数理金融初步

1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流数理金融初步.精品文档.（1章）6从52张扑克随机抽出两张牌。如果已知两张的花色不同，则他们都是A的条件概率是多少？ 解：设第一次取出A的事件为A1，第二次取出不同花色A的事件为A2,则p(A1A2)=P(A1)p(A2/A1) 因为p(A1)=4/52=1/13 p(A2/A1)=3/52-13=3/39=1/13,所以p(A1A2)=1/1697若A,B独立，证明下列事件也独立：a)A和Bc b)Ac和Bc证明：a)因为p（B）+p(Bc)=1,p(B/A)+P(Bc/A)=1,所以p(BcA)=p(A)xp(Bc/A)=p(A)1-p(

2、B/A)=p(A) -p(A)p(B)=p(A)1-p(B)=p(A)p(Bc),所以A和Bc独立 b)p(Ac)p(Bc)=p(Bc)p(Ac/Bc)=p(Bc)1-p(A/Bc)=p(Bc)-p(Bc)p(A/Bc)=p(Bc)-p(AcB c)=p(Bc)-p(A)P(Bc)=p(Bc)1-p(A)=p(Bc)p(Ac),所以Ac和Bc独立。9四辆公共汽车载着152位学生从同一学校出发去足球场。四辆车分别载乘39,33,46,34位学生。如果从152位学生中任意选取一位，记X为被选中的学生所乘坐的汽车里的学生数。四辆公共汽车的司机也随机选取一位，令Y为那位司机驾驶的汽车里的乘坐学生人数。

3、a)你认为E（X）和E（Y）哪一个大？ b)求出E(X)和E(Y)解：a)E(X)大。b)由题意知X可取39,33,46,34 。Y可取39,33,46,34。所以X=39,p(x)=39/152, x=33,p(x)=33/152,x=46,p(x)=46/152, x=34,p(x)=34/152,同理p(Y=39)=1/4P(Y=33)=1/4, P(Y=46)=1/4,P(Y=34)=1/4,所以E（X）=39x39/152+33x33/152+46x46/152+34x34/152=5882/152=38.697 E(Y)=39x1/4+33x1/4+46x1/4+34x1/4=38

4、10两位选手比赛兵兵球，当一个选手赢了两局时比赛结束。设每位选手赢每一局概率相等，且每一局的结果都是独立的。求比赛总局数的期望值和方差。 解：设x为比赛的总局数，则x可取2,3，则p(x=2)=1/2x1/2x2=1/2, p(x=)=1/2x1/2+1/2x1/2=1/2 E(X)=2x1/2+3x1/2=5/2, x2=4,9 , p(x2=4)=1/2,p(x2=9)=1/2,E(x2)=4x1/2+9x1/2=13/2 所以var(x)=E(x2)-E(x)2=13/2-(5/2)2=1/4.11. 证明 证明：12一位律师要决定收取固定费用5000美元，还是收取胜诉酬金25000美元

5、（输掉则一无所获）。他估计打赢的概率为0.3，求他收取的费用的均值和方差，如果a)收取固定费用b)收取胜诉酬金费用。解：a)由题意知x=5000,p(x=5000)=1,E(x)=5000x1=5000,E(x2)=50002x1=25000000,var(x)=E(x2)-E(x)2=0,所以s=0. b)由题意知x=0,25000,则p(x=0)=1-0.3=0.7, p(x=25000)=0.3,E(x)=0.7x0+25000x0.3=7500, E(x2)=0x0.7+(25000)2x0.3=187500000,var(x)= E(x2)-E(x)2=131250000S=根号下v

6、ar(x)=11456.43914. 证明：证明： 18设任意给定的时间内，某股票价格只能等概率的增加1或减少1，且不同时期股票变化是独立的。记X为股票在第一时间段内增加1或减少1的数量，Y为前三段时间内累计上升的数量，求X,Y相关性。 解：E（X）=0, E(X2)=1,var(x)=E(X2)-E(X)2=1 E(Y)=0,E(Y2)=3,var(y)=E(Y2)-E(Y)2=3 E(XY)=1,Cov(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)=1,所以X,Y呈正相关。（2章）4设x为正态随机变量，均值为u，方差为&2,y=a+bx,如果y和x服从相同的分布，求a和b的值（a不等于

7、0），并求出Cov(x,y). 解：因为E(X)=u,var(x)=&2,y=a+bx,所以E(Y)=a+bu,var(y)=b2u2,又因为x和y服从相同的分布，所以a+bu=u, &2=b2&2,因为a不等于0，所以b=-1,a=2u,即y=2u-x, Cov(x,y)=cov(x,a+bx)=cov(x,a)+bCov(x,x)= -&2.5成年男子的血液收缩压服从均值为127.7，标准差为19.2的正态分布，求：a)68%的成年男子血液收缩压的取值范围。b)95%的成年男子血液收缩压的取值范围。c)99.9%成年男子血液收缩压的取值范围。 解：a)设陈年

8、男子血液收缩压为X, E为对应的正态随机变量，即E=（X-127）/19.2 u=127.7,&=19.2,所以|&|<=19=0.682,所以-1<=(E-127.7)/19.2<=1,即108.5<=E,所以取值范围为 108.5,146.9 b)由表可得p|E|<=2=0.9544,即-2<=(E-127.7)/19.2<=2,89.3<=E<=166.1,所以取值范围89.3,166.1 c) p|E|<=3=0.9974,即-3<=(E-127.7)/19.2<=3,解得70.1<=E<

9、;=185.3,所以取值范围70.1,185.3.第4章1若10%的名义利率分别为：a)半年计息一次的复利 b)每季度计息一次的复利 c)连续复利其对应的有效利率分别是多少？解：a)reff=(1+r/2)2-1=10.25% b)reff=(1+r/4)4-1=10.38% c)er-1=10.522将钱存入银行，银行支付的名义利率为10%。如果利率是连续复利利率，多久存入的钱是原来的两倍？ 解：pert=2p e10%t=2 t=6.93 需要7年才能变为原来的两倍3如果利率为5%,每年计息一次，那么大约要多少年才能使你的钱变为原来的4倍？如果利率变为4%又要多少年？解：p(1+r)n=4

10、p 当r=5%时，（1+0.05)n=4,n=28.41。当然r=4%，(1+0.04)n=4,n=35.354如果利率为年复利利率r,请给出一个公式，用它来估计多少年使你的钱变为原来的3倍。 解：由lim p(1+r/n)nt=pert pert=3p,ert=3 t=lin3/r5假设年名义利率固定在6%，每月计息一次。在未来60个月中，每月需要投资多少钱，才能在60个月后得到100000美元？解：p(1+r/12)+(1+r/12)2+（1+r/12)60=100000 pX1+r/121-(1+r/12)60/1-(1+r/12)=100000pX1.005(1-1.35)/-0.05

11、=100000 p=100000/70.37=1421.46,所以每月需要投资1421.46美元。6一个投资的年现金流：-1000，-1200,800,900,800.年利率为6%。对于一个既可以借款也可以存款的的人，这是否是一个值得的投资？ 解：现值=-1000+-1200/(1+60%)+800/(1+60%)2+900/(1+60%)3+800/(1+60%)4 =-1000+(-1132.08)+712+755.66+633.67=-30.75<0,所以不值得投资。8一个五年期、面值为10000美元、具有10%票息率的债权，价值为10000美元。在今后五年中，每六个月支付给持有者

12、500美元，并且将在这十次支付末再支付本金10000美元。如果每月计息一次的利率为：a)6% b)10% c)12% 求出其现值。 解：（1）当r=6%时，B=1/(1+0.6)=0.94 pv(a)=500x(0.94)6+500x(0.94)12+500x(0.94)18+500x(0.94)60+500x(0.94)100=1085+244=1329 (2)当r=10%时，B=1/(1+0.1)=0.91 PV(a)=500x0.916+500x0.9112+500x0.9160+10000x0.9160=653+34=687(3)当r=12%, B=1/(1+0.12)=0.89 pv

13、(a)=500x0.896+500x0.8912+500x0.8960+10000x0.8960=493+9=5029一个朋友购买了一套新的价值4200美元的音响系统。他同意预付定金1000美元，并在一个月后开始每月支付160美元，共支付24个月。那么所支付的有效利率是多少？ 解：设每个月支付的利率为r,所以B=1/(1+r) 所以160(B+B2+B24)+1000=4200 160XB(1-B24)/(1-B)=3200 B(1-B24)/(1-B)=20 因为r=1-B/B 所以1/1+r1-(1/1+r)24/(1-1/1+r)=20 所以reff=1+r-1=r=1.5%12假设向银

14、行贷款120000美元，银行收取两个百分点的费用。报价利率为每月0.5%，仅需要在随后的36个月中，每月支付累计利息，并在最后支付本金120000美元。那么这个贷款的有效利率是多少？ 解：每月支付利息120000x0.5%=600美元，则600/(1+r)+600/(1+r)2+600/(1+r)3+600/(1+r)36+ 120000/(1+r)36=120000x98%,得r=0.6%13以下面两张方式偿还贷款：一种是现在一次还清所有的欠款6000美元，另一种是现在还10000美元，并在十年后还10000.对于下面的名义连续复利利率，哪一种还款方式更可取：a)2% b)5% c)10%

15、解：r=2%时，10000e-2%x10=10000e0.2=8187.3>6000, r=5%时，10000e-rt=10000e-5%x10=6065.3> 6000, r=10%时，10000e-rt=10000e-10%x10=3678.8<600023考虑下面两个现金流，其中每一个现金流都是在i年后得到第i次支付：100,140,131,和90,160，120 如果不知道利率，能够说出哪一个现金流更可取？ 解：设利率为r，则100/(1+r)+140/(1+r)2+131/(1+r)3-90/(1+r)+160/(1+r)2+120/(1+r)3=11/(1+r)3

16、 -20/(1+r)2+10/(1+r), 令t=1/(1+r),0<t<1,则原式=t(11t2-20t+10)=f(t),=400-4x11x10<0,所以f(t)>0即第一种更可取。24 a)一个初始成本为100的投资，两年后收益110，求该投资的年收益率。 b)一个初始成本为100的投资，两年后或收益120，或收益100，且两种结果是等可能的，求年收益率的期望值。 解a)100(1+r)2=110,则r=0.05 b)100(1+r1)2=120,r1=0.095,100(1+r2)2=100,r2=0,E(r)=1/2r1+1/2r2=0.0526一个初始成本

17、为100的投资，第一年末回报40，第二年末回报70，求该投资的收益率，如果第一年末回报70，第二年末回报40，收益率又是多少？解：设第一种投资的收益率为r1,第二种投资的收益率为r2,则40/(1+r1)+70/(1+r1)2=100,r1=0.06=6% 70/(1+r2)+40/(1+r2)2=100,r2=0.75=75%.28一个初始成本为100的投资，在第i个周期末收到的回报为Xi（i=1,2）,其中X1，X2是相互独立的正态随机变量，均值为60，方差为25。该投资回报率大于10%的概率是多少？ 解：E（X1+X2）=120，Var(X1+X2)=50,P(X1+X2>110)

18、=P(E>(110-120)/5 )=p(x1+x2>-10/5 )=1-o(-10/5 )= 0.9207,概率是0.9207.5.5令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券，S是这个证券现在的价格，r是利率。请写出一个包含C、S和的不等式，并给出证明。证明：S-C<，在0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入S-C，是从银行存款，并将在t时刻偿还。在t时刻时，S（t）>K，看涨期权将被执行，K-（S-C）>0，所以S-C<5.8令P是一个执行价格为K和现价为S的证券的看跌期权的价格。试证明P-S。其中t期权到期日

19、，r是利率。证明：在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S，在t时刻时，S（t）>K时，看跌期权毫无价值，则以K的价格卖出证券，当S（t）<K，则执行看跌期权，则（P+S）K，所以P-S5.10请使用一价律证明看跌-看涨期权平价公式。证明：构造两个投资组合，（1）0时刻买入一份股票及一个看跌期权，成本S+P。（2）0时刻买入一份看涨期权并加上金额为，现金成本C+，在时刻t，假定股票价格为S（t），当S（t）K，对投资（1）来说价值S（t），投资（2）价值以=K买入一份股票，价值为S（t），当S（t）<K时，投资（1）价值为K，综上所述由一价律值：S+P=C+。5.5令C是一个看涨期权的价格，这个期权可以在t时刻以价格K买入一个证券，S是这个证券现在的价格，r是利率。请写出一个包含C、S和的不等式，并给出证明。证明：S-C<，在0时刻购买一个证券，同时买入一个看涨期权，这个初始的投入S-C，是从银行存款并将在t时刻偿还。在t时刻时，S（t）>K，看涨期权将被执行，所以S-C<。5.8令P是一个执行价格为K和现价为S的证券的看跌期权的价格，试证明P-S，其中t期权到期日，r是利率。证明：在0时刻买入一个证券，同时买入一个看跌期权，从初始的投入为P+S，在t时刻里