系统的因果性和稳定性

1、 LSI系统因果稳定性定义及判断方法 时域离散系统的输入输出描述及求解方法 线性常系数差分方程、初始条件与系统特性之间的关系l因果系统(causality system) 若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。( )00h nnLSI系统是因果系统的充要条件：满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，注：关于此条件的严格证明可参考程佩青数字信号处理教程 如果n时

2、刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。非因果数字系统是可以近似实现的系统。0 1 21nx(n)0 1 11nh(n)0 1 21nh (n)（ a ）（ b ）（ c ）0 1 21ny(n)3 1230 1 21ny (n)323（ d ）（ e ）一个非因果数字系统的实现一个非因果数字系统的实现 实际系统一般是因果系统 对图象、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因果系统 在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数区分开来， 如y(n)=x(n)sin

3、(n+2)是因果系统 在判断时必须考虑全部时间变量 如 y(n)=x(n-k) 是有条件因果系统 l稳定系统(stability system) 稳定系统是有界输入产生有界输出的系统数学描述：若( )x nM ( )nh nP LSI系统是稳定系统的充要条件：( )y nP 则 LSI系统是稳定系统的充要条件 证明证明 先证明充分性。即若h(n)满足绝对可和条件,则输入有界输出必有界。( )( ) ()( )( )()kky nh k x nky nh kx nk因为输入序列x(n)有界，即 |x(n)|B,-n B为任意常数则有( )( )ky nBh k 下面用反证法证明其必要性。如果h(

4、n)不满足 那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：( )nh n (), ( )0()0,( )0hnh nhnh nx(n)= ( )( ) ()( )(0)( ) ()( )( )( )kkkky nh k x nkh kyh k x nkh kh kh k 令n=0 说明输入有界结论： 因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果序列，且是绝对可和的，即： ( ) ( )( )nh nh n u nh n 例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应 式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 1001( )limlim1NNnnNNnnnah naaa只有当|a|1时 1

5、( )1nh na)()(nuanhn0( )0nh n解：讨论因果性： 时 讨论稳定性：0( )0nh n解：讨论因果性： 时 该系统是非因果系统讨论稳定性：00( )nnnnnh naa11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某LSI系统，其单位抽样响应为( )()nh na un试讨论其是否是因果的、稳定的。有条件有条件稳定稳定 例例1.3.7 设系统的设系统的)单位取样响应单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意，求对于任意输入序列输入序列x(n)的输出的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。，并检验系统的因果性和稳定性。 y(n)=x(n)*h(n)= 因为当因

6、为当n-k0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是否是线性时不变因果稳定，还需要用初始条件进行限制。例1：已知常系数线性差分方程（1）若边界条件 求其单位抽样响应。 （2）若边界条件 求其单位抽样响应，并判断是否为线性时不变系统。( )(1)( )y nay nx n( 1)1y ( 1)0y ( )( )( )( )( 1)0 x nny nh ny解：1)令输入，则输出，又已知23( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)( )0nnay nnyayxy

7、ayxayayxayayxay nan由y，得，1(1) ( )( )1( 2) ( 1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，( )( )( )nh ny na u n对应一个因果系统对应一个因果系统111( )( )( 1)1( )x nnyy n解：2）令输入，由，求输出111111111211131111( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)0ny nay nx nyayxayayxa ayayxaayayxa ay naan由，得，1

8、1111112111111(1)( )( )1( 2)( 1)( 1)1( 3)( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaayyxaay nan 由，得，11( )(1)( )(1)nny na a u naun 2112( )( )(1)(1)(1)nny nanaau naun 2( )(1)x nn当输入时，输出1( )( )x nn当输入时，输出11( )(1)( )(1)nny na a u naun 2121( )(1)( )(1)( 1)1x nx ny ny ny由于，而边界条件下的系统不是移不变系统312( )( )( )( )(1)x nx nx nnn当输入时

9、，输出213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun ( 1)1y 边界条件下的系统不是线性系统不满足可加性12( )( )y ny n判断是否为线性时不变系统1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们以后讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。 1-4 ； 1-5 （1）（3）（5）（7） 1-6 （1）（3）（5）； 1-7 1-8要点要点：抽样过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？奈奎斯特抽样定理的意义?由时域离散信号恢复模拟信号的过程称为内

10、插恢复过程，该过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？解： my nx m h nm 210.5nnx nunh nu n ，1n 当时 20.5nmn mmy n24nnmm24nmmn14422143nnn1. 已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位抽样响应为h(n)，试求系统的输出y(n)，并画图。0n 当时 120.5mn mmy n 4121233nny nunu n 124nmm124nmm114122143nn2 已知一个线性时不变系统的单位抽样响应 除区间 之外皆为零；又已知输入 除区间 之外皆为零；设输出 除区间 之外皆为零，试以 和 表示和 。 h n01NnN

11、x n23NnN y n45NnN012,NN N4N5N3N本题的目的旨在解释当参与卷积的两序本题的目的旨在解释当参与卷积的两序列为有限长时，如何确定卷积和的非零列为有限长时，如何确定卷积和的非零区间。区间。解： 对线性移不变系统，有 my nx nh nx mh nm对 ，非零值的区间为 x m23NmN对 ，非零值区间为h nm01NnmN402NNN513NNN y n0213NNnNN得输出 的非零值区间01NmnNm( )x nn02N3N( )h nn00N1N02nNN13nNN0nN1nN()h nmm00N1N0n ()h nmm0()h nmm0()h nmm02N()h

12、 nmm03N3. 判断以下系统是否是（1）线性（2）移不变（3）因果（4）稳定的？ 1T x ng n x n（） 1212T ax nbxng nax nbxn解：满足叠加原理 是线性系统 T x nmg n x nm不是移不变系统 12ag n x nbg n xn 12aT x nbT xn y nmg nm x nmT x nm因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统 若 有界 x n当 时，输出有界，系统为稳定系统 g n 当 时，输出无界，系统为不稳定系统 g n x nM T x ng n M则 T x ng n x n 01212nk nT ax nbxnax kbxk满足叠加原理 是线性系统0nk nT x nmx km是移变系统 02nk nT