正定二次型和正定矩阵

1、2021/4/21 14 正定二次型和正定矩阵一、基本概念二、正定矩阵的充分必要条件三、正定矩阵的性质2021/4/22 2一、基本概念定义定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵.定义定义 如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A 称为半正(负)定矩阵.定义定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型是不定的.2021/4/23 3例例222212211222221221122212()221112()22

2、111210.01fghfxxxxx xxAgxxxxx xxAhxxA 正定二次型,正定矩阵;负定二次型,负定矩阵;不定二次型不定矩阵2021/4/24 4二、正定矩阵的充分必要条件定理定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数.证明证明 设实对称矩阵A的特征值 都是正数.存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵,其对角线元素为 , 对于 令 1,n 1,nTTTTT21()()0.niiifX AXQYAQYYQ AQ YYYy 10,0,n,XO 1,YQ X 即 ,显然 又 故XQY ,YO 这就证明了条件的充分性.2021/4/25设A是正定矩阵,而 是其任意特征

3、值, X是属于 的特征向量, 则有 ,AXX 于是TTT0,0,0.X AXX XX X 故必要性得证.推论推论 若A是正定矩阵,则|A|0.证明证明 TTT111,| | | | | |0.nQ AQQ AQQA QQA QQA QA 52021/4/26 6定理定理 实对称矩阵A负定的充分必要条件是其特征值都是负数.2021/4/27 7例例 判断下列矩阵是否为正定矩阵622250 .207A 解解622622250250207207EA 2021/4/28 822123(6)(5)(7)4(5)4(7)(6)(5)(7)848(6)(1235)8(6)(6)(1227)=(3)(6)(9

4、).3,6,9.2021/4/29 9 E:=matrix(1,0,0,0,1,0,0,0,1);A:=matrix(6,-2,2,-2,5,0,2,0,7);f:=det(lambda*E-A);f_factor:=factor(f); := E100010001 := A6-22-250207 := f318 299 162 := f_factor()6 ()3 ()92021/4/21010例例设A为n阶实对称矩阵,且满足 证明A为正定矩阵.证明设 为A的特征值,则 为 的特征值,故 32243.AAAEO 32243 32243AAAEO 322430,2021/4/211113232

5、222222431242(1)(1)2(1)(1)(3)0,1.30,( 1)12110. 230 无实根.A的特征值为1,n重故A是正定矩阵.2021/4/21212定理定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同.证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可逆矩阵C,使得 对于任意向量XO,由于C可逆,可从 解出Y O,于是T,C ACE CYX TT210,niiX AXYYy 故A是正定的.必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对称的,A合同于一个对角矩阵 ,其对角线元素是A的特征值 由于A是正定的,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,故A合同于单位矩阵.

6、, 1,n 2021/4/213定理定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP.证明设A=PTP,P可逆.对于任意 ,由于P可逆,PXo,故Xo ,Xo 2TTT()0.X P PXPXPXPX设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.2021/4/214例例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得RTAR和RTBR同时为对角形.证明证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则TTTTT,R ARQ P APQQ EQER BR为对角形.2021/4/215例A,B正定

7、,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.证明必要性设AB正定,则AB对称,充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,AB=CCTBCTBC, CTBC是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.TTT().ABABB ABA 2021/4/21616定理定理 n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与负单位矩阵 合同.nE 2021/4/21717为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进定义定义 给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式.即(),ijn nAa |,1,sijs sAasn 1112131112111232122232

8、122313233(),aaaaaAaAAaaaaaaaa 2021/4/2181811111111,.snsnsssnnnaaaaAAAaaaa 的行列式的行列式.定理定理 实对称矩阵 正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零.()ijn nAa 证明证明 必要性设A是正定矩阵,则对于非零向量1(,),iiXxx TT()0.iTiiiiXX A XXO AO即Ai为正定矩阵,故其行列式0.iA 2021/4/21919充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式0.要证明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:21111110,0,0.axa x 设对于n1结论成立.An-1正定,存在n-1

9、阶非退化矩阵G,使得T11.nnG AGE 令11,| | 0.1GOCCGO则T1T11TTTTTT111TTT11.1nnnnnnnnnnnnAGOGOC ACaOOGOG AGG AGGEGOaGaGa 再令2021/4/22020T122TT2112TT111TTTT11TT11TT2212,| 10,1111.| |0,nnnnnnnnnnnnnnEGCCOC C AC CEOEGEGGGaOEGEGOaGGOEOEOOaGGOddA CC 2021/4/22121令11/2331/2,|0.nEOCCdOd 令123123TTTT3211231111/21/2,| | 0,().n

10、nnCC C CCCCCC ATCC C AC C CEOEOEOEOdOdOd 则于是A与单位矩阵合同,故A是正定的.推论推论 n阶实对称矩阵A负定 顺序主子式Ai满足( 1)0,1, .iiAin 2021/4/22222例例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.622250 .207A 解解123| 60,62|304260,25622|25021020281620.207AAA 故A正定.2021/4/22323实对称矩阵实对称矩阵A A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是1.1.其特征值都是正数其特征值都是正数. .2.2.A A合同于合同于3. 可逆可逆.4.4.A A的顺序主

11、子式全是正数的顺序主子式全是正数. .5.A的主子式全是正数的主子式全是正数.nET,AP P P 2021/4/22424例例 判断下列二次型是否正定:2221121322339912481306071fxx xx xxx xx1299624613030 ,990,24371996333661302651111818 (65 11 2)18 7130,265AAA := detA8321762021/4/225222123222222121323222123222222121323222123123991307111112()48()60()22299130716()24()30()6994

12、170,( ,)0.ffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x x222222()0,1().2aabbababab 2021/4/226例例 t在什么范围取值时二次型222123123121323(,)32224f x xxxxxx xx xx x 是正定二次型?解解1232221111132 .| 10,|20,1322111002)(2)tAAAttAttttttt 2021/4/22722212424434(34)0.(34)0,4/ 3,0.4/ 30.tttttttttttt 2021/4/228定义定义 实对称矩阵A的第 行和第 列的元素组成的

13、行列式称为主子式.例如1,kii1,kii12312 45 13245 ,24 52 32352A 是2阶主子式.其中只有 是2阶顺序主子式.12242021/4/22929实对称矩阵A半正定的充分必要条件是1.其特征值都是非负数.2.A合同于3.A的正惯性指数p=r.4.A的所有主子式非负.,( ).rEOrr AOO 2021/4/230定理定理 实对称矩阵A半正定的充分必要条件是所有主子式非负.证明 设A半正定.则A+tE正定.其所有主子式1 11 212 12 2211210.00.kkkkkk kki ii ii ii ii ii iniikki ii ii iiiataaaaaAt

14、ECaaattA 个.2021/4/231设A的所有主子式非负.考虑矩阵 其顺序主子式.tAAtE 111212122212110|.kktkkkkkkkataaaataAaaattc tc ic 是A的 阶主子式之和,故 ki 0,|0,kitkcAt tA正定,对于任意非零向量X, 令 得T0,tX A X 0t T0.X AX 故A半正定.2021/4/232例例112112 .221A 但A并非半正定，事实上，A对应的二次型222123121323221233123244(2)3,1,1,30.1230.21fxxxx xx xx xxxxxxxxf 主子式1231110,0,| |

15、0.11AAAA顺序主子式2021/4/23333三、正定矩阵的性质1.若A为正定矩阵,则|A|0,A可逆.2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵.证明 A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定.3.正定矩阵的对角线元素都是正数.4. A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵.5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵.6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT.7. A为正定矩阵,A 的所有主子式大于零.2021/4/23434证明证明 由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.8.

16、 若A为n阶正定矩阵, 则 正定.(),n mr Pmn TP AP证明证明 对于任意m维列向量 由于,XO (),n mr Pmn 矩阵P的列向量组线性无关, 是P的列向量的非零线性组合,故 而A正定,故PXTTT()()()0,XP AP XPXA PX 故 是正定矩阵.TP AP,PXO 2021/4/23535TT,A A AA的若干性质1.若A为n阶可逆矩阵,则 为正定矩阵.TT,A A AA证明 是实对称矩阵 .对于任意 A可逆, 否则 TTTTTT()(),A AAAA A TA A,XO ,AXO 1,.AXO XA XO 2TTT() ()0.X A AXAXAXAX 故 正

17、定.TA A2.若A为 矩阵,且 则 为m阶正定矩阵, 为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵.nm (),r Amn TA ATAA证明 任意 A的列向量组线性无关,XO (),r Am ,AXO 2TTT()0.X A AXAXAXAX 2021/4/236(),Tr Amn 的列向量组线性相关，存在n维列向量使得 ,于是,Xo0,TTTX AA XX AoTA Xo2,()0,nTTTTTTTXRX AA XA XA XA XA X故故 不是正定矩阵。TAATA2021/4/237373.若A为 矩阵,且 则 和 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.nm ( )min( ,),r Arn m