统将其级联起来,就成为LCCDE描述的系统，它具主 讲 教 师： 赵 仕 良有与差分方程完全相同的运算功能。显然,它可以看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序,移位单元合并，于是得到：并将x(n)y(n)1 / a0b0ÅÅD- a1b1ÅÅD-a2b2ÅÅM-aN

44、-1MM直接型bN -1ÅÅD- abNN信号与系统2. 由微分方程描述的LTI系统的方框图表示：主 讲 教 师： 赵 仕 良dkdk x(t)Ny(t)Nå a= åb由看出它也包括三种基本kkdtkdtkk =0k =0运算：微分、相加、乘系数。但由于微分器不仅在工程实现上有，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用器而不用微分器。将微分方程两边同时N 次，即可得到一个积Nåk = 0N(t) = å bk = 0分方程：ayx(t)k( N - k )k( N - k )信号与系统方程完全按照差分方程的办法有：对此主 讲

45、教 师： 赵 仕 良1 éN -1ùNêåbk x( N - k) (t) - å ak y( N- k) (t)úy(t) =aNëk =0ûk =0x(t)w(t)w(t)y(t)bN1 / aNÅÅòò-abÅÅN -1N -1òò-aN -2bN -2ÅÅMMMM-abÅÅ11直接型òò-a0b0信号与系统通过交换级联次序，合并器可得直接型：主 讲 教 师： 赵 仕 良

46、x(t)y(t)1/ aNbNÅÅÅÅÅÅN -2M -aMMbÅÅ11ò-a0b0直接型-aN -1òbN -1-aòbN -2信号与系统主 讲 教 师： 赵 仕 良冲激时，开始将 d (t) 定义为在第一章介绍du (t ) 显然是不严密的，因为u (t ) 在t =0 不连d (t ) =d t续。进而采用极限的观点，将d (t ) 视为dD (t)在D®0时的极限。这种定义或描述 d (t) 的方法在数学上仍D®0然是不严格的，因为可以有许多不同函数在时都表

47、现为与dD (t)有相同的特性。例如:以下信号的面积都等于1，而且在 D ® 0时，它们的极限都表现为冲激。2.5 奇异函数（Singularity function）信号与rD (t) = dD (t) *dD (t)dD (t )主 讲 教 师： 赵 仕 良1D1Dt2DD00DrD (t) * rD (t)1Dt02D4D系统t信号与t1-主 讲 教 师： 赵 仕 良0sin ptD0系统1D Dp tt1DD eD u (t )t信号与系统之所以产生这种现象，是因为 d (t) 是化主 讲 教 师： 赵 仕 良的非常规函数，被称为奇异函数。通常采用在卷积或运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。通过卷积定义 d (t)一.从系统的角度,可以说 d (t) 是一个恒等系统的冲激响应,因此，x(t) = x(t) *d (t) 是在卷积运算下d (t) 的定义。这就根据定义可以得出 d (t)的如下性质：信号与系统x(t) *d (t) = x(t)d (t) *d (t) = d (t)当 x(t) = 1时，有主 讲 教 师： 赵 仕 良d (t -t0 ) *d (t) = d (t -t0 )¥¥x(t) *d (t) = ò-¥ x(t -t