高等代数教案第一多项式

1、1.1 1.1 数域数域1.2 1.2 一元多项式的定义与运算一元多项式的定义与运算 1.3 1.3 多项式的除法多项式的除法1.4 1.4 最大公因式最大公因式1.5 1.5 因式分解因式分解 1.6 1.6 复数域与实数域上的多项式复数域与实数域上的多项式1.7 1.7 有理数域上多项式有理数域上多项式,PabPbaPba0bPbaPCPPPba,说明：有理数集 ，实数集 ，复数集 都是数域，整数集 不是数域。QRCZ)2(QQbabaQ,2)2()2(Q)2(,Q2,22211babaQbaba2211,22)(2121Qbbaa22)2(22122121212211Qbababbaab

2、aba显然， .RQQ)2(, 0222ba)2(Q22,baQbaba2211,22222222222222211222222121222222112211bababababbaababababababa0222ba,2,222222211222222121Qbababababbaa)2(Q)3(ZZbabaZ,3)3()3(,Z3, 32211babaZbaba2211,)3(,Z, 0322ba22,ba33332222211222222121bababababbaa虽然 ， 不一定属于 ，所以 不一定属于 ，因此 不是数域.Zbaba2211,22222112222221213,33b

3、ababababbaaZ)3(Z)3(ZQCP RP 1.2.4 多项式的运算多项式的运算二、教学目的二、教学目的 掌握一元多项式的定义掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质有关概念和基本运算性质. 三、重点、难点三、重点、难点 一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。 1.2.1 认识多项式认识多项式1.2.2 相等多项式相等多项式1.2.3 多项式的次数多项式的次数1.2.5 多项式加法和乘法的运算规则多项式加法和乘法的运算规则1.2.6 多项式的运算性质多项式的运算性质多项式多项式令令P P是一个数域是一个数域,P,P上一

4、个文字上一个文字x x的多项式或一元多项式的多项式或一元多项式指的是形式表达式指的是形式表达式 nnxaxaxaa2210这里这里n n是非负整数而是非负整数而 niai , , 1 , 0都是数域都是数域P P中的数中的数. . 一元多项式常用符号一元多项式常用符号 , ,xgxf来表示来表示. . 注注1：在多项式：在多项式(1)中中, 0a叫做零次项或常数项叫做零次项或常数项, iixa叫做叫做 i 次项次项, ia叫做叫做 i 次项的系数次项的系数. 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是某一个数为零的项；若是某一个i次

5、项的系数是次项的系数是1 ，那，那 么这个系数可以省略不写。么这个系数可以省略不写。 定义定义若是数域若是数域P上两个一元多项式上两个一元多项式 , f (x) 和和g (x)有完全有完全相同的项相同的项,或者只差一些系数为零的项或者只差一些系数为零的项, 那么那么 f (x) 和和g (x)就说是相等就说是相等 ，记为：，记为： f (x) = g (x)叫做多项式叫做多项式 nnxannxaxaxaa22100na的最高次项的最高次项,非负整数非负整数n叫做多项式叫做多项式 nnxaxaxaa22100na的次数的次数. 记作记作 (x)deg fxf或注：注：系数全为零的多项式没有次数系

6、数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做这个多项式叫做零多项式，记为零多项式，记为 0 . 给定数域给定数域P上两个多项式上两个多项式 nnxaxaxaaxf2210 mmxbxbxbbxg2210且且m n, f (x) 和和g (x) 的加法定义为的加法定义为 nnnxbaxbaxbabaxgxf2221100这里当这里当m 0)次多项式次多项式f (x)都可以分解成都可以分解成P x的不可约多项式的乘积的不可约多项式的乘积.令令f (x)是是Px的一个次数大于零的多项式，并且的一个次数大于零的多项式，并且 ,2121xqxqxqxpxpxpxfsr ,), 2 , 1, 2 , 1()(

7、均不可约与sjrixqxpji)()(xqcxpisr 例例 在有理数域上分解多项式在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积为不可约因式的乘积.容易看出容易看出 2223xxxxf（2） 2122223xxxxx一次因式一次因式x + 1自然在有理数域上不可约自然在有理数域上不可约.我们证明，我们证明，二次因式二次因式 也在有理数域上不可约也在有理数域上不可约.不然的话不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于将能写成有理数域上两个次数小于2的因式的因式的乘积，因此将能写成的乘积，因此将能写成 22x22x（3 3） bxaxx 22的形式，这里的形式，这里a和和b是有理数是有理数.把等式（把

8、等式（3）的右端乘开，）的右端乘开，并且比较两端的系数，将得并且比较两端的系数，将得a + b = 0 , ab = - 2，由此，由此将得将得 .这与这与a是有理数的假定矛盾是有理数的假定矛盾.这样，（这样，（2）给出多项式在有理数域上的一个不可约因式分解给出多项式在有理数域上的一个不可约因式分解.2a我们还可以如下证明我们还可以如下证明 在有理数域上不可约在有理数域上不可约.如如果（果（3）式成立，那么它也给出）式成立，那么它也给出 的实数域上的实数域上的一个不可约因式分解的一个不可约因式分解.但在实数域上但在实数域上22x22x2222xxx因此由唯一分解定理就得出因此由唯一分解定理就得

9、出2a的矛盾的矛盾. .一一.内容分布内容分布 1.6.1 代数基本定理代数基本定理. 1.6.2 实系数多项式分解定理实系数多项式分解定理. 二二.教学目的教学目的 1.理解代数基本定理、重根的定义理解代数基本定理、重根的定义. 2.掌握实系数多项式的性质掌握实系数多项式的性质. 三三.重点、难点重点、难点 代数基本定理代数基本定理,根与系数的关系根与系数的关系,实系数多项式性质实系数多项式性质. 证证 设设f (x)是一个次多项式是一个次多项式,那么由定理那么由定理2.7.1,它在复它在复数域数域C中有一个根中有一个根 因此在因此在C x中中,1),()()(11xfxxf这里这里 是是C

10、上的一个上的一个n 1 次多项式次多项式.若若n 1 0,那那么在么在C中有一个根中有一个根 因而在因而在C x中中)(1xf,2).()()(221xfxxxf任何任何n (n 0)次多项式在复数域中至少有一个根次多项式在复数域中至少有一个根. 定理定理1.6.1 (1.6.1 (代数基本定理代数基本定理) )任何任何n (n 0)次多项式在复数域中有次多项式在复数域中有n个根个根(重根重根按重数计算按重数计算) .定理定理1.6.21.6.2这样继续下去这样继续下去,最后最后f (x)在在C x中完全分解成中完全分解成n个一个一次因式的乘积次因式的乘积,而在而在f (x) C中有中有n个根

11、个根.复数域复数域C上任一上任一n (n 0)次多项式可以在次多项式可以在C x里分里分解为一次因式的乘积解为一次因式的乘积.复数域上任一次数大于复数域上任一次数大于1的多的多项式都是可约的项式都是可约的.定理定理1.6.3 1.6.3 若实系数多项式若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根有一个非实的复数根 ,那么那么的共轭数的共轭数 也是也是f (x)的根的根, 并且并且 与与 有同一重数有同一重数.换句话说换句话说,实系数多项式的非实复数根两两成对出实系数多项式的非实复数根两两成对出现现.定理定理1.6.4 1.6.4 实数域上不可约多项式实数域上不可约多项式, 除一次多项式外除一次

12、多项式外, 只有含非只有含非实共轭复数根的二次多项式实共轭复数根的二次多项式. 定理定理1.6.5 1.6.5 每一个次数大于每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积数的一次和二次不可约因式的乘积.一一. .内容分布内容分布 1.7.1 本原多项式及高斯引理本原多项式及高斯引理. 1.7.2 艾森斯坦差别法艾森斯坦差别法 .1.7.3 求整系数多项式的有理根求整系数多项式的有理根.二二. .教学目的教学目的 1.掌握本原多项式概念及高斯引理掌握本原多项式概念及高斯引理. 2.熟悉运用艾森斯坦差别法熟悉运用艾森斯坦差别法. 3.掌

13、握求整系数多项式的有理根掌握求整系数多项式的有理根 .三三. .重点、难点重点、难点 艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法. 引理引理1.7.1 1.7.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.若是一个整系数多项式若是一个整系数多项式f (x)的系数互素的系数互素,那么那么f (x)叫叫作一个本原多项式作一个本原多项式.若是一个整系数若是一个整系数n (n 0)次多项式次多项式f (x)在有理数域上在有理数域上可约可约, 那么那么f (x)总可以分解成次数都小于总可以分解成次数都小于n的两个整的两个整

14、系数多项式的乘积系数多项式的乘积. 设设p是一个素数是一个素数. 多项式多项式1)(21xxxxfpp叫做一个分圆多项式叫做一个分圆多项式. (i) 的最高次项系数的最高次项系数 而而 的常的常数项数项)(xfv整除,na)(xfu整除;0a(ii) 这里这里q (x)是一个整系数多项式是一个整系数多项式.),()()(xqvuxxf设设 0111)(axaxaxfnnn是一个整系数多项式是一个整系数多项式. 若是有理数若是有理数 是是f (x)的一个根的一个根, 这里这里u和和v是互素的整数是互素的整数, 那么那么vu定理定理1.7.41.7.4这个多项式的最高次项系数这个多项式的最高次项系数3的因子的因子 常数项常数项 2的因子的因子 ，所以可能的有理根是，所以可能的有理根是 我们算出我们算出 所以所以1与与 1都不是都不是f (x)的根，同理，可以判断的根，同理，可以判断 是是f(x)的有理根的有理根., 3, 1. 2, 1.32,31, 2, 1. 8) 1(,12) 1