勾股定理定理第二讲题

1、精选优质文档-倾情为你奉上勾股定理（二）知识梳理一、勾股定理的逆定理1.如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是_三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的_二、命题1概念：对事情进行判断的句子叫做命题2组成部分：命题由题设和结论两部分组成每个命题都可以写成“如果，那么”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论3分类：命题分为真命题和假命题两种判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例三、互逆命题1概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个

2、命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题2说明：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然四、互逆定理 1概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理 2说明： （1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是顶角相等”没有逆定理 （2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，

3、即互逆命题包含互逆定理典型例题（一）勾股定理的逆定理题型一：判定三角形的形状【例1】（2006临安市）请阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状解：a2c2-b2c2=a4-b4，Ac2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2），Bc2=a2+b2，CABC为直角三角形D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： ；（2）错误的原因是： ；（3）本题正确的结论是： 【即时练习】1. ABC中，A、B、C的对边的分别用a、b、c来表示，且其满足关系：，试判断ABC的形状2. 已知a，b，c为ABC的三边，且（ac）：（a+b）

4、：（cb）=2：7：1，试判断ABC的形状3. 如图，正方形ABCD的边长为4，M是AB的中点，且AN=AD，问CMN是什么三角形并加以证明题型二：勾股数【例2】若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：，根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数；（3）用两个正整数m、n（mn）表示一组商高数，并证明你的结论【即时练习】1.

5、 观察下表：列举猜想3，4，5 32=4+55，12，13 52=12+137，24，25 72=24+2513，b，c 132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值2. （1）一位同学从勾股数“3，4，5”中发现，由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法你发现了吗？请你写出一下几组勾股数组：5，_，_；7，_，_；9，_，_；（2）写出一般规律的表达方式，（用字母n表示，n为正整数）_，_，_3.古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m21，c=m2+1，那么a、b、c为勾股数你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数题型三：求面积

6、【例3】如图，在四边形ABCD中，D=90°，AB=12，BC=13，CD=4，AD=3，求四边形ABCD的面积【即时练习】1. 如图，已知AD=4，CD=3，ADC=90°，AB=13，BC=12，求四边形ABCD的面积2. 如图所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，BPQ的面积为 cm23.如图，已知在四边形ABCD中，E、F分别为AD、DC的中点，ADBC，AD：DC=1：，AB=10、BC=6、EF=4（1）求AD的长

7、；（2）DEF是什么三角形？请你给出正确的判断，并加以说明；（3）求四边形ABCD的面积题型四：勾股定理及其逆定理的综合应用【例4】（2011牡丹江）在ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向ABC外作ABD，使ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长练习：1（2008天津）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=x+2的图象上，且ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个2如图，点D是ABC内一点，ABD绕点B顺时针方向旋转600得到CBE，若AD=4，BD=3，CD=5（1）判断DEC的形状，并说明理由；（2

8、）求ADB的度数3如图，已知CAAB，DBAB，AC=BE，AE=BD（1）试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并说明你的结论；（2）若AC=5，BD=12，求CE的长（提示：连接CD）4如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且B=90°，求DAB度数5（2007内江）如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F（1）求证：ACEBCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论（二）命题与互逆命题题型一：命题与互逆命题【例1】说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题（1）如果

9、一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余（2）等边三角形的每个角都等于60°（3）全等三角形的对应角相等（4）到一个角的两边距离相等的点，这个角的平分线上（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个短点的距离相等【即时练习】1、已知下列命题：若a0，b0，则a+b0；若ab，则a2b2；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半菱形的对角线互相垂直其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个题型二：互逆定理【例2】列举三个互逆定理。练习：1命题“如果一个数能被10整除，那么这个数也一定能被5整除”的逆命题是 ，这个逆命题为 （填“真命题”或“假命题”

10、）2命题“矩形的对角线相等”的逆命题是 3（2011凉山州）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果，那么”的形式： 反馈练习A组一、 选择题1小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（ ）A锐角 B直角 C钝角 D不能确定2若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 3.若ABC的三边a、b、c满足则此三角形的形状为_4. 一个三角

11、形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）A 20:15:12B 3:4:5C 5:4:3D 10:8:25下列命题：（1）在ABC中，若A=CB，则ABC为直角三角形（2）若直角三角形有两条边的长分别为3和4，则第三边一定为5（3）在ABC中，若a2=b2c2，则ABC为直角三角形（4）三边长之比为1：1：的三角形是等腰直角三角形（5）因为（）2+（）2（）2，所以以，为边的三角形不是直角三角形其中正确的有（）个 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个6 三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ） A直角三角形 B 钝角三角形

12、 C锐角三角形 D不能确定7五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） A B C D8如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A、CD、EF、GH B、AB、EF、GHC、AB、CD、GH D、AB、CD、EF9、（2006南通）如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（）A、10个B、12个C、14个D、16个10、（2009遂宁）如图，已知ABC中，AB=5

13、cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为cmB组11、（2007绵阳）若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形以的长为边的三条线段能组成一个三角形以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形以的长为边的三条线段能组成直角三角形其中所有正确结论的序号为 12、（2006丽水）如图，以ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2=S3，那么ABC的形状是 三角形13、（2006青岛）如图，P是正ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将

14、PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，则点P与P之间的距离为PP= ，APB= 度14、如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90°，求证：A+C=180°15、（2003哈尔滨）若在ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC边上的中线AD=4cm，则ADC的度数是 度16、（2004龙岩）张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345a221321421521b46810c22+132+142+152+1（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ；（2）猜想：以a，

15、b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想 C组17、（2010本溪）如图a，EBF=90°，请按下列要求准确画图：1：在射线BE、BF上分别取点A、C，使BCAB2BC，连接AC得直角ABC；2：在AB边上取一点M，使AM=BC，在射线CB边上取一点N，使CN=BM，直线AN、CM相交于点P（1）请用量角器度量APM的度数为 ；（精确到1°）（2）请用说理的方法求出APM的度数；（3）若将中的条件“BCAB2BC”改为“AB2BC”，其他条件不变，你能自己在图b中画出图形，求出APM的度数吗？18、阅读理解题：（1）如图所示，在ABC中，AD是BC边上的中线，且AD

16、=BC求证：BAC=90°证明：BD=CD，AD=BC，AD=BD=DC，B=BAD，C=CAD，B+BAD+CAD+C=180°，BAD+CAD=90°，即BAC=90°（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为1+，求这个三角形的面积19、如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验MPN是不是直角，简述你的作法分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若P是一个直角，P所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把P放在一个三角

17、形中，利用勾股定理的逆定理来解决此题20、如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）求出4种不同拼法的图形的等腰三角形的周长参考答案（一）勾股定理的逆定理题型一：判定三角形的形状【例1】解：（1）C；（2）方程两边同除以（a2-b2），因为（a2-b2）的值有可能是0；（3）该三角形是直角三角形或等腰三角形【即时练习】1.【参考答案】解：，|ab+2|0（c10）20，a+b14=0，ab+2=0，c10=0解得：a=6，b=8，c=10，62+82=1

18、02即有：a2+b2=c2。ABC是直角三角形，C=90°2.【参考答案】解：（ac）：（a+b）=2：7，9a+2b7c=0 （ac）：（cb）=2：1，a2b+c=0 （a+b）：（cb）=7：1，a+8b7c=0 +得a：c=3：5，得a：b=3：4，a：b：c=3：4：5，ABC是直角三角形3.解：CMN是直角三角形证明：正方形ABCD的边长为4，AB=BC=CD=AD=4M是AB的中点，AM=BM=2AN=AD，AD=4，AN=1，DN=3在RtAMN中，满足AM2+AN2=MN2，且AM=2，AN=1，MN=同理可得：MC=，NC=5MN2+MC2=（）2+（）2=25，

19、NC2=52=25，MN2+MC2=NC2CMN是直角三角形题型二：勾股数【例2】解：（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数；（2）（40，42，58），（119，120，169）；（3）a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2证明：a2+b2=（2mn）2+（m2-n2）2=4m2n2+m4-2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，a2+b2=c2【即时练习】1、解：在32=4+5中，4=，5=；在52=12+13中，12=，13=；则在13、b、c中，b=84，c=852.解：（1）；（2）一般规律的表达方式：n，3.解：正确理由：m表示大于1的整数，a，b，c都是正整

20、数，且c是最大边，（2m）2+（m21）2=（m2+1）2，a2+b2=c2，即a、b、c为勾股数当m=2时，可得勾股数3，4，5题型三：求面积【例3】解：连接AC在ADC中，D=90°，AC2=AD2+CD2由CD=4，AD=3，得AC=5，在ABC中，AB=12，BC=13，BC2AB2=132122=25，得：BC2=AB2+AC2，CAB=90°（勾股定理的逆定理）因此，S四边形ABCD=SACD+SACB=ADDC+ABAC=×3×4+×12×5=36【即时练习】1.解：如图，连接AC，因为AD=4，CD=3，ADC=90&

21、#176;，所以，ACD的面积=6，在ABC中，因为AC=5，BC=12，AB=13，AC2+BC2=AB2，即ABC为直角三角形，且ACB=90°，所以直角ABC的面积=30，所以四边形ABCD的面积=306=242.解：设AB为3x，BC为4x，AC为5x，周长为36，AB+BC+AC=36，3x+4x+5x=36，得x=3，AB=9，BC=12，AC=15，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过3秒时，BP=93×1=6，BQ=2×3=6，SPBQ=BPBQ=×（93）×6=18cm23.解：（1）如图：连接AC，E、F分别为AD

22、、DC的中点，AC=2EF，EF=4，AC=8，AB=10，BC=6，ABC为直角三角形，ACB=90°，ADBC，CAD=90°，AD：DC=1：，设AD=x，则CD=x，即x2+AC2=（x）2，解得x=8，AD的长为8；（2）EF是ACD的中位线，EFAC，DFE=90°，DEF是直角三角形；（3）S四边形ABCD=SABC+SACD=ACBC÷2+ACAD÷2=8×6÷2+8×8÷2=32题型四：勾股定理及其逆定理的综合应用【例4】解：AC=4，BC=2，AB=，AC2+BC2=AB2，ACB为直

23、角三角形，ACB=90°分三种情况：如图（1），过点D作DECB，垂足为点E易证ACBBED，易求CD=2；如图（2），过点D作DECA，垂足为点E易证ACBDEA，易求CD=2；如图（3），过点D作DECB，垂足为点E，过点A作AFDE，垂足为点F易证AFDDEB，易求CD=3练习：1解：由题意知，直线y=x+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2），如图：过点A作垂线与直线的交点W（4，4），过点B作垂线与直线的交点S（2，1），过AB中点E（1，0），作垂线与直线的交点为F（1，2.5），则EF=2.53，所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点，共有四个

24、点能与点A，点B组成直角三角形故选D2解：（1）根据图形的旋转不变性，AD=EC，BD=BE，又因为DBE=ABC=60°，所以ABC和DBE均为等边三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又因为CD=5，所以DE2+EC2=32+42=52=CD2；故DEC为直角三角形（2）因为DEC为直角三角形，所以DEC=90°，又因为BDE为等边三角形，所以BED=60°，故BEC=90°+60°=150°，即ADB=150°3（1）CE=DE，CEDE证明：CAAB，DBAB，A=BAC=BE，AE=BD，AECBDE（SAS

25、）CE=DE，CEA=BDEBED+BDE=90°，CEA+BED=90°CEDE（2）由（1）可知AC=5，AE=BD=12，CE=134解：连接AC设DA=k，则AB=2k，BC=2k，CD=3kB=90°，AB：BC=2：2，BAC=45°，AC2=AB2+BC2=4k2+4k2=8k2，（3k）2k2=8k2，DAC=90°，DAB=BAC+DAC=135°5证明：（1）ACB和ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACE=BCD=90°ACEBCD（2）解：直线AE与BD互相垂直证明：ACEBCD，EA

26、C=DBC又DBC+CDB=90°，EAC+CDB=90°AFD=90°AFBD即AEBD（二）命题与互逆命题题型一：命题与互逆命题【例1】 (1)题设：一个三角形是直角三角形 结论：它的两个锐角互余 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形(2)题设：一个三角形是等边三角形 结论：这个三角形的每个角都是60° 逆命题：如果一个三角形的每个角都是60°那么这个三角形是等边三角形(3)题设：三角形全等 结论：三角形的对应边相等 逆命题：对应边相等的三角形是等边三角形(4)题设：点到一个角的两边距离相等 结论：这个叫在脚的平

27、分线上 逆命题：如果一个点在一个角的平分线上那么这个点到角的两边距离相等(5)题设：一个点在线段的垂直平分线上 结论：这个点到线段的两端点的距离相等 逆命题：如果一个点到线段的两端点距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上【即时练习】1、解：若a0，b0，则a+b0，是真命题但若a+b0，则a0，b0，是假命题；若ab，则a2b2，是假命题若a2b2，则ab，也是假命题，如a=1，b=1；原命题与逆命题均为真命题；菱形的对角线互相垂直原命题是真命题，而逆命题是假命题故选D题型二：互逆定理【例2】1、直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。其逆定理：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是

28、直角三角形2、平行四边形的对角线互相平分。其逆定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形3、角平分线上的点到角的两边的距离相等。其逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上。练习：1如果一个数能被5整除，那么这个数能被10整除；假命题2 “如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”3如果三角形三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形作业A组1解：根据题意，所走的三条路程分别为500米，300米，400米，而3002+4002=5002，根据勾股定理的逆定理，三条路程组成的是直角三角形，故小芳从公园到图书馆拐了直角故选B2解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x

29、+12x+13x=60，x=2，三边分别为10cm，24cm，26cm，102+242=262，三角形为直角三角形，S=10×24÷2=120cm23.解：a2+b2c2+338=10a+24b+26c，a210a+25+b224b+144c226c+169=0，原式可化为（a5）2+（b12）2（c13）2=0，即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的），而52+122=132符合勾股定理的逆定理，故该三角形是直角三角形4.解：可设这三边上的高分别为a、b、c同一个三角形，面积是相等的三边之比为3：4：5，最小公倍数为60，这个三角形三边上的高之比为20：15：1

30、2故选C5解：（1）A=CB，A+C+B=180°，C=90°，ABC为Rt，正确；（2）根据勾股定理，3，4可以是直角边，斜边为5；还可是一直角边一斜边，则另一直角边为，错误；（3）a2=b2c2，a2+c2=b2，ABC为直角三角形，正确；（4）12+12=（）2，三角形是等腰直角三角形，正确；（5）（）2+（）2（）2，但是（）2+（）2=（）2，以，为边的三角形是直角三角形，错误；故选B6解：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形，（a2b2）2+（2ab）2=（a2+b2）2，三角形为直角三角形故选A7解：A、7

31、2+242=252，152+202242，222+202252，故不正确；B、72+242=252，152+202242，故不正确；C、72+242=252，152+202=252，故正确；D、72+202252，242+152252，故不正确故选C8解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH故选B9、解：可得到14个直角三角形，分别为ABE、ADE、ABD、BED、BCE、CFE、BCF、BEF、ACF、ADF、ACD、CDF、A

32、EC、DBF故选C10、解：AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，由勾股定理的逆定理得，ABC是直角三角形，BD=AC=cmB组11、解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和第三边，故不能组成一个三角形，故错误；（2）直角三角形的三边有a+bc（a，b，c中c最大），而在三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即a+b+，（由a+bc），则不等式成立，从而满足两边之和第三边，则以的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）2+h2=a2+b2+

33、2ab+h2，（c+h）2=c2+h2+2ch又2ab=2ch=4SABC，（a+b）2+h2=（c+h）2，根据勾股定理的逆定理即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形故正确；（4）假设a=3 b=4，c=5，的长为，以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误故填12、解：S1+S2=S3且S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形13、解：连接PP，PA=6，PB=8，PC=PB=10，PAP=60°，PA=PP=PA=6，PB=PC=10，PPB=90°，APB=90°+60°=150°14、证明：连接ACAB=20，BC=15，B=90°，由勾股定理，得AC2=202+152=625又CD=7，AD=24，CD2+AD2=625，AC2=CD2+AD2，D=90°A+C=360°180°=180°15、解：AB=5cm，BC=6cm，AD=4c