测控技术与系统

1、测控技术与系统测控技术与系统l姓名：邵 帅l老师：冯荣达l班级：12测控A1目录目录一、摘要二、卡尔曼滤波的介绍三、卡尔曼滤波的应用四、卡尔曼滤波的算法五、卡尔曼滤波的应用例子六、总结一、摘要一、摘要l在滤波器的发展过程中，早期的维纳滤波器涉及到对不随时间变化的统计特性的处理，即静态处理。在这种信号处理过程中，有用信号和无用噪声的统计特性可与它们的频率特性联系起来，因此与经典滤波器在概念上还有一定的联系。由于军事上的需要，维纳滤波器在第二次世界大战期间得到了广泛的应用。但是，维纳滤波器有如下不足之处：第一，必须利用全部的历史观测数据，存储量和计算量都很大；第二，当获得新的观测数据时，没有合适的

2、递推算法，必须进行重新计算；第三，很难用于非平稳过程的滤波。为了克服维纳滤波器的上述不足之处，卡尔曼等人在维纳滤波的基础上，与60年代初提出了一种递推滤波方法，称为卡尔曼滤波。与维纳滤波不同，卡尔曼滤波是对时变统计特性进行处理。他不是从频域，而是从时域的角度出发来考虑问题。二、卡尔曼滤波器的介绍二、卡尔曼滤波器的介绍l 1.卡尔曼滤波器的基本思想l （1）过程方程l （2）测量方程l2.新息过程l3.利用新息过程进行状态估计l4.Kalman滤波抗野值三、卡尔曼滤波器的应用三、卡尔曼滤波器的应用l卡尔曼滤波器（ Kalman Filter ）是一个最优化自回归数据处理算法（ optimal r

3、ecursive dataprocessing algorithm ），它的广泛应用已经超过 30 年，包括航空器轨道修正、机器人系统控制、雷达系统与导弹追踪等。近年来更被应用于组合导航与动态定位，传感器数据融合、微观经济学等应用研究领域。特别是在图像处理领域如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等当前热门研究领域占有重要地位。卡尔曼滤波作为一种数值估计优化方法，与应用领域的背景结合性很强。 因此在应用卡尔曼滤波解决实际问题时，重要的不仅仅是算法的实现与优化问题，更重要的是利用获取的领域知识对被认识系统进行形式化描述， 建立起精确的数学模型，再从这个模型出发，进行滤波器的设计与实现工作。滤波器实际

4、实现时，测量噪声协方差 R 一般可以观测得到，是滤波器的已知条件。 它可以通过离线获取一些系统观测值计算出来。 通常，难确定的是过程激励噪声协方差的 Q 值，因为我们无法直接观测到过程信号。一种方法是通过设定一个合适的 Q ，给过程信号“注入”足够的不确定性来建立一个简单的可以产生可接受结果的过程模型。 为了提高滤波器的性能，通常要按一定标准进行系数的选择与调整。四、卡尔曼滤波器算法四、卡尔曼滤波器算法l 在这一部分，我们就来描述源于Dr Kalman 的卡尔曼滤波器。下面的描述，会涉及一些基本的概念知识，包括概率（Probability），随 即 变 量 （ R a n d o m V a

5、r i a b l e ） ， 高 斯 或 正 态 分 配（Gaussian Distribution）还有State-space Model等等。但对于卡尔曼滤波器的详细证明，这里不能一一描述。 首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程来描述：lX(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k) l再加上系统的测量值： Z(k)=H X(k)+V(k) l上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)

6、分别表示过程和测量的噪声。l下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出。 l首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k).(1)l式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。l我们用P表示covariance：P(k|k-1

7、)=AP(k-1|k-1)A+Q(2)l式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。l结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1)(3)其中Kg为卡尔曼增益(KalmanGain)：Kg(k)=P(k|k-1)

8、H/(HP(k|k-1)H+R)(4)l到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k|k)。l但是为了要另卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的covariance：lP(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1)(5)l其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。卡尔曼滤波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5个基本公式。根据这5个公式，可以很容易的实现计算机的程序。五、卡尔曼滤波器的简单应用例子五、卡尔曼滤波器的简单应

9、用例子l我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。l把房间看成一个系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相同的，所以A=1。没有控制量，所以U(k)=0。因此得出： X(k|k-1)=X(k-1|k-1) . (6) 式子（2）可以改成： P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q (7) 因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下： lX ( k | k ) = X ( k |

10、k - 1 ) + K g ( k ) ( Z ( k ) - X ( k | k -1)(8)Kg(k)=P(k|k-1)/(P(k|k-1)+R)(9)P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1)(10)l 现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25度，我模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是加入了标准偏差为几度的高斯白噪声（在图中为蓝线）。为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡

11、尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。我选了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。该系统的真实温度为25度，图中用黑线表示。图中红线是卡尔曼滤波器输出的最优化结果（该结果在算法中设置了Q=1e-6，R=1e-1）。lclearl N=200; %随机序列长度l w(1)=0; %初始化操作l w=randn(1,N) %产生随机序列l x(1)=0; la=1;l for k=2:N;l x(k)=a*x(k-1)+w(k-1); %产生随机序列x（n）l endl subplot(311)l t=1:N;l plot(t,x,b) %绘制原始输入信号图形x(n)

12、l title(原始输入信号图像)l xlabel(x轴单位：t/s,color,b)l ylabel(y轴单位：f/HZ,color,b)l V=randn(1,N);l q1=std(V); %计算随机列序V的标准差 lRvv=q1.2; %将标准差q1的平方赋予Rvvl q2=std(w); %计算随机序列w的标准差l Rww=q2.2; %将标准差q2的平方赋予Rwwl c=0.2;l y=c*x+V; %产生随机序列Yl subplot(312)l t=1:N;l plot(t,y,g) %绘制加噪后输入信号图像l title(加噪后输入信号图像)l xlabel(x轴单位：t/s,

13、color,b)l ylabel(y轴单位：f/HZ,color,b)l p(1)=0; %初始化操作l s(1)=0; %初始化操作l for t=2:N;l p1(t)=a.2*p(t-1)+Rww;l b(t)=c*p1(t)/(c.2*p1(t)+Rvv);l s(t)=a*s(t-1)+b(t)*(y(t)-a*c*s(t-1); %输出预测值估计公式l p(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);l Endlsubplot(313)l t=1:N;l plot(t,s,r) %绘制经过卡尔曼滤波后图像l title(经过卡尔曼滤波后图像)l xlabel(x轴单位：t/s,co

14、lor,b)l ylabel(y轴单位：f/HZ,color,b)l图020406080100120140160180200-50050原 始 输 入 信 号 图 像x轴 单 位 ： t/sy轴单位：f/HZ020406080100120140160180200-10010加 噪 后 输 入 信 号 图 像x轴 单 位 ： t/sy轴单位：f/HZ020406080100120140160180200-50050经 过 卡 尔 曼 滤 波 后 图 像x轴 单 位 ： t/sy轴单位：f/HZ卡尔曼滤波卡尔曼滤波lclearlN=800;lw(1)=0;lw=randn(1,N) %系统预测的随

15、机白噪声lx(1)=0;la=1;lfor k=2:N;lx(k)=a*x(k-1)+w(k-1); %系统的预测值lendlV=randn(1,N); %测量值的随机白噪声lq1=std(V);lRvv=q1.2;lq2=std(x);lRxx=q2.2;lq3=std(w);lRww=q3.2;lc=0.2;lY=c*x+V; %测量值lp(1)=0;ls(1)=0;lfor t=2:N;lp1(t)=a.2*p(t-1)+Rww; %前一时刻X的相关系数lb(t)=c*p1(t)/(c.2*p1(t)+Rvv); %卡尔曼增益ls(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s

16、(t-1); %经过滤波后的信号lp(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);%t状态下x(t|t)的相关系数lendlfigure(1)lplot(x)ltitle(系统的预测值)lfigure(2)lplot(Y)ltitle(测量值)lfigure(3)lplot(s)ltitle(滤波后的信号)l图10100200300400500600700800-30-20-100102030系 统 的 预 测 值l图20100200300400500600700800-8-6-4-202468测 量 值l图30100200300400500600700800-30-20-100102030滤

17、 波 后 的 信 号lclearlN=200;lw(1)=0;lw=randn(1,N) lx(1)=0;la=1;lfork=2:N;lx(k)=a*x(k-1)+w(k-1);lendlV=randn(1,N);lq1=std(V);lRvv=q1.2;lq2=std(x);lRxx=q2.2;lq3=std(w);lRww=q3.2;lc=0.2;lY=c*x+V;lp(1)=0;ls(1)=0;fort=2:N;lp1(t)=a.2*p(t-1)+Rww;lb(t)=c*p1(t)/(c.2*p1(t)+Rvv);ls(t)=a*s(t-1)+b(t)*(Y(t)-a*c*s(t-1);lp(t)=p1(t)-c*b(t)*p1(t);lendlt