第08讲 应变与小变形几何方程

1、第三章第三章 金属塑性变形的力学基础金属塑性变形的力学基础第二节第二节 应变分析应变分析第一讲第一讲 应变与小变形几何方程应变与小变形几何方程应变的基本概念应变的基本概念小变形几何方程小变形几何方程点的应变状态点的应变状态应变的基本概念应变的基本概念PP1 拉长变细Q Q1 单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了PP1 沿中心线压扁Q Q1 由于摩擦的作用，压扁且歪斜了R R1 成鼓形后有明显的角度偏转PP1 剪斜了Q Q1 平移到Q1 ，未变形PP1 缩短且转动一角度Q Q1转动一角度，但未变形由以上实例可以得到以下概念：2、变形正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短切变形（角变形）：单元体

2、发生畸变3、同一质点的不同方位，有不同的变形值4、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变 形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。1、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。应变的基本概念应变的基本概念应变的基本概念应变的基本概念1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量设单元体PABCP1A1B1C1PA:rx r1= rx+r线变形(r)：单元体棱边的伸长或缩短线应变（正应变）：单位长度上的线变形棱边PA的线应变：xxxrrrrr1棱边PA在x方向的线应变：xxxrrzzzyyyrrrr应变的基本概念应变的基本概念1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量11PACC

3、PA相对切应变（工程切应变）：xyyxyxyxyrr tan单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量工程切应变工程切应变应变的基本概念应变的基本概念1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量)(21yxxyyxxyxyyxxy)(21xyyxzzyxyxzxyxyzzyzxyzyyxxzxyxijxzzxzyyzyxxy,角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向。如xy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。)(212121)(212121)(212121;xzzxxzzxxzzxzyyzzyyzzyyzyxxyyxxyyxxyzzzyyyxxxrrrrrr统称

4、为应变分量。xzzxzyyzyxxyyyx,应变的基本概念应变的基本概念1 1、名义应变及其分量、名义应变及其分量zzyzxyzyyxxzxyxij应变的基本概念应变的基本概念2 2、对数应变及其分量、对数应变及其分量00llln变形体由l0ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。11223112001nnnllllllllllll应用微分的概念nllllldln0ln0自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也 称真实应变。应变的基本概念应变的基本概念2 2、对数应变及其分量、对数应变及其分量对数应变的优点：1、表示变形的真实情况；2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。0l拉伸1l

5、拉伸2l拉伸3l00303lll 223231121200101;lllllllll23120103232312120101ln;ln;lnllllll0303231201231201lnlnlnlnllllllll应变的基本概念应变的基本概念2 2、对数应变及其分量、对数应变及其分量对数应变的优点：1、表示变形的真实情况；2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。l拉伸l2l2压缩l和%5022%;1002llllll%6921ln2ln%;692ln2lnllll质点 MM1 靠弹性或塑性变形实现。位移：位移：变形体内任一点变形前

6、 后的直线距离(MM1)位移分量：位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为 该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。位移场：位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设， 位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶 偏导数。),(),(),(zyxwwzyxvvzyxuu或),(zyxuuii小变形几何方程小变形几何方程1 1、位移与应变、位移与应变变形体内无限接近两点的位移分量间的关系),(zyxuuii),(dzzdyydxxuuuuiiiiiijjiiiiiiiiiuudxxuzyxudxxudzzudyyudxxuzyxudzzdyydxxuu)

7、,(21),(),(222jjiidxxuuM 点相对于M点的位移增量小变形几何方程小变形几何方程1 1、位移与应变、位移与应变dzzwdyywdxxwwdzzvdyyvdxxvvdzzudyyudxxuu若无限接近的两点的连线MM平行于某一坐标轴，例如MMx轴，则dxxwwdxxvvdxxuu若已知变形物体内一点M的位移分量，则与其邻近一点M的位移分以可以用M点的位移分量及其增量来表示。小变形几何方程小变形几何方程1 1、位移与应变、位移与应变jjiidxxuu小变形几何方程小变形几何方程2 2、小变形几何方程、小变形几何方程dzzwdyywdxxwwdzzvdyyvdxxvvdzzudyy

8、udxxuudyyvvdyyuudxxvvdxxuubbcc,小变形几何方程小变形几何方程2 2、小变形几何方程、小变形几何方程xudxudxuuudxaccaccx21yvdyvdyvvvdyabbabby21dyyvvdyyuudxxvvdxxuubbcc,小变形几何方程小变形几何方程2 2、小变形几何方程、小变形几何方程dyvuvdyvvuuubabbbbbbyx2121tanyvyuyvdydyyuyx1)1 (tandyyvvdyyuudxxvvdxxuubbcc,1yyvyuyxyxtanxvxyxytan)(21xvyuyxxy)(21 )(21 )(21 zuxwzwywzvy

9、vxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx)(21ijjiijxuxu(3-66)(3-66a)yuyxyxtanxvxyxytan小变形几何方程小变形几何方程2 2、小变形几何方程、小变形几何方程点的应变状态点的应变状态设任意点a(x,y,z)的应变分量：zzyzxyzyyxxzxyxij设线元 ab=rr在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz方向余弦：rdznrdymrdxl;2222dzdydxr长度：a)线应变变形后：ab移至a1b1 长度：rrr1在三个轴上的投影：a1N: dx, dy, dz222212)(rrrrrrr)(2)()()(22222222221wdzvdyudx

10、wvudzdydxwdzvdyudxr点的应变状态点的应变状态bN: u, v, wb1b: u +u, v+v,w+ wNb1: u, v,w略去r, u, v, w的平方项wdzvdyudxrrrwrdzrvrdyrurdxrrrwnrvmrulr222222()rr rdxdydzdx udy vdz w222212)(rrrrrrr)(2)()()(22222222221wdzvdyudxwvudzdydxwdzvdyudxr点的应变状态点的应变状态rwnrvmrulrdzzwdyywdxxwwdzzvdyyvdxxvvdzzudyyudxxuu)(2)()()(222222nlmnl

11、mnmlnlzuxwmnywzvlmxvyunzwmyvlxurwnrvmrulzxyzxyzyxr比较：比较：)(2222nlmnlmnmlzxyzxyzyx)(21 )(21 )(21 zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx点的应变状态点的应变状态b)切应变(线元变形后的偏转角）引NMa1b1在NMb1中，有21221212)(MbuMbNbNMi由于rNaMa11故MaNMrr1tanrrrrMabaMb1111于是：22222222121222)()(riirrurrurMbNbrNM如果没有刚体转动，r就是切应变r如果有刚体转动，jijjijijjijij

12、ijjijjiidxxuxudxxuxudxxuxuxudxxuu)(21)(21)(21纯剪变形引起的 位 移 增 量刚性转动引起的 位 移 增 量去除刚性转动jijjijjiidxdxxuxuu)(21所以2222) (rirru比较222 S结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。 一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即) , , ,;,(zyxrkzyxjillrjkiijkrij为二阶对称张量。zzyzxyzyyxxzxyxijzyzyxzxyxij例一：矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压缩。设：