线性系统理论第一章

1、讲授：讲授：作者：作者：出版：西北工业大学出版社出版：西北工业大学出版社线性系统理论线性系统理论简介：简介： 线性系统理论（线性系统理论（linear systems theorylinear systems theory）以状态空）以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。间法为主要工具研究多变量线性系统的理论。2020世纪世纪5050年年代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，代以后，随着航天等技术发展和控制理论应用范围的扩大，经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际经典线性控制理论的局限性日趋明显，它既不能满足实际需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推

2、动了需要，也不能解决理论本身提出的一些问题，这就推动了线性系统的研究，于是在线性系统的研究，于是在19601960年以后从经典阶段发展到现年以后从经典阶段发展到现阶段。阶段。线性系统理论线性系统理论美国学者美国学者R.E.R.E.卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性卡尔曼首先把状态空间法应用于多变量线性系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。系统的研究，提出了能控性和能观测性两个基本概念。 2020世纪世纪6060年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域现了线性系统几何理论、线性系统代数理论

3、和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技方法等研究多变量系统的新理论和新方法。随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。问题也受到普遍的重视。线性系统理论线性系统理论与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分

4、析和综合方面以时域方法为主而经内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。线性系统理论线性系统理论相关书籍相关书籍线性系统理论线性系统理论第一章第一章 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述为了分析研究系统，建立描述系统的数学方程是首要为了分析研究系统，建立描述系统的数学方程是首要的。经典控制理论中的时间域理论对单输入的。经典控制理论中的时间域理论对单输入- -单输出线性单输出线性定常系统用高阶微分方程或传递函数来描述输入定常系统用高阶微分方程或传递函数来描述输入- -输出变输出变量间的因果关系，分

5、析的主要方面限于运动的稳定性，不量间的因果关系，分析的主要方面限于运动的稳定性，不便用来综合系统。便用来综合系统。 2020世纪世纪6060年代以后，现代线性系统理年代以后，现代线性系统理论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代论又有了新发展，出现了线性系统几何理论、线性系统代数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新数理论和多变量频域方法等研究多变量系统的新理论和新方法。方法。线性系统理论线性系统理论 随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。运用状态空间法和计算辅助设计问题也受到普遍

6、的重视。运用状态空间法研究系统是现代控制理论的重要标志，状态空间方程是现研究系统是现代控制理论的重要标志，状态空间方程是现代控制理论的最基本的数学模型。本章主要介绍状态空间代控制理论的最基本的数学模型。本章主要介绍状态空间描述的基本概念以及建立状态空间方程的方法。描述的基本概念以及建立状态空间方程的方法。 线性系统理论线性系统理论1.11.1系统的状态空间描述系统的状态空间描述1.21.2化输入化输入- -输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述1.3由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵1.4线性系统的坐标变换线性系统的坐标变换1.5组合系统的状态空间方程与传递函组

7、合系统的状态空间方程与传递函数矩阵数矩阵线性系统理论线性系统理论1.1 1.1 系统的状态空间描述系统的状态空间描述系统数学描述的两种基本类型系统数学描述的两种基本类型 这里所谓的系统是泛这里所谓的系统是泛指一些互相作用的部分构成的整体，它可能是一个反馈控指一些互相作用的部分构成的整体，它可能是一个反馈控制系统，也可能是某一控翻装置或受控对象。所研究系统制系统，也可能是某一控翻装置或受控对象。所研究系统均假定具有若干输入端和输出端。外部环境对系统的作用均假定具有若干输入端和输出端。外部环境对系统的作用称为系统输入，以向量称为系统输入，以向量 表示，施于输入端；系表示，施于输入端；系统对外部环境

8、的作用称系统输出，以向量统对外部环境的作用称系统输出，以向量 表示，表示，可在输出端量测，它们均为系统的外部变量。可在输出端量测，它们均为系统的外部变量。1Tpuuu1Tqyyy线性系统理论线性系统理论描述系统内部所处的行为状态的变量以向量描述系统内部所处的行为状态的变量以向量 表表示，它们为内部变量。示，它们为内部变量。系统数学描述通常可分为下列两种系统数学描述通常可分为下列两种基本类型：一为系统的外部描述，即输入基本类型：一为系统的外部描述，即输入- -输出描述，这输出描述，这种描述将系统看成是一个种描述将系统看成是一个“黑箱黑箱”，只能接触系统的输入，只能接触系统的输入端和输出端，不去表

9、示系统内部的结构及变量，只从输入端和输出端，不去表示系统内部的结构及变量，只从输入- -输出的因果关系中获悉系统特性。若系统是一个单输入输出的因果关系中获悉系统特性。若系统是一个单输入- -单输出线性定常系统，其外部描述的数学方程就是一个单输出线性定常系统，其外部描述的数学方程就是一个 阶微分方程及对应的传递函数。阶微分方程及对应的传递函数。1Tnxxxn线性系统理论线性系统理论一为系统的内部描述，即状态空间描述，这种描述将一为系统的内部描述，即状态空间描述，这种描述将系统视为由动力学部件和输出部件组成，将系统的动态过系统视为由动力学部件和输出部件组成，将系统的动态过程细化为两个过程，即输入引

10、起内部状态的变化，程细化为两个过程，即输入引起内部状态的变化， 和和 间的因果关系常用一阶微分方程组或间的因果关系常用一阶微分方程组或差分方程组表示，称为状态方程；还有内部状态和输入一差分方程组表示，称为状态方程；还有内部状态和输入一起引起输出的变化，起引起输出的变化， 和和 、 间的因果间的因果关系是一组代数方程，称为输出方程。外部描述仅描述系关系是一组代数方程，称为输出方程。外部描述仅描述系统的终端特性，内部描述则是既描述系统内部特性又描述统的终端特性，内部描述则是既描述系统内部特性又描述终端持性的。终端持性的。 1( , , )nxx1( , , )puu1( , , )qyy1( ,

11、, )nxx1( , , )puu线性系统理论线性系统理论系统的两种基本描述的结构示意图见图系统的两种基本描述的结构示意图见图1.11.1。以后的研究。以后的研究可看出，外部描述通常是一种不完全的描述，具有完全不可看出，外部描述通常是一种不完全的描述，具有完全不同的内部结构特性的两个系统可能具有相同的外部特性，同的内部结构特性的两个系统可能具有相同的外部特性，而内部描述是一种完全的描述，能完全表示系统的一切动而内部描述是一种完全的描述，能完全表示系统的一切动态特性。仅当系统具有一定属性的条件下，两种描述才具态特性。仅当系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。有等价关系。 线性系统理论

12、线性系统理论图图1.1 1.1 系统的两种基本描述系统的两种基本描述(a) (a) 外部描述；外部描述；(b) (b) 内部描述内部描述线性系统理论线性系统理论 无论是外部描述还是内部描述，下列概念是常用的，无论是外部描述还是内部描述，下列概念是常用的，现给出定义以有助于理解系统性质及系统分类。现给出定义以有助于理解系统性质及系统分类。 系统在时刻系统在时刻 称为松弛的，当且仅当输出称为松弛的，当且仅当输出 由输由输入入 唯一确定。从能量的观点看，在时刻唯一确定。从能量的观点看，在时刻 不存在存不存在存储能量，则称系统在时刻储能量，则称系统在时刻 是松弛的。式中是松弛的。式中 表示定表示定义在

13、时间区间义在时间区间 的输入。的输入。 0 ,)t u0t0 ,)t y0t0 ,)t u0 ,)t 0t线性系统理论线性系统理论例如一个例如一个RLCRLC网络，若所有电容两端的电压和流过电网络，若所有电容两端的电压和流过电感的电流在感的电流在 时刻均为零（即初始条件为零），则网络称时刻均为零（即初始条件为零），则网络称为在为在 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，其输出响应时刻是松弛的。若网络不是松弛的，其输出响应不仅由不仅由 所决定，还与初始条件有关。所决定，还与初始条件有关。 在松弛性假定下，系统得输入在松弛性假定下，系统得输入- -输出描述有输出描述有 （1.11.1） 式中式中 是某一

14、算子或函数，例如传递函数就是一种算子。是某一算子或函数，例如传递函数就是一种算子。0t0t0 ,)t uHyuH线性系统理论线性系统理论 若系统在时刻的输出仅取决于若系统在时刻的输出仅取决于t t时刻及在时刻及在t t之前的输入，之前的输入，而与之后的输入无关，则称系统具有因果性。本书所研究而与之后的输入无关，则称系统具有因果性。本书所研究的实际物理系统都具有因果性，并称为因果系统。若系统的实际物理系统都具有因果性，并称为因果系统。若系统在在t t时刻的输入尚与时刻的输入尚与t t之后的输入有关，则称该系统不具有之后的输入有关，则称该系统不具有因果性，不具因果性的系统能够在预测之后的输入并施加

15、因果性，不具因果性的系统能够在预测之后的输入并施加于系统而影响其输出。于系统而影响其输出。线性系统理论线性系统理论 一个松弛的系统称为线性的，当且仅当对于任何输入一个松弛的系统称为线性的，当且仅当对于任何输入 和和 ，以及任何实数，以及任何实数 ，均有，均有（1.2） （1.3）否则称为非线性的。式（否则称为非线性的。式（1.2）称为可加性，式（）称为可加性，式（1.3）称）称为齐次性。松弛系统具有这两种特性，称该系统满足叠加为齐次性。松弛系统具有这两种特性，称该系统满足叠加原理。原理。2u1u1212()HHHuuuu11()HHuu线性系统理论线性系统理论式（式（1.2 ）和式（）和式（1

16、.3） 可合并表示为可合并表示为（1.4） 线性系统数学方程中的各项，只含变量及其各阶导数线性系统数学方程中的各项，只含变量及其各阶导数的一次项，不含变量或其导数的高次项，要不含不同变量的一次项，不含变量或其导数的高次项，要不含不同变量的乘积项。的乘积项。1 12 21122()HHHuuuu线性系统理论线性系统理论1.1 系统的状态空间描述 一个松弛系统为时不变的（定常的），当且仅当对于一个松弛系统为时不变的（定常的），当且仅当对于任何输入任何输入 和任何实数和任何实数 ，有，有 （1.51.5）否则称为时变得。式中否则称为时变得。式中 称为位移算子，称为位移算子， 表示对于所表示对于所有有

17、t t有有 （1.61.6）意为意为 的波形与延迟的波形与延迟 秒的秒的 的波形完全相同。的波形完全相同。uHQQ HuuQQ u()QtuuQ u( ) tu线性系统理论线性系统理论式（式（1.5）也可写作）也可写作 （1.7）意为当输入的波形位移意为当输入的波形位移 秒时，输出的波形也位移秒时，输出的波形也位移 秒。秒。线性时不变（定常）系统数学方程中各项的系数必为线性时不变（定常）系统数学方程中各项的系数必为常数，只要有一项的系数是时间的函数时，则是时变的。常数，只要有一项的系数是时间的函数时，则是时变的。 HQQuy线性系统理论线性系统理论 系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念

18、的系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基础上的。状态与状态空间概念早在古典力学中得到广泛基础上的。状态与状态空间概念早在古典力学中得到广泛应用，当将其引入到系统和控制理论中来，使之适于描述应用，当将其引入到系统和控制理论中来，使之适于描述系统的运动行为，才使这两个概念有了更一般性的含义。系统的运动行为，才使这两个概念有了更一般性的含义。系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。但状态（行为或信息）需用变量来表征，故状态变量可简但状态（行为或信息）需用变量来表征，故状态变量可简称为状态。称为状态。线性系统理论线性系统理论动力学系统的状态

19、定义为：能够唯一地确定系统时间动力学系统的状态定义为：能够唯一地确定系统时间域行为的一组独立（数目最少的）变量，只要给定域行为的一组独立（数目最少的）变量，只要给定 时刻时刻的这组变量和的这组变量和 的输入，则系统在的输入，则系统在 的任意时刻的的任意时刻的行为随之完全确定。行为随之完全确定。众所周知，一个用众所周知，一个用n n阶微分方程描述的系统，当阶微分方程描述的系统，当n n个初个初始条件始条件 ， ， 的输入的输入 给定时，可唯一确给定时，可唯一确定方程的解定方程的解 ，故变量，故变量 ， ， 是一组状态是一组状态变量。变量。0t0tt0tt0( )x t0()x t(1)0( )n

20、xt( )u t( )x t( )x t( )x t(1)( )nxt线性系统理论线性系统理论对于确定系统的时域行为来说，一组独立的状态变量对于确定系统的时域行为来说，一组独立的状态变量既是必要的，也是充分的，独立状态变量的个数即系统微既是必要的，也是充分的，独立状态变量的个数即系统微分方程的阶次分方程的阶次n n。显然，当状态变量个数小于。显然，当状态变量个数小于n n，便不能完，便不能完全确定系统状态，变量个数大于全确定系统状态，变量个数大于n n则必有不独立变量，对则必有不独立变量，对于确定系统状态是多余的。至于于确定系统状态是多余的。至于 时刻的状态，表征了时刻的状态，表征了 以前的系

21、统运动的结果，故常称状态是对系统过去、现在以前的系统运动的结果，故常称状态是对系统过去、现在和将来行为的描述。通常取参考时刻和将来行为的描述。通常取参考时刻 为零。为零。0t0t0t线性系统理论线性系统理论状态变量的选择不是唯一的。选择与初始条件对应的状态变量的选择不是唯一的。选择与初始条件对应的变量作为状态变量是一种状态变量的选择方法，但也可以变量作为状态变量是一种状态变量的选择方法，但也可以选择另外一组独立变量作为状态变量，特别应优先考虑在选择另外一组独立变量作为状态变量，特别应优先考虑在物理上可量测的量作为状态变量，如机械系统中的转角、物理上可量测的量作为状态变量，如机械系统中的转角、位

22、移以及它们的速度，电路系统中的电感电流、电容器两位移以及它们的速度，电路系统中的电感电流、电容器两端电压等，这些可量测的状态变量可用于实现反馈控制以端电压等，这些可量测的状态变量可用于实现反馈控制以改善系统性能。改善系统性能。线性系统理论线性系统理论在理论分析研究中，常选择一些在数学上才有意义的量作在理论分析研究中，常选择一些在数学上才有意义的量作为状态变量，它们可能是一些物理量的复杂的线性组合，为状态变量，它们可能是一些物理量的复杂的线性组合，但却可以导出某种典型形式的状态空间方程，以利于建立但却可以导出某种典型形式的状态空间方程，以利于建立一般的状态空间分析理论。选择不同的状态变量只是以不

23、一般的状态空间分析理论。选择不同的状态变量只是以不同形式描述系统，由于不同的状态变量组之间存在着确定同形式描述系统，由于不同的状态变量组之间存在着确定关系，对应的系统描述随之存在对应的确定关系，而系统关系，对应的系统描述随之存在对应的确定关系，而系统的特性则是不变的。的特性则是不变的。线性系统理论线性系统理论本书中将状态变量记为本书中将状态变量记为 ， 。若将个状。若将个状态变量看作向量态变量看作向量 的分量，则的分量，则n n维列向量维列向量称为系统的状态向量。给定称为系统的状态向量。给定 时的状态向量时的状态向量 及及 的输入向量的输入向量 ， ，则，则 的状态向量、的状态向量、 唯一确定

24、。唯一确定。1( )x t( )nx t1( )( )( )nx ttx tx0t0( )tx0tt( ) tu1( ) ( )( )Tptu tutu0tt( ) tx( ) tx线性系统理论线性系统理论 以以n n个状态变量为坐标轴所构成的个状态变量为坐标轴所构成的n n维空间称为状态维空间称为状态空间。状态空间中的一点代表系统的一个特定时刻的状态，空间。状态空间中的一点代表系统的一个特定时刻的状态，该点就是状态向量的端点。随着时间推移，系统状态在变该点就是状态向量的端点。随着时间推移，系统状态在变化，便构成了状态空间中的一条轨线，即状态向量的矢端化，便构成了状态空间中的一条轨线，即状态向

25、量的矢端轨线。由于状态变量只能取实数值，故状态空间是建立在轨线。由于状态变量只能取实数值，故状态空间是建立在实数域上的向量空间。实数域上的向量空间。在上述状态和状态空间概念基础上，可着手建立系统在上述状态和状态空间概念基础上，可着手建立系统的状态空间描述。的状态空间描述。线性系统理论线性系统理论 图图1.11.1已示出状态空间描述的结构，输入引起状态的已示出状态空间描述的结构，输入引起状态的变化是一个动态过程。列写每个状态变量的一阶导数与所变化是一个动态过程。列写每个状态变量的一阶导数与所有状态变量、输入变量的关系的数学方程称为状态方程。有状态变量、输入变量的关系的数学方程称为状态方程。由于由

26、于n n阶系统有阶系统有n n个独立的状态变量，故系统状态方程是个独立的状态变量，故系统状态方程是n n个联立的一阶微分方程或差分方程。个联立的一阶微分方程或差分方程。考虑最一般的情况，考虑最一般的情况，连续系统状态方程为连续系统状态方程为 111111(,;,; )(,;,; )npnnnpxf xx uutxfxx uut线性系统理论线性系统理论输入和状态一起引起输出的变化是一个代数方程。输入和状态一起引起输出的变化是一个代数方程。列列写每个输出变量与所有状态变量及输出变量的关系的数学写每个输出变量与所有状态变量及输出变量的关系的数学方程称为输出方程，设有个方程称为输出方程，设有个q q输

27、出变量，故系统输出方程输出变量，故系统输出方程含含q q个联立代数方程。最一般情况下的连续输出方程为个联立代数方程。最一般情况下的连续输出方程为 （1.91.9）111111( ,;,; )( ,;,; )npqqnpyg xx uutygxx uut线性系统理论线性系统理论为了书写简洁，引入向量及矩阵符号，令为了书写简洁，引入向量及矩阵符号，令（1.101.10）分别为状态向量、控制向量（输入向量）、输出向量。分别为状态向量、控制向量（输入向量）、输出向量。1nxxx1puuu1qyyy线性系统理论线性系统理论1.1 系统的状态空间描述再引入向量函数再引入向量函数（1.111.11）则式（则

28、式（1.81.8）和式（）和式（1.91.9）可简记为）可简记为（1.121.12）1( , , )( , , )( , , )nfttftx uf x ux u1( , , )( , , )( , , )qgttgtx ug x ux u( , , )( , , )tt xf x uyg x u线性系统理论线性系统理论式（式（1.12）为状态方程和输出方程的组合，构成了完整的）为状态方程和输出方程的组合，构成了完整的状态空间描述，称为状态空间方程，又称为动态方程。状态空间描述，称为状态空间方程，又称为动态方程。只要式（只要式（1.121.12）中向量函数）中向量函数 和和 的某元显含的某元显

29、含t t，便表明系统是时变的。定常系统不显含便表明系统是时变的。定常系统不显含t t，故有，故有（1.131.13）( ) f( ) g( ,)( ,) xfx uyg x u线性系统理论线性系统理论若式（若式（1.121.12）中）中 和和 的某元是的某元是 ， 和和 ， 的某类非线性函数时，便表明系统是非线性的某类非线性函数时，便表明系统是非线性的。若和的诸元都是的。若和的诸元都是 ， 和和 ， 的线性函的线性函数，才表明系统是线性的。数，才表明系统是线性的。1x( ) f( ) gnx1upu1xnx1upu线性系统理论线性系统理论对于线性系统，状态空间方程可表为更明显的一般形式对于线性

30、系统，状态空间方程可表为更明显的一般形式（1.141.14）1111122111112211122112211111221111122111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnppnnnnnnnnnppnnppqqxat xat xat xb t ubt ubt uxat xat xat xbt ubt ubt uyct xct xct xdt udt udt uyct x221122( )( )( )( )( )qqnnqqqppct xct xbt ubt ubt u线性系统理论线性系统理论写成向量写成向量-

31、 -矩阵形式为矩阵形式为 （1.151.15）式中式中 、 、 、 分别称为系统矩阵（状态矩）、分别称为系统矩阵（状态矩）、输入矩阵（控制矩阵）、输出矩阵、耦合阵（前馈矩阵）。输入矩阵（控制矩阵）、输出矩阵、耦合阵（前馈矩阵）。诸系数矩阵分别为诸系数矩阵分别为( )( )( )( )tttt xAxBuyCxDu( )A t( )B t( )C t( )D t1111( )( )( )( )( )nnnna ta tta ta tA1111( )( )( )( )( )pnnpb tbttb tbtB线性系统理论线性系统理论诸系数矩阵中只要有某元时时间函数，便是时变系统。诸系数矩阵中只要有某元

32、时时间函数，便是时变系统。当诸系数矩阵的所有元都是常数时，便是定常系统。线性当诸系数矩阵的所有元都是常数时，便是定常系统。线性定常连续系统是现代控制理论的最基本研究对象，其状态定常连续系统是现代控制理论的最基本研究对象，其状态空间方程为空间方程为 （1.16）1111( )( )( )( )( )nqqnctcttctctC1111( )( )( )( )( )pqqpdtdttdtdtD xAxBuyCxDu线性系统理论线性系统理论式中式中A A为为 矩阵，矩阵，B B为为 矩阵，矩阵，C C为为 矩阵，矩阵，D D为为 矩阵。其状态空间方程可用方块图表示，见图矩阵。其状态空间方程可用方块图

33、表示，见图1.21.2。图图1.2 1.2 线性定常系统方块图线性定常系统方块图()n n()np()qp()qn线性系统理论线性系统理论实际物理系统总是含有非线性因素，但是许多实际系实际物理系统总是含有非线性因素，但是许多实际系统当和均限制在其工作点或平衡点附近做小偏差运动时，统当和均限制在其工作点或平衡点附近做小偏差运动时，其非线性方程能够足够精确的用线性化方程来描述，从而其非线性方程能够足够精确的用线性化方程来描述，从而状态空间方程线性化。设式（状态空间方程线性化。设式（1.131.13）所示非线性向量函数）所示非线性向量函数 和和 在工作点在工作点 临域展开成台劳级数并临域展开成台劳级

34、数并略去二次及其以上各项，有略去二次及其以上各项，有( , )f x u( , )g x u00(,)x u0000000000,00,( , )(,)( , )(,)TTTT x ux ux ux ufff x uf x uxuxuggg x ug x uxuxu线性系统理论线性系统理论式中式中 ， ，且有，且有 ，故，故 工作点处满足工作点处满足于是可得小扰动线性化状态空间方程为于是可得小扰动线性化状态空间方程为 （1.171.17）0 xxx0 uuu0 yyy0 xxx0yyy000(,) xf x u000(,)yg x u00000000,TTTT x ux ux ux uffxx

35、uAxBuxuggyxuCxDuxu线性系统理论线性系统理论当非线性系统在工作点附近运动时，式（当非线性系统在工作点附近运动时，式（1.171.17）所示）所示线性系统可以足够的精度代替（线性系统可以足够的精度代替（1.131.13）所示原非线性系统。）所示原非线性系统。式（式（1.171.17）中诸系数矩阵可由列向量对行向量的求导规则）中诸系数矩阵可由列向量对行向量的求导规则导出，它们分别为导出，它们分别为0000111,1,nTnnnffxxffxx x ux ufAx线性系统理论线性系统理论0000111,1,pTnnpffuuffuux ux ufBu0000111,1,nTqqngg

36、xxggxxxuxugCx0000111,1,pTqqpgguugguuxuxugDu线性系统理论线性系统理论当工作点变化时，诸系数矩阵各元的数值将更新。当工作点变化时，诸系数矩阵各元的数值将更新。需要指出的是，当所选状态变量不同时，所得状态方需要指出的是，当所选状态变量不同时，所得状态方程也不同，故状态方程也不是唯一的。为了保证状态方程程也不同，故状态方程也不是唯一的。为了保证状态方程解的存在和唯一性，既满足初始条件解的存在和唯一性，既满足初始条件 、在、在 （ ）作用下的解作用下的解 ，在，在 时存在且只有一个，时存在且只有一个， 不产生不产生继电式的跳跃现象，也不存在在某时刻变为继电式的

37、跳跃现象，也不存在在某时刻变为 ，故对函数，故对函数 应加以限制。应加以限制。0( )tx( ) tu0tt( ) tx0tt( ) tx( , , ) tf x u线性系统理论线性系统理论解唯一存在的充分必要条件是应满足利普希茨解唯一存在的充分必要条件是应满足利普希茨（Lipschitz）条件，对线性时变系而言，）条件，对线性时变系而言， 、 、 的元都是的的元都是的t分段连续函数；对于线性定常系统而言，分段连续函数；对于线性定常系统而言， 、都是元为有限值的常数矩阵；状态方程中不含都是元为有限值的常数矩阵；状态方程中不含 的导的导数项。有些实际系统的微分方程是含有输入导数项的，为数项。有些

38、实际系统的微分方程是含有输入导数项的，为使导出的状态方程不含输入导数，需适当选取状态变量。使导出的状态方程不含输入导数，需适当选取状态变量。( ) tA( ) tB( ) tuA B( ) tu线性系统理论线性系统理论式（式（1.151.15）和式（）和式（1.161.16）表示了多输入）表示了多输入- -多输出线性多输出线性系统的动态方程，当，时，即单输入系统的动态方程，当，时，即单输入- -单输出线性系统的单输出线性系统的动态方程为动态方程为 （1.181.18）这时这时u u、y y均为标量，均为标量，b b为为 维，维，a a为为 维，维，d d为为标量。标量。( )( )( )( )

39、tt uuytd t uyduxAxbxAxbcxcx(1)n(1)n线性系统理论线性系统理论系统的状态空间描述的优越性在于：能解释处于系统系统的状态空间描述的优越性在于：能解释处于系统内部的状态信息并加以利用；一阶微分方程比高阶微分方内部的状态信息并加以利用；一阶微分方程比高阶微分方程宜于在计算机上求解；采用向量程宜于在计算机上求解；采用向量- -矩阵形式，当各种变矩阵形式，当各种变量数目增加时，并不增加数学表达式的复杂性；可适用于量数目增加时，并不增加数学表达式的复杂性；可适用于单变量或多变量、线性或非线性、定常或时变、确定性或单变量或多变量、线性或非线性、定常或时变、确定性或随机性各类系

40、统的描述。随机性各类系统的描述。线性系统理论线性系统理论依据物理系统所含元件遵循的定律列写出微分方程组，依据物理系统所含元件遵循的定律列写出微分方程组，选择可以量测的物理量作为状态变量，便可导出状态方程；选择可以量测的物理量作为状态变量，便可导出状态方程；根据系统的任务或给定可确定输出量与状态变量间的输出根据系统的任务或给定可确定输出量与状态变量间的输出方程。下面通过举例来说明建立系统状态空间方程的步骤。方程。下面通过举例来说明建立系统状态空间方程的步骤。线性系统理论线性系统理论研究图研究图1.31.3所示电网络，输入变量为所示电网络，输入变量为 和和 ，输，输出变量为出变量为 ，试列写该双输

41、入，试列写该双输入- -单输出系统的状态空间方单输出系统的状态空间方程。程。图图1.3 1.3 例例1.11.1电网络电网络1e2ecucuCL1e1r3r2r4r2eLi1i2i线性系统理论线性系统理论 运用回路电流法列出三个回路的方程：运用回路电流法列出三个回路的方程：式中式中 满足满足消去之间变量可得网络的二阶微分方程，故网络的独消去之间变量可得网络的二阶微分方程，故网络的独立状态变量为立状态变量为2 2个。个。1131 12 32111223234LLcLcLdieLirri ri rdteui ri rreui rirrcu12cduCiidt线性系统理论线性系统理论由回路方程显见，

42、若选取流过电感的电流由回路方程显见，若选取流过电感的电流 和电容器和电容器端电压端电压 作为状态变量既有明确物理意义又便于导出状态作为状态变量既有明确物理意义又便于导出状态方程。电感、电容器都是储能元件，它们未分布在一个回方程。电感、电容器都是储能元件，它们未分布在一个回路网孔内，一定是独立的储能元件，独立储能元件的个数路网孔内，一定是独立的储能元件，独立储能元件的个数即独立状态变量的个数。即独立状态变量的个数。消去中间变量消去中间变量 ， ，可整理得到，可整理得到2 2个一阶微分方程个一阶微分方程Licu1i2i1222133221LLCcLCdiRRRiueedtLLLLduRRRiued

43、tCLC 线性系统理论线性系统理论式中式中写成向量矩阵形式，有写成向量矩阵形式，有3 431 2112312341234123411,r rrrrrRRRrrrrrrrrrrrr122133221001LLccLccRRRieiLLLLuRReRuCLCiuu线性系统理论线性系统理论试确定图试确定图1.41.4（a a）、（）、（b b）、）、(c)(c)所示网络的独所示网络的独立状态变量。图中立状态变量。图中 分别为输入电压、输入电流，为分别为输入电压、输入电流，为输出电压，输出电压， 为电容器端电压或流过电感的电流。为电容器端电压或流过电感的电流。 (a) (b) (c)(a) (b) (

44、c), u iyix3Cy1CR2x1x3x2Cu3Cy1CR2x1xuCiR1L2L1x2xy线性系统理论线性系统理论 并非所有的电网络中的电容端电压和电感电流都是独并非所有的电网络中的电容端电压和电感电流都是独立的状态变量。图中，立的状态变量。图中， 分别是独立的状态变量。据电路分别是独立的状态变量。据电路定律，图定律，图1.41.4（a a）有）有 ，已知其中任意两个变，已知其中任意两个变量，第三个随之确定，故独立状态变量为量，第三个随之确定，故独立状态变量为 或或 或或 。图。图1.41.4（b b）及（）及（c c）恒有）恒有 ，独立状态变量，独立状态变量只有一个。只有一个。, u

45、i1230 xxx13xx、12xx、23xx、12xx线性系统理论线性系统理论 设有一倒立摆安装在传动车上，见图设有一倒立摆安装在传动车上，见图1.51.5，图中，图中z z为小车相对参考系的位置，为小车相对参考系的位置， 为倒立摆偏离垂直位置的角为倒立摆偏离垂直位置的角度；摆杆长度度；摆杆长度 ，忽略其质量；，忽略其质量；m m为摆的质量；给质量为摆的质量；给质量M M为为的小车在水平方向施加控制力的小车在水平方向施加控制力u u，以便保证倒立摆竖立在，以便保证倒立摆竖立在垂直位置而不倾倒。假定摆轴、车轮轴、车轮与轨道之间垂直位置而不倾倒。假定摆轴、车轮轴、车轮与轨道之间的摩擦均忽略不计。

46、试列出倒立摆装置的线性化状态空间的摩擦均忽略不计。试列出倒立摆装置的线性化状态空间方程。方程。l线性系统理论线性系统理论图图1.5 1.5 倒立摆装置倒立摆装置uMlz线性系统理论线性系统理论解解 摆的水平位置为摆的水平位置为 ，在控制力，在控制力u u作用下小车作用下小车与摆一起将产生加速运动。据力学原理，小车与摆在水平与摆一起将产生加速运动。据力学原理，小车与摆在水平直线运动方向的惯性力应与控制力平衡，故有直线运动方向的惯性力应与控制力平衡，故有即即 摆绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，故有摆绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，故有 sinzl2222sind zdMmzludt

47、dt2cossinMm zmlmlu22sincossindmzllmgldt线性系统理论线性系统理论式和都是非线性方程。由于控制目的在于保持倒立摆式和都是非线性方程。由于控制目的在于保持倒立摆直立，只要施加的控制力合适，作出直立，只要施加的控制力合适，作出 接近于零的假定接近于零的假定将是正确的，即以将是正确的，即以 作为工作点，倒立摆相对该作为工作点，倒立摆相对该工作点进行线性化，其台劳级数展开的结果等价于令式、工作点进行线性化，其台劳级数展开的结果等价于令式、中中 ， ，且忽略项，且忽略项 ，即有，即有 联立求解可得联立求解可得 , 000,0sincos12Mm zmluzlg11mg

48、zuMMMm guMlMl 线性系统理论线性系统理论经消元可得倒立摆系统微分方程经消元可得倒立摆系统微分方程这是四阶方程，独立状态变量为四个。选择小车位移这是四阶方程，独立状态变量为四个。选择小车位移 ，小车速度小车速度 ，摆杆角位移，摆杆角位移 ，摆杆角速度，摆杆角速度 。这些易于量。这些易于量测的量作为状态变量，其状态向量测的量作为状态变量，其状态向量 定义为定义为考虑恒等式考虑恒等式 由式和可得状态方程由式和可得状态方程 41Mm ggZzuuMlMMlzz xTzzx,zzxAxbu线性系统理论线性系统理论式中式中假定下车位移作为输出变量假定下车位移作为输出变量y y，故输出方程为，故

49、输出方程为 式中式中010001000,000101000mgMMAbMm gMlMlyzcx1000c线性系统理论线性系统理论1.21.2 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述有些实际系统难于利用定律来导出数学方程，需通过有些实际系统难于利用定律来导出数学方程，需通过实验手段取得输入、输出数据，以适当方法确定输入实验手段取得输入、输出数据，以适当方法确定输入- -输输出描述，然后再由输入出描述，然后再由输入- -输出描述换成状态空间描述。至输出描述换成状态空间描述。至于由实验数据确定输入于由实验数据确定输入- -输出描述的方法，涉及系统辨识输出描述的方法，涉及系统辨识与

50、估计，已超出本书范围，这里仅讨论已知输入与估计，已超出本书范围，这里仅讨论已知输入- -输出描输出描述如何导出状态空间描述的问题，且限于研究单输入述如何导出状态空间描述的问题，且限于研究单输入- -单单输出线性定常系统的情况，以便对两种基本描述的关系有输出线性定常系统的情况，以便对两种基本描述的关系有一个比较直观的了解。一个比较直观的了解。线性系统理论线性系统理论表征输入表征输入- -输出描述的最常用的数学方程式系统微分方程输出描述的最常用的数学方程式系统微分方程或系统传递函数；传递函数方块图也可作看作是一种输入或系统传递函数；传递函数方块图也可作看作是一种输入- -输出描述，本节将分别研究其

51、导出状态空间方程的方法。输出描述，本节将分别研究其导出状态空间方程的方法。探究中揭示了状态空间方程的某些典型结构，为后面章节探究中揭示了状态空间方程的某些典型结构，为后面章节的讨论做准备。由输入的讨论做准备。由输入- -输出描述确定状态空间描述称为输出描述确定状态空间描述称为实现问题，关于实现的一般理论和方法将在第四、九章系实现问题，关于实现的一般理论和方法将在第四、九章系统地研究。统地研究。线性系统理论线性系统理论一、由系统微分方程或系统传递函数建立状态空间方程一、由系统微分方程或系统传递函数建立状态空间方程设单输入设单输入- -单输出线性定常连续系统的微分方程具有单输出线性定常连续系统的微

52、分方程具有下列的一般形式下列的一般形式 (1.19) (1.19) 121210121210nnnnnnnnnyayaya ya yuuuu线性系统理论线性系统理论式中式中 分别为系统输入、输出变量。分别为系统输入、输出变量。其系统传递函数其系统传递函数 为严格真分式，有为严格真分式，有(1.20) , ,iiiiiid yd uyuu ydtdt G s 121210121210nnnnnnnnny sN ssssG su ssasasa saD s线性系统理论线性系统理论 显见微分方程中含有输入导数项（即显见微分方程中含有输入导数项（即 含有零点）。为含有零点）。为寻求下列形式的状态空间方

53、程寻求下列形式的状态空间方程 (1.21)(1.21)必须适当选取状态变量与确定各系数矩阵必须适当选取状态变量与确定各系数矩阵 。若选取下列状态变量若选取下列状态变量 G s,xAx+buy = cx+duAbcd、 、 、112,nnxy xyxy线性系统理论线性系统理论可求得下列状态方程可求得下列状态方程(1.22)(1.22)1223101121110nnnnnxxxxxa xa xaxuuu 线性系统理论线性系统理论上述一阶微分方程组中第上述一阶微分方程组中第n n个方程右端含有个方程右端含有u u的各阶导数项，的各阶导数项，若若u u是阶跃或分段连续函数，则的各阶导数项中将出现脉是阶

54、跃或分段连续函数，则的各阶导数项中将出现脉冲函数冲函数 及及 等，使状态方程的解出现无穷等，使状态方程的解出现无穷大的阶跃，从而破坏解的存在性和唯一性。为此必须适当大的阶跃，从而破坏解的存在性和唯一性。为此必须适当选择状态变量，以使状态方程中不出现的导数项。状态变选择状态变量，以使状态方程中不出现的导数项。状态变量选取方法不同，所得状态空间方程便不同。下面介绍的量选取方法不同，所得状态空间方程便不同。下面介绍的方案是部分常见选择方法。它们的状态空间方程的结构呈方案是部分常见选择方法。它们的状态空间方程的结构呈某种规范或标准形式。某种规范或标准形式。 t tt、线性系统理论线性系统理论按如下规则

55、设置一组状态变量按如下规则设置一组状态变量 (1.23)其展开式为其展开式为11,1niiiixyxxa yuin线性系统理论线性系统理论111112122112223222334411222212111223112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxayuyayuxxayuyayuayuxxa yuyayuayua yuxxa yuyayuay3211nnua yu线性系统理论线性系统理论故有故有考虑式考虑式(1.19)，得，得故状态方程为故状态方程为(1.24) 11221112211nnnnnnnnnxyayuayua yu10000nxa yua xu 10

56、021111222111nnnnnnnnnnnnxa xuxxa xuxxaxuxxaxu 线性系统理论线性系统理论输出方程为输出方程为（1.25）故各系数矩阵为（记下标故各系数矩阵为（记下标 ）(1.26)希读者注意希读者注意 的形状特征有能观测规范型之称的形状特征有能观测规范型之称 nyxo01210001000100001onaaaaA0121on b0001To c0od ,ooA c线性系统理论线性系统理论将式将式(1.20)所示所示 分解为两部分串联，并引入中间分解为两部分串联，并引入中间变量变量 ，见图，见图1.6。图图1.6 的串联分解的串联分解 由第一个方块可导出由第一个方块

57、可导出u作输入，以作输入，以z作输出的不含输入导数作输出的不含输入导数项的微分方程，由第二个方块可将项的微分方程，由第二个方块可将y表为表为z及其各阶导数的及其各阶导数的线性组合，于是有线性组合，于是有 G s z s11101nnnsa sas a1110nnss u s z s y s G s线性系统理论线性系统理论 (1.27)按如下规则设置一组状态变量按如下规则设置一组状态变量(1.28) 11101110nnnnnzaza za zuyzzz112,nnxz xzxz 线性系统理论线性系统理论可得状态方程可得状态方程 (1.29) 1212101101112nnnnnnxxxxxza

58、 za zazua xa xaxu 线性系统理论线性系统理论输出方程为输出方程为 (1.30)故各系数矩阵为（记下标故各系数矩阵为（记下标 ）(1.31) 01121nnyxxxc0121010000100001cnaaaa A0001c b0121Tcnn c0cd 线性系统理论线性系统理论希读者注意希读者注意 的形状特征有能控规范型之称。形的形状特征有能控规范型之称。形如的矩阵称为友矩阵。如的矩阵称为友矩阵。能控与能观测两种规范型的系数矩阵存在下列关系能控与能观测两种规范型的系数矩阵存在下列关系 (1.32)式式(1.32)所示关系有对偶原理之称。两种规范型的各所示关系有对偶原理之称。两种

59、规范型的各系数矩阵均可直接根据微分方程或传递函数中的常系数而系数矩阵均可直接根据微分方程或传递函数中的常系数而列写出来。列写出来。,ccA bcATcoAATcobcTcocb线性系统理论线性系统理论 3.A 当当 只含相异实极点时，除了可化为能控或能观测只含相异实极点时，除了可化为能控或能观测规范型以外，还可化为规范型以外，还可化为A是对角型的状态空间方程。设是对角型的状态空间方程。设 的因式分解为的因式分解为(1.33) 式中式中 为系统的相异实极点，则为系统的相异实极点，则 可展开成部可展开成部分分式之和，即分分式之和，即 G s D s 12nD ssss1,n G s 1niiiy

60、sN scG su sD ss线性系统理论线性系统理论式中式中 为极点为极点 的留数，且的留数，且故故(1.35)若按如下规则设置一组状态变量若按如下规则设置一组状态变量(1.36) ici iiisN scsD s 1niiicy su ss 11,iix su sins线性系统理论线性系统理论其拉氏反变换为其拉氏反变换为 (1.37)展开展开(1.37)式，可得状态空间方程式，可得状态空间方程 (1.38) (1.39) 故各系数矩阵为故各系数矩阵为1iiiniiixxuyc x11 1222,nnnxxu xxuxxu1 122nnyc xc xc x线性系统理论线性系统理论 (1.40