易拉罐尺寸的最优设计方案

1、.11602314.2销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？这是为什么呢？.3问题：问题：1.1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设计？计？2.2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧面厚如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧面厚度的度的3 3倍），如何设计最优？倍），如何设计最优？.4一、摘要一、摘要 对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。 对问题二，在假设

2、易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型 ),2(2)(2rrvrdrs由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：000),(.),(min2hrvhrhrgtshrs.5二、模型建立二、模型建立 问题二：问题二：正圆柱形正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型易拉罐尺寸的最优设计模型（1 1）易拉罐）易拉罐各点罐壁厚度相同各点罐壁厚度相同的情形由图的情形由图1 1可知：可知： 容积容积为为 ： 表面积表面积为为 ： 模型一：模型一：hrV2图1 各点罐壁厚度相同的圆柱

3、形易拉罐模型一：模型一：0,.2min22hrhrVtsrhrSrhrrrrhSM22222hrV2.6（2 2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根据根据材料的用量与其体积成正比。材料的用量与其体积成正比。 容积一定时，所用容积一定时，所用材料的体积最小时的尺材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：，所需要的材料为：图2 有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐 dahcrhrY22 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts模型二：模型二：应使应使Y Y

4、取最小值，取最小值，模型二：模型二：.7（3）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度不同罐壁厚度并考虑焊缝长度4的情形的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同工作量有影响，使得易拉罐的工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省材料用量最省的同时，的同时，焊缝焊缝长度也尽量取到最小。长度也尽量取到最小。 根据模型分析，可得根据模型分析，可得焊缝长度焊缝长度： rZ2将焊缝的长度为将焊缝的长度为Z时的工作量转化为时的工作量转化为同等的材料体积同等的材料体积，从而可以，从而可以将二者直接相加。将二者直接相加。模型三模型三： rdahcrh

5、rZYM2min222121（此模型即为求解问题二的完善模型） 0,. .212dahcrVts.81. 问题一的求解问题一的求解 表表1 101 10种种355ml355ml易拉罐饮料的相关测量数据易拉罐饮料的相关测量数据项项目目数数值值种种类类三、模型求解三、模型求解.9表表2 GB2 GBT 9106T 910620012001中规定的罐体主要尺寸中规定的罐体主要尺寸(单位：毫米单位：毫米)5.10 VdahcrdahcrhrF222 0022202222222VdahcrFcrcrrhFdahcrdahcrrhrFcdarh62rh（2）易拉罐有）易拉罐有不同罐壁厚度不同罐壁厚度的情形

6、，根据的情形，根据模型二模型二， 用用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求解新的函数：求解新的函数：然后分别对，解得：解得：即即 圆柱体的圆柱体的高与半径高与半径 之比为之比为6时时为最优尺寸为最优尺寸 dahcrhrYM22min 0,.2dcadahcrVts.110,.2min22hrhrVtsrhrSS022222322rVrrrVr32Vr 5.6MatlabSrrVVVrVh22843322322（1）易拉罐）易拉罐各点罐壁厚度相同各点罐壁厚度相同的情形的情形 根据根据模型一模型一知：知：取取最小值最小值时，必定有时，必定有， 图7 体积一定时随变化的曲线即易拉罐的即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少时，所需材料最少。.12rh2:rh根据问题一中测得的实际数据可以得到根据问题一中测得的实际数据可以得到 表表3 检验数据表检验数据表由表由表3可知：所有可知：所有均在此范围内，在均在此范围内，在1与与3之间必有一之间必有一个最优值符合实际条件，从结果可大个最优值符合实际条件，从结果可大致得出此致得出此最优值应该在最优