专题七 探索问题

1、1Best Wish For You 信心源自于努力信心源自于努力2345 探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力, ,主要包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和主要包括规律探索问题、动态探索问题、结论探索问题和存在性探索问题存在性探索问题. . (1) (1)规律探索问题通常考查数的变化规律，然后用代数规律探索问题通常考查数的变化规律，然后用代数式表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值式表示这一规律，或者根据规律求出相应的数值. .解题时，解题时，要通过观察、猜想、验证等步骤，应使所得到的规律具有要通过观察、猜想、验证等步骤，应

2、使所得到的规律具有普遍性，只有这样才能应用与解题普遍性，只有这样才能应用与解题. .6 (2) (2)动态探索问题通常与几何图形有关，给出相应的背动态探索问题通常与几何图形有关，给出相应的背景，设置一个动态的元素，在此基础上，探索其中的位置景，设置一个动态的元素，在此基础上，探索其中的位置关系或数量关系，解题时应化动为静关系或数量关系，解题时应化动为静. . (3) (3)结论探索问题，通常给出相应的条件，然后探索未结论探索问题，通常给出相应的条件，然后探索未知的结论知的结论. .解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经解题时，首先结合已知条件，大胆猜想，然后经过推理论证，最后作出正确的判断

3、，切忌想当然的确定结过推理论证，最后作出正确的判断，切忌想当然的确定结论论. . (4) (4)存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件问题，要注意相关的条件, ,可以先假设结论成立，然后通过可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断计算求相应的值，再作存在性的判断. . 78规律探索问题规律探索问题规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题

4、的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用用. .9【例例1 1】(2010(2010铁岭中考铁岭中考) )有一组数：有一组数： ,请请观观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n(nn(n为正整数为正整数) )个数为个数为_._.1 3 579, ,2 5 10 17 2610【思路点拨思路点拨】【自主解答自

5、主解答】经观察发现，分子是连续的奇数，即经观察发现，分子是连续的奇数，即2n-1,2n-1,分分母是序数的平方加母是序数的平方加1 1，即，即n n2 2+1+1，因此第，因此第n n个数为个数为答案：答案：22n 1.n122n 1n1111.(20101.(2010湛江中考湛江中考) )观察算式：观察算式：3 31 13 3，3 32 29 9，3 33 32727，3 34 48181，3 35 5243243，3 36 6729729，3 37 72 1872 187，3 38 86 5616 561， . .通过观察，用你所发现的规律确定通过观察，用你所发现的规律确定3 32 002

6、2 002的个位数字是的个位数字是( )( )(A)3 (B)9 (C)7 (D)1(A)3 (B)9 (C)7 (D)1【解析解析】选选B.B.经观察可知，经观察可知，3 3n n的个位数字按照的个位数字按照3 3、9 9、7 7、1 1；3 3、9 9、7 7、1 1；3 3、9 9、7 7、1 1的规律循环，而的规律循环，而2 0022 0024=4=5005002 2，因此，因此3 32 0022 002的个位数字是的个位数字是9.9.122.(20112.(2011山西中考山西中考) )如图是用相同长度的小棒摆成的一组如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案有规律的图案，图

7、案(1)(1)需要需要4 4根棒，图案根棒，图案(2)(2)需要需要1010根小根小棒棒，按此规律摆下去，第，按此规律摆下去，第n n个图案需要小棒个图案需要小棒_根根( (用用含有含有n n的代数式表示的代数式表示).).13【解析解析】本题考查的是规律探索题目，可以结合图形从不本题考查的是规律探索题目，可以结合图形从不同方向研究其变化规律同方向研究其变化规律. .如从第二个图形开始，图案都是由如从第二个图形开始，图案都是由两层构成，上面的层数共有两层构成，上面的层数共有4n4n个小棒，下面小菱形个数比个小棒，下面小菱形个数比上面少一个，每个小菱形只需再加上面少一个，每个小菱形只需再加2 2

8、根小棒，即下层共需根小棒，即下层共需2(n-1)2(n-1)根，所以第根，所以第n n个图案需要个图案需要4n+2(n-1),4n+2(n-1),即即(6n-2)(6n-2)根小棒根小棒. .答案：答案：(6n-2)(6n-2)143.(20113.(2011成都中考成都中考) )设设 则则S=_(S=_(用含用含n n的代数式表示，其中的代数式表示，其中n n为正整数为正整数).).1222223n122222n1111 S1,S1,12231111S1,S1SSS34nn 1S , ，设15【解析解析】通过探索规律可得通过探索规律可得答案：答案：22nn22nn 1 S,Sn n 1nn

9、13713nn 1Sn n 12612n n 1111111112612n n 111111 n2612n n 111111111n 1n 1.22334nn 1n 1 所以，所以1n 1(n 1) 16动态探索问题动态探索问题动态探索问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某个元动态探索问题的特点是：以几何图形为背景，讨论某个元素的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度素的运动变化，探索其中隐含的规律，如线段关系、角度大小、面积关系、函数关系等大小、面积关系、函数关系等. .在解决动态问题时，要抓住在解决动态问题时，要抓住不变的量，找出其中的规律不变的量，找出其中的规律, ,同时还应该考

10、虑到，当动态元同时还应该考虑到，当动态元素去某一位置时，素去某一位置时，“动动”则变为则变为“静静”，从而化动为静，从而化动为静. .17【例例2 2】(2010(2010泰安中考泰安中考) )如图，如图，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，A=90A=90，点，点P P、Q Q分别是分别是ABAB、ACAC上的一动点，且满足上的一动点，且满足BP=AQBP=AQ，D D是是BCBC的中点的中点. .18(1)(1)求证：求证：PDQPDQ是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(2)(2)当点当点P P运动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边形APDQAPDQ是正方形，并说是正

11、方形，并说明理由明理由. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用三角形全等证明利用三角形全等证明PD=QDPD=QD和和PDQ=90PDQ=90. .(2)(2)结合正方形的判定方法以及题目的已知条件，探索当点结合正方形的判定方法以及题目的已知条件，探索当点P P运动到何处时，满足正方形的条件运动到何处时，满足正方形的条件. .19【自主解答自主解答】(1)(1)连接连接AD.AD.ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，D D是是BCBC的中点的中点, ,ADBCADBC，AD=BD=DCAD=BD=DC，DAQ=B.DAQ=B.又又BP=AQ,BP=AQ,BPDBPDAQD.AQD

12、.PD=QDPD=QD，BDP=ADQ.BDP=ADQ.BDP+ADP=90BDP+ADP=90, ,ADQ+ADP=PDQ=90ADQ+ADP=PDQ=90. .PDQPDQ为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .20(2)(2)当当P P点运动到点运动到ABAB的中点时，四边形的中点时，四边形APDQAPDQ是正方形是正方形, ,由由(1)(1)知知ABDABD为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,当当P P为为ABAB的中点时，的中点时，DPABDPAB，即，即APD=90APD=90. .又又BAC=90BAC=90，PDQ=90PDQ=90, ,四边形四边形APDQAPDQ为矩形为矩形

13、. .又又DP=AP= AB,DP=AP= AB,四边形四边形APDQAPDQ为正方形为正方形. .12214.(20114.(2011益阳中考益阳中考) )如图，小红居住的小区内有一条笔直如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A A处径直走到处径直走到B B处，她在灯光照射下的影长处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程与行走的路程s s之间的变化关之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是系用图象刻画出来，大致图象是( )( )2223【解析解析】选选C.C.小红由小红由A A处径直走到处径直走到B B处，她在灯光照射下

14、的处，她在灯光照射下的影长影长l先变短再变长，只有选项先变短再变长，只有选项C C符合这一变化过程符合这一变化过程. .245.(20105.(2010河南中考河南中考) )如图，在梯形如图，在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E是是BCBC的的中点，中点，AD=5AD=5，BC=12BC=12，CD= CD= ，C=45C=45，点，点P P是是BCBC边上一边上一动动点，设点，设PBPB的长为的长为x.x.(1)(1)当当x x的值为的值为_时，以点时，以点P P、A A、D D、E E为顶点的四边形为顶点的四边形为直角梯形；为直角梯形；(2)(2)当当x x的值为的值为_

15、时，以点时，以点P P、A A、D D、E E为顶点的四边形为顶点的四边形为平行四边形；为平行四边形；4 225(3)(3)点点P P在在BCBC边上运动的过程中，以边上运动的过程中，以P P、A A、D D、E E为顶点的四为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由边形能否构成菱形？试说明理由. .26【解析解析】(1)3(1)3或或8 (2)18 (2)1或或1111(3)(3)能能, ,理由如下理由如下: :由由(2)(2)知，当知，当BP=11BP=11时，以点时，以点P P、A A、D D、E E为为顶点的四边形是平行四边形顶点的四边形是平行四边形, ,EP=AD=5.EP=AD=5.过

16、过D D作作DFBCDFBC于于F F，C=45C=45,CD= ,CD= ,DF=FC=4DF=FC=4，EF=EC-FC=6-4=2,EF=EC-FC=6-4=2,FP=EP-EF=5-2=3FP=EP-EF=5-2=3，DP=DP=4 22222FPDF345.27EP=DP,EP=DP,故此时平行四边形故此时平行四边形PDAEPDAE是菱形是菱形. .即以点即以点P P、A A、D D、E E为顶点的四边形是菱形为顶点的四边形是菱形. .28结论探索问题结论探索问题结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、结论探索问题主要是指根据条件，结合已学的相关知识、数学思想方法，通过归纳

17、分析逐步得出结论，或通过观察、数学思想方法，通过归纳分析逐步得出结论，或通过观察、试验、猜想、论证等方法求解试验、猜想、论证等方法求解. .这类问题的解决特别强调数这类问题的解决特别强调数形结合思想的运用形结合思想的运用. .29【例例3 3】(2010(2010蚌埠中考蚌埠中考) )已知如图已知如图1,O1,O过点过点D(3D(3，4),4),点点H H与点与点D D关于关于x x轴对称，过轴对称，过H H作作O O的切线交的切线交x x轴于点轴于点A.A.(1)(1)求求sinHAOsinHAO的值；的值；30(2)(2)如图如图2 2，设，设O O与与x x轴正半轴交点为轴正半轴交点为P

18、 P，点，点E E、F F是线段是线段OPOP上上的动点的动点( (与点与点P P不重合不重合) )，连接并延长，连接并延长DEDE、DFDF交交O O于点于点B B、C C，直线直线BCBC交交x x轴于点轴于点G G，若，若DEFDEF是以是以EFEF为底的等腰三角形，试为底的等腰三角形，试探索探索sinCGOsinCGO的大小怎样变化，请说明理由的大小怎样变化，请说明理由. .31【思路点拨思路点拨】(1)(1)连接连接OH, OH, 过点过点H H作作HPyHPy轴于点轴于点P P，构造直，构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长，然后利用等角，角三角形，利用勾股定理求出线段的长，然后

19、利用等角，求出求出sinHAOsinHAO的值的值. .(2)(2)过点过点D D作作DMEFDMEF于于M M，并延长，并延长DMDM交交O O于于N N，连接，连接ONON，交，交BCBC于于T T，利用等腰三角形的性质以及圆的轴对称性，证明，利用等腰三角形的性质以及圆的轴对称性，证明CGO =MNOCGO =MNO，而，而sinMNOsinMNO的值不变的值不变. .32【自主解答自主解答】(1)(1)如图所示：连接如图所示：连接OH,OH,过点过点H H作作HPyHPy轴于点轴于点P P，则根据题意可知则根据题意可知OP=4,PH=3,OP=4,PH=3,则则OH=5.OH=5.AHA

20、H为为O O的切线的切线,OHAH.,OHAH.又又AOP=90AOP=90,HAO=HOP.,HAO=HOP.因此因此sinHAO=sinHOP=sinHAO=sinHOP=3.533(2)(2)当当E E、F F两点在两点在OPOP上运动时上运动时( (与点与点P P不重合不重合) )，sinCGOsinCGO的的值不变值不变. .过点过点D D作作DMEFDMEF于于M M，并延长，并延长DMDM交交O O于于N N， 连接连接ONON，交，交BCBC于点于点T.T.因为因为DEFDEF为等腰三角形，为等腰三角形，DMEFDMEF，所以所以DNDN平分平分BDC,BDC,所以所以 所以所

21、以OTBCOTBC，所以所以CGO+GOT=GOT+MNO=90CGO+GOT=GOT+MNO=90, ,BNCN，34所以所以CGO =MNO,CGO =MNO,所以所以sinCGO =sinMNO=sinCGO =sinMNO=即当即当E E、F F两点在两点在OPOP上运动时上运动时( (与点与点P P不重合不重合) )，sinCGOsinCGO的值的值不变不变. .OM3.ON5356.(20106.(2010青海中考青海中考) ) 观察探究，完成证明和填空观察探究，完成证明和填空. .如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，点中，点E E、F F、G G、H H分别是边分别是边A

22、BAB、BCBC、CDCD、DADA的中点，顺次连接的中点，顺次连接E E、F F、G G、H H，得到的四边形，得到的四边形EFGHEFGH叫中叫中点四边形点四边形. .36(1)(1)求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形；是平行四边形； (2)(2)如图，当四边形如图，当四边形ABCDABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：是菱形，请你探究并填空：37当四边形当四边形ABCDABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是变成平行四边形时，它的中点四边形是_；当四边形当四边形ABCDABCD变成矩形时，它的中点四边形是变成矩形时

23、，它的中点四边形是_；当四边形当四边形ABCDABCD变成菱形时，它的中点四边形是变成菱形时，它的中点四边形是_；当四边形当四边形ABCDABCD变成正方形时，它的中点四边形是变成正方形时，它的中点四边形是_；(3)(3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的？四边形的什么决定的？38【解析解析】(1)(1)连接连接BD.BD.EE、H H分别是分别是ABAB、ADAD的中点，的中点，EHEH是是ABDABD的中位线的中位线, ,EHEH BDBD，且，且EHBD.EHBD.同理得同理得FGFG BDBD，且，且FGB

24、D.FGBD.EHEHFGFG，且，且EHFG.EHFG.四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .(2)(2)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形. .(3)(3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的的. .1212397.(20117.(2011菏泽中考菏泽中考) )我市一家电子计算器专卖店每只进价我市一家电子计算器专卖店每只进价1313元，售价元，售价2020元，多买优惠；凡是一次买元，多买优惠；凡是一次买1010只以上的，每只以上的，每多买多买1 1只，所买的全部计

25、算器每只就降低只，所买的全部计算器每只就降低0.100.10元，例如，某元，例如，某人买人买2020只计算器，于是每只降价只计算器，于是每只降价0.100.10(20-10)=1(20-10)=1(元元) )，因，因此，所买的全部此，所买的全部2020只计算器都按照每只只计算器都按照每只1919元计算，但是最元计算，但是最低价为每只低价为每只1616元元. .40(1)(1)求一次至少买多少只，才能以最低价购买求一次至少买多少只，才能以最低价购买? ?(2)(2)写出该专卖店当一次销售写出该专卖店当一次销售x(x(只只) )，所获利润，所获利润y(y(元元) )与与x(x(只只) )之间的函数

26、关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x x的取值范围的取值范围; ;(3)(3)若店主一次卖的只数在若店主一次卖的只数在1010至至5050只之间，问一次卖多少只只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？获得的利润最大？其最大利润为多少？41【解析解析】(1)(1)设一次购买设一次购买x x只，才能以最低价购买，则有：只，才能以最低价购买，则有：0.1(x-10)=20-160.1(x-10)=20-16，解这个方程得，解这个方程得x=50;x=50;答：一次至少买答：一次至少买5050只，才能以最低价购买只，才能以最低价购买. .(2)y=(2)y=220 x 1

27、3x7x(0 x10)120 130.1 x 10 xx8x(10 x 50)1016x 13x3x(x50) 42(3)(3)将将y= +8xy= +8x配方得配方得y= (x-40)y= (x-40)2 2+160+160，所以店主一次卖所以店主一次卖4040只时可获得最高利润，最高利润为只时可获得最高利润，最高利润为160160元元.(.(也可用公式法求得也可用公式法求得) )21x1011043存在性探索问题存在性探索问题存在性探索问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题，存在性探索问题是指满足某种条件的事物是否存在的问题，这类题目的一般解题规律是：假设存在这类题目的一般解题规律是：假

28、设存在推理论证推理论证得出得出结论结论. .若能推导出合理的结论，就作出若能推导出合理的结论，就作出“存在存在” 的判断，的判断，若推导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，若推导出不合理的结论，或与已知、已证相矛盾的结论，则作出则作出“不存在不存在”的判断的判断. .44【例例4 4】(2010(2010陕西中考陕西中考) )如图，在平面直角坐标系中，抛如图，在平面直角坐标系中，抛物线过物线过A(-1,0)A(-1,0)，B(3,0),C(0B(3,0),C(0，-1)-1)三点三点. .45(1)(1)求该抛物线的表达式；求该抛物线的表达式；(2)(2)点点Q Q在在y y轴上，点轴

29、上，点P P在抛物线上，要使在抛物线上，要使Q Q、P P、A A、B B为顶点为顶点的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形, ,求所有满足条件的点求所有满足条件的点P P的坐标的坐标. .【思路点拨思路点拨】 46【自主解答自主解答】(1)(1)设该抛物线的表达式为设该抛物线的表达式为y=axy=ax2 2+bx+c,+bx+c,根据题意，将根据题意，将A A、B B、C C三点的坐标代入三点的坐标代入得得解得解得所求抛物线的表达式为所求抛物线的表达式为abc09a3bc0,c1 1a32b.3c1212yxx 1.3347(2)(2)48ABAB为边时，只要为边时，只要PQABPQAB且

30、且PQ=AB=4PQ=AB=4即可即可. .又知点又知点Q Q在在y y轴上，轴上，点点P P的横坐标为的横坐标为4 4或或-4-4，这时符合条件的点，这时符合条件的点P P有两个，分别有两个，分别记为记为P P1 1,P,P2 2. .而当而当x=4x=4时，时，y= y= ；当；当x=-4x=-4时，时，y=7y=7，此时，此时P P1 1(4(4， ),P),P2 2(-4,7).(-4,7).535349当当ABAB为对角线时，只要线段为对角线时，只要线段PQPQ与线段与线段ABAB互相平分即可互相平分即可, ,又又知点知点Q Q在在y y轴上，且线段轴上，且线段ABAB中点的横坐标为

31、中点的横坐标为1,1,点点P P的横坐标为的横坐标为2 2，这时符合条件的，这时符合条件的P P只有一个记为只有一个记为P P3 3. .而当而当x=2x=2时时,y=-1,y=-1，此时，此时P P3 3(2(2，-1).-1).综上，满足条件的点综上，满足条件的点P P的坐标为的坐标为(4(4， ) )或或(-4,7)(-4,7)或或(2(2，-1).-1).53508.(20108.(2010南通中考南通中考) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，已知点中，已知点P(2P(2，2)2)，点，点Q Q在在y y轴上，轴上，PQOPQO是等腰三角形，则满足条件是等腰三角形，则满足条件的点的点Q Q共有共有( )( )(A)5(A)5个