选修45证明不等式的基本方法

1、选修4-5 第2讲：证明不等式的基本方法内容：4-5第一章(不包括：柯西不等式、排序不等式)一、选择题1. 若|ac|<|b|，则下列不等式中正确的是()A. a<bc B. a>cbC. |a|>|b|c|D. |a|<|b|c|2. 2013·鸡西模拟若实数x、y满足1，则x22y2有()A. 最大值32B. 最小值32C. 最大值6D. 最小值63. 2013·广东调研已知a，b为实数，且a>0，b>0.则(ab)(a2)的最小值为()A. 7B. 8C. 9D. 104. 2013·柳州模拟已知关于x的不等式2x7

2、在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为()A. B. 1C. D. 25. 2013·金版原创若q>0且q1，m，nN*，则1qmn与qmqn的大小关系是()A. 1qmn>qmqnB. 1qmn<qmqnC. 1qmnqmqnD. 不能确定二、填空题6.(2013版成才-5题/)函数的最大值是_7. (2013版成才-6题/)，是两个不同的正数，且，则与的大小关系是_8. 2013·许昌模拟对于任意实数a、b，若|ab|1，|2a1|1，则|4a3b2|的最大值为_9. 已知x，y，z为正实数，且1，则x4y9z的最小值为_三、解答题10. (2013

3、版成才-9题/).设、是非负实数，求证：11. 2013·正定模拟设正有理数x是的一个近似值，令y1.(1)若x>，求证：y<；(2)求证：y比x更接近于.12. 2013·南昌调研已知xy>0，且xy0.(1)求证：x3y3x2yy2x；(2)如果()恒成立，试求实数m的取值范围或值13.(2014版金版教程-第2讲PPT) 2013·广州模拟已知>0，b>0，求证：14. (2014版金版教程-第2讲PPT)设，求证：15.(王新厂不等式证明(2)习题-8题)设，分别用综合法与分析法求证: 16. .(王新厂不等式证明(2)习题-

4、9题)（1）已知是正常数,求证：,指出等号成立的条件； （2）利用（1）的结论求函数()的最小值，指出取最小值时的值17.(辽宁省五校08-09学年高二下学期期末联考(数学理)-24题).设为正数，证明：选修-45 第2讲 证明不等式的基本方法答案.1.答案：D.解析：|a|c|ac|<|b|，即|a|<|b|c|.故选D.2. 答案：B.解析：由题意知，x22y2(x22y2)·()332，当且仅当时，等号成立，故选B.3. 答案：C解析：因为a>0，b>0，所以ab33>0，同理可证：a23>0.由及不等式的性质得(ab)(a2)3×

5、39.4. 答案：C.解析：2x2(xa)2a22a2a47，a.5. 答案：A解析：1qmnqmqnqm(qn1)(qn1)(qn1)(qm1)，当0<q<1时，qn<1，qm<1.当q>1时，qn>1，qm>1.(qn1)(qm1)>0，1qmn>qmqn，故选A.6.提示：7.解析：，即，当且仅当时，取等号.此时，又，等号当时，取得.8. 答案：6解析：因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，|a|，所以|4a3b2|(3a3b)(a)|3a3b|a|36，即|4a3b2|的最大值为6.9. 答案：36解析：解法一：由柯西不

6、等式，得x4y9z()2(2)2(3)2·()2()2()2(·2·3·)236.当且仅当x2y3z时等号成立，此时x6，y3，z2.所以当x6，y3，z2时，x4y9z取得最小值36.解法二：1， x4y9z(x4y9z)()，即x4y9z141422236.(当且仅当x2y3z时取“”)，即x6，y3，z2时，(x4y9z)min36.故填36.三、解答题10.由是非负实数，作差得当时，从而，得；当时，从而，得.所以11. 证明：(1)y1，x>，x>0，而1<0，y<.(2)|y|x|x|x|(1)|x|()，x>0，

7、2<0，|x|>0，|y|x|<0，即|y|<|x|.y比x更接近于.12. 解：(1)x3y3(x2yy2x)x2(xy)y2(xy)(xy)(xy)2，且xy>0，(xy)20，x3y3(x2yy2x)0.x3y3x2yy2x.(2)()若xy<0，则()等价于，又<3，即<3，m>6；()若xy>0，则()等价于，又1，即1，m2.综上所述，实数m的取值范围是(6,213. 证明()3b3(abb2)()3abb3b2a(b)b2(b)(b)(ab2)(b)()2b2(b)2(b)因为a>0，b>0，所以b>0

8、，又(b)20，所以(b)2(b)0，从而()3b3(abb2)0，即()3b3abb2.此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差的符号、结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键.常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法.14. 证明：证法一(综合法)ab>0，a2b2，则3a22b2，则3a22b20.又ab0，(ab)(3a22b2)0，即3a32ab23a2b2b30，则3a32b33a2b2ab2. 故原不等式成立 证法二(分析法)要证3a32b33a2b2ab2，只需证3a32b33a2b2ab20，即3a2(ab)2b2(ba)0，也即(ab)(3a22b2)0，(*)ab>0，ab0.又a2b2，则3a22b2，3a22b20. (*)式显然成立，故原不等式成立. 15. 证法一 分析法:要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命